Шпаргалки по анализу биосигналов, страница 6

то тогда ряд Фурье в этой точке сходится к среднеарифметическому значению: ½[f(x₀ - 0) + f(x₀ + 0)].

Равенство нулю среднеквадратической погрешности разложения при этом возможно лишь потому, что мы имеем конеч­ную погрешность, но на бесконечно малом промежутке изменения аргумента.

15. ВЫБОР РАЦИОНАЛЬНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МБС.

Для системы функций {_n(x)}, принимающих комплексные значения, приведенные выше условия и определения обобщаются следующим образом:

- условие ортогональности: (3.14)

- квадрат нормы функции:

(3.15)

- коэффициенты Фурье:

(3.16)

Здесь ^*(x) - функция, комплексно сопря­женная c (x).

Наиболее часто приходится обрабатывать сигналы, представляющие собой функции времени t, поэтому для таких сигналов s(t) выражение Error: Reference source not found будем записывать в виде:

(3.17)

Понятно, что этот ряд справедлив для функций аргумента, имеющего любую природу. В новых обозначениях квадрат нормы функции s(t) по аналогии с (3.4) будет иметь вид:

(3.18)

где Э- энергия сигнала s(t) на интервале [t₁, t₂].

(интеграл от мгновенной мощности p(t) на интервале [t₁, t₂]). Или, в соответствии с Error: Reference source not found, энергия сигнала

(3.19)

При использовании ортонормированной
системы функций {_n(t)}: (3.20)

При этом имеется в виду, что промежуток времени (t₂-t₁), в котором определяется энергия Э, является интервалом ортогональности для системы функций {_n(t)}.

Очевидно, что средняя за время (t₂-t₁) мощность сигнала

(3.21)

Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд. Среди задач, требующих разложения сигнала, наиболее важными представляются:

1.Точное разложение на простейшие ортогональные функции;

2.Аппроксимация сигналов, процессов или характеристик по возможности минимальным числом членов ряда (при задан­ной допустимой погрешности). При первой постановке задачи среди всех возможных видов базовых функций, несомненно, самыми распространенными являются гармонические. Это объясняется тем, что только гармонические (синусои­да­ль­ные) сигналы являются единственными функциями времени, сохраняющими свою форму при прохождении через любую линейную цепь (с постоянными параметрами): может измениться амплитуда и/или фаза, но форма и частота синусоидального сигнала не изменяются. Таким образом, гармонические функции являются собственными функциями для линейных преобразований. Кроме того, такое разложение позволяет использовать символический метод анализа передачи гармонического колебания через линейную цепь.

16. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРЕОДИЧЕСКИХ МБС.

При разложении периодического сигнала s(t) в ряд Фурье в качестве ортогональной системы берут гармонические функции вида Error: Reference source not found:

1, cos ₁t, sin ₁t, cos 2₁t, sin 2₁t,...

..., cos n₁t, sin n₁t,... (3.22)

или: ... , , 1 , , ... (3.23)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом T = 2/₁ функции s(t).

Система функций Error: Reference source not found приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система Error: Reference source not found - к комплексной форме. Между этими формами существует простая связь.

Воспользуемся системой комплексных гармоник Error: Reference source not found, тогда ряд Фурье будет иметь вид:

(3.24)

Совокупность коэффициентов C_n ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала, а целью гармонического анализа как раз является нахождение коэффициентов ряда Фурье.

Коэффициенты ряда Error: Reference source not found легко определяются с помощью ранее встречавшихся формул - из формулы Error: Reference source not found следует, что квадрат нормы равен:

(3.25)

Таким образом, независимо от n, норма базисной функции .

Используя формулу для коэффициентов ряда Фурье Error: Reference source not found получим:

(3.26)

В Error: Reference source not found и Error: Reference source not found учтено, что для e^jn1t комплексно-сопряженной является функция e^-jn1t.

