Шпаргалки по анализу биосигналов, страница 15

Рис. 3.49. Соотношения спектров

Если взять интервал T' между выборками меньше, чем T=/_m, то ширина 2_m' спектра _n'() базисной функции _n'(t) будет больше, чем ширина спектра S() (см. 3.49 в).

Это повышает точность представления сигнала s(t), так как исключается возможность неучета "хвостов" спектра S() вне граничных частот _m; кроме того, ослабляются требования к АЧХ фильтров, восстанавливающих непрерывный сигнал.

При увеличении же T'' по сравнению с T спектр  _n''() функции _n''(t) становится уже, чем спектр сигнала s(t) (см. рис. г), и при вычислении интеграла в Error: Reference source not found пределы интегрирования должны быть изменены на [-_m'',_m''] вместо [-_m,_m].

Коэффициенты C_n при этом являются уже выборками не заданного сигнала s(t), а некоторой другой функции, спектр которой ограничен наивысшей частотой _m''<_m. Так возникают частотные искажения дискретизации, известные как эффекты наложения спектров или алайзинга.

Соотношения Error: Reference source not found - Error: Reference source not found показывают, как можно при дискретизации сигнала сохранить всю информацию, содержащуюся в нем. Эти соотношения позволяют обоснованно выбрать частоту дискретизации и при необходимости по дискретным отсчетам полностью восстановить исходный сигнал.

О днако практически реализовать точное восстановление сигнала с помощью ряда Котельникова невозможно. Дело в том, что сигнал с ограниченным спектром - это сигнал, длящийся бесконечно долго. При его дискретизации будет получено бесконечное число отсчетов s(nT). Для восстановления исходного сигнала s(t) в произвольный момент времени t нужно учитывать не только все отсчеты, предшествующие этому моменту, но и все последующие отсчеты. Иначе говоря, восстановление непрерывного сигнала по Котельникову возможно только после получения всех отсчетов сигнала, что не представляется возможным в виду неограниченной длительности сигнала. Тем не менее, полученные результаты
могут использоваться для приближенного определения целесообразного интервала дискретизации T и для приближенного восстановления сигнала по совокупности его дискретных отсчетов. В теоретическом же плане эти результаты имеют фундаментальное значение. Существует еще один способ восстановления дискретных сигналов в непрерывную форму, основанный на использовании дискретного преобразования Фурье и рядов Фурье – т.н. дискретные ряды Фурье. Этот путь отличается от ряда Котельникова тем, что подразумевается периодичность дискретных сигналов.

Теперь рассмотрим случай, когда длительность сигнала s(t) конечна и равна T_c, а полоса частот по-прежнему равна _m. Хотя эти условия несовместимы, практически всегда можно определить наивысшую частоту спектра _m так, чтобы "хвосты" функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих _m, содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией исходного сигнала s(t). При таком допущении, для сигнала длительностью T_c и с полосой частот _m общее число независимых параметров, то есть значений s(nT), которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно будет равно

при этом выражение для ряда Error: Reference source not found принимает следующий вид:

(3.113)

Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала s(t), так как даже при произвольных значениях s(nT), сумма Error: Reference source not found определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности сигнала. Число N иногда называют также базой сигнала.

Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок. Используя формулы Error: Reference source not found, Error: Reference source not found и равенство ||_n||²=T, получаем:

Из последнего выражения видно, что средняя за время T_c мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборок, число которых равно N.

В качестве наглядного примера проведем сравнение двух методов восстановления сигнала по его дискретным отсчетам. На практике часто применяют линейную интерполяцию.

Предположим, что при восстановлении сигнала нужно с заданной точностью воспроизвести все гармоники спектра, вплоть до некоторой верхней частоты f_m.

При линейной интерполяции соединяют отрезками прямых соседние точки дискретного сигнала. При этом наибольшая погрешность будет получена там, где модуль второй производной функции максимален.

Для синусоиды с максимальной частотой наибольшая погрешность будет наблюдаться в районах экстремумов. Если два соседних отсчета располагаются симметрично относительно точки экстремума, то линейный интерполирующий отрезок пройдет горизонтально и погрешность может быть найдена как разность между амплитудой синусоиды А и ее значением, соответствующим одному из этих двух отсчетов (см.Рис. 3.50.).

(Рис. 3.50) Оценка погрешности

Поэтому при линейной интерполяции наибольшая относительная погрешность  восстановления синусоиды с частотой f_m будет:

Здесь N=1/f_mT_д - отношение периода синусоиды 1/f_m к шагу дискретизации T, при этом предполагается, что N>>1. При заданной допустимой погрешности восстановления _д требуемый интервал дискретизации может быть определен по формуле:

Отсюда следует, что при допустимой погрешности восстановления 1%, требуется 22 отсчета на один период самой высокочастотной гармоники сигнала.

Итак, при использовании линейной интерполяции с 1% погрешностью восстановления наивысшей значимой гармоники сигнала требуется устанавливать частоту дискретизации f_д в 22 раза большей, чем частота этой гармоники.

При восстановлении же по Котельникову, частота дискретизации должна быть всего лишь в 2 раза больше частоты наивысшей гармоники, при этом эта гармоника теоретически восстанавливается без погрешности.

Но линейная интерполяция реализуется весьма просто технически, а кроме того, позволяет воспроизводить исходную кривую непосредственно в процессе эксперимента. Восстановление же по Котельникову, как уже указывалось, возможно только после получения всех точек исследуемой кривой. Именно поэтому чаще отдают предпочтение линейной интерполяции.