4 Дискретное преобразование Фурье (Конспект лекций по ЦОС)
Описание файла
Файл "4 Дискретное преобразование Фурье" внутри архива находится в папке "Конспект лекций по ЦОС". Документ из архива "Конспект лекций по ЦОС", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "цифровая обработка сигналов (цос)" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "цифровая обработка сигналов" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "4 Дискретное преобразование Фурье"
Текст из документа "4 Дискретное преобразование Фурье"
1
Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.
Основное определение:
Формула обращения
Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что . В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если , то обратное преобразование задается формулой . Данная формула вытекает из соотношения: интеграл равен 0 при и 1 иначе.
Свертка
Свертка двух последовательностей определяется формулой:
Предложение. ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований Фурье, а ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.
Доказательство. Найдем преобразование от произведения последовательностей. Имеем = = .
В силу периодичности подынтегральных функций, получим .
Найдем ДПФ от свертки. По определению , . Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим
Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности: .
Пример вычисления ДПФ
Ранее было подсчитано ДПФ от единичной последовательности. В реальных условиях полагают, что в отрицательные моменты времени сигнал отсутствует. В этой связи интересно найти ДПФ от дискретного аналога функции .
Предложение.
Доказательство. Положим = . Теперь
Задача 3. Доказать, что
Линейные инвариантные системы.
Рассматриваются последовательности . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате сдвига получается новая последовательность . Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью различных устройств.
Система осуществляет это преобразование: .. отметим, что выходная последовательность является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.
Определение. Система называется инвариантной, если для любого .
Примеры.
-
Точечные системы: , где произвольная функция ,- инвариантная система..
-
для произвольного фиксированного - инвариантная система
-
не будет инвариантной. Действительно, пусть . Согласно определению
Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.
Преобразование в примере 2 осуществляется ЛИС.