Коэффициенты C_n в общем случае являются комплексными величинами. Воспользуемся формулой Эйлера e^jx = cos x  j sin x,

, получим:

(3.27)

Отсюда косинусная - действительная часть коэффициента C_n:

(3.28)

а мнимая - синусная часть:

(3.29)

Коэффициенты С_n часто бывает удобно записывать в форме:

,

где (3.30)

(3.31)

Модуль C_n является четной функцией относительно n, а аргумент _n - нечетной (это следует из Error: Reference source not found и Error: Reference source not found). Используя модуль и аргумент, ряд Error: Reference source not found может быть записан:

(3.32)

Отсюда нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда Error: Reference source not found пару слагаемых, соответствующих n (например, n=2) и учитывая что _-2=-₂,
а C_-2=C₂, получим для суммы:

(3.33)

Окончательно ряд Error: Reference source not found в тригонометрической форме записывается:

(3.34)

Смысл удвоения коэффициентов Фурье C_n в тригонометрическом ряде при n1 становится ясным, если представить себе сумму двух векторов равной длины и с противоположными аргументами (векто­ры вращаются с одинаковой скоростью n₁, но в разные стороны для положительных и отрицательных частот), и вычислить проекцию этой суммы на ось абсцисс.

После перехода к тригонометрической форме понятие "отрицательных частот" теряет смысл.

Нередко встречается другая форма записи:

(3.35)

где

Сравнивая Error: Reference source not found и Error: Reference source not found между собой, можно увидеть, что амплитуда n-й гармони­ки A_n связана с коэффициентом C_n  ряда (3.32):

A_n = 2C_n ; a_n= 2C_{n cos} ; b_n = 2C_{n sin}

Таким образом, для всех положительных n, включая и n=0:

(3.36)

Если сигнал представляет собой четную относительно t функцию, т.е. s(t)= s(-t), то в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как
коэффициенты b_n в соответствии с Error: Reference source not found обращаются в нуль.

Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты a_n и ряд состоит только из синусоидальных членов. Другими словами, четные функции имеют вещественный спектр, а нечетные - чисто мнимый.

Две характеристики - амплитудная и фазовая, то есть модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частот­ного спектра периодического колебания.

Спектр периодической функции называют линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, ₁, 2₁, 3₁ ... и так далее.

17. РЯДЫ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ.

При разложении периодического сигнала s(t) в ряд Фурье в качестве ортогональной системы берут гармонические функции вида Error: Reference source not found:

1, cos ₁t, sin ₁t, cos 2₁t, sin 2₁t,...

..., cos n₁t, sin n₁t,... (3.22)

или: ... , , 1 , , ... (3.23)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом T = 2/₁ функции s(t).

Система функций Error: Reference source not found приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система Error: Reference source not found - к комплексной форме. Между этими формами существует простая связь.

Воспользуемся системой комплексных гармоник Error: Reference source not found, тогда ряд Фурье будет иметь вид:

(3.24)

Совокупность коэффициентов C_n ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала, а целью гармонического анализа как раз является нахождение коэффициентов ряда Фурье.

Коэффициенты ряда Error: Reference source not found легко определяются с помощью ранее встречавшихся формул - из формулы Error: Reference source not found следует, что квадрат нормы равен:

(3.25)

Таким образом, независимо от n, норма базисной функции .

Используя формулу для коэффициентов ряда Фурье Error: Reference source not found получим:

(3.26)

В Error: Reference source not found и Error: Reference source not found учтено, что для e^jn1t комплексно-сопряженной является функция e^-jn1t.

Коэффициенты C_n в общем случае являются комплексными величинами. Воспользуемся формулой Эйлера e^jx = cos x  j sin x,

, получим:

(3.27)

Отсюда косинусная - действительная часть коэффициента C_n:

(3.28)

а мнимая - синусная часть:

(3.29)

Коэффициенты С_n часто бывает удобно записывать в форме: