(7)

Уравнения (7) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно неизвестных l, m, n. Поскольку l, m, n одновременно нулю не равны ( ), система (7) имеет нетривиальное, т. е. не нулевое, решение в случае, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:

. (8)

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно s_гл:

(9)

Решив это уравнение, найдем три его корня, которые и являются тремя главными напряжениями. Можно доказать, что корни уравнения (9) действительные. Главные напряжения, т. е. корни уравнения (9), определяются характером напряженного состояния в данной точке и не зависят от выбора координатных осей. Следовательно, при повороте системы осей x, y, z коэффициенты остаются неизменными, они инвариантны и называются инвариантами напряженного состояния (или инвариантами тензора напряжений). Эти коэффициенты определяются через компоненты данного напряженного состояния по следующим формулам

.

Характеризуя напряженное состояние в точке, мы изображаем эту точку в виде бесконечно малого кубика. Этот кубик по сути представляет собой пересечение трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Обычно изображают напряжения только на видимых гранях кубика. На невидимых гранях действуют точно такие же напряжения, только противоположно направленные.

П римеры напряженных состояний

На рис. 11.7 изображено трехосное напряженное состояние.

Если третий инвариант I₃ = 0, то один из корней уравнения (9) равен нулю. Значит, одно из главных напряжений равно нулю, а два других нулю не равны. Это двухосное напряженное состояние (рис. 11.8).

Площадки, свободные от напряжений, обычно закрашивают точками.

Возможен частный случай двухосного напряженного состояния, когда два главных напряжения равны по величине и противоположны по знаку. Такое напряженное состояние называется чистый сдвиг. В частности при кручении бруса возникает напряженное состояние чистый сдвиг. Под углом в ±45° к оси закрученного бруса возникают только нормальные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют. Значит, эти площадки главные. Нормальные напряжения в этих площадках численно равны касательному напряжению, возникающему в поперечном сечении, одно из них растяжение, это s_max = t, а другое сжатие, это s_min = -t (рис. 11.9).

Если два инварианта равны нулю , то два главных напряжения равны нулю, а третье нулю не равно. Это одноосное напряженное состояние (рис. 11.10).

Одноосное напряженное состояние имеет место, например, при растяжении, сжатии, изгибе.

Лекция 12

О пределение главных напряжений в случае, когда одна из площадок
главная

Предположим, что площадка z - главная, тогда . Рассмотрим сначала случай, когда и главное напряжение s_z = 0. Получим так называемое плоское напряженное состояние, рис. 12.1.

Поскольку одно из главных напряжений (это ) равно нулю, значит, третий инвариант кубического уравнения равен нулю, т. е. I₃ = 0.

При I₃= 0 кубическое уравнение принимает вид

или

Рассмотрим случай, когда выражение в скобках равно нулю

_. (1)

Получили квадратное уравнение, его корни равны

, (2)

Для нашего случая напряженного состояния при инварианты принимают вид

. (3)

Подставим (3) в (2)

,

. (4)

В полученной формуле s_x и s_y - нормальные напряжения в неглавных площадках,

т. е. в тех площадках, где есть t. При расчете эти нормальные напряжения ставим в выражение (4) с учетом знака - растяжение с плюсом, сжатие с минусом.

Выражение (4) пригодно и для случая, когда s_z ¹ 0 (рис. 12.2).

В конкретном примере оси к площадкам, содержащим касательные напряжения, могут имеет обозначения , отличные от x, y, z.

Обобщенный закон Гука

Определим связь между компонентами напряженного состояния s_x, s_y, s_z, t_xy, t_yz, t_zx и компонентами деформированного состояния e_x, e_y, e_z, g_xy, g_yz, g_zx , рис.12.3.

Мы рассматриваем малые деформации, в этом случае зависимость между напряжениями и деформациями линейная и носит название обобщенный закон Гука.

Можно доказать, что каждая угловая деформация g зависит только от соответствующего касательного напряжения t. Тогда связь между углами сдвига g и касательными напряжениями t принимает вид

, (5)

G – модуль упругости второго рода, модуль сдвига.

Можно также доказать, что линейные деформации e зависят только от нормальных напряжений.

В случае одноосного напряженного состояния (растяжение, сжатие, изгиб) из закона Гука мы имели связь между напряжениями и деформациями в виде , где e - продольная деформация (т. е. деформация в направлении действия напряжения s).

Рис.12.4

В случае трехосного напряженного состояния линейную деформацию e по каждой из трех осей создают все три нормальных напряжения s вследствие так называемого поперечного

эффекта. Поперечный эффект выражается зависимостью

e_поп = -ν e_прод., где ν - коэффициент Пуассона.

Для напряженного состояния, изображенного на рис. 12.4, деформацию по оси x можно представить как состоящую из трех частей, каждая из которых это доля деформации по оси x, создаваемая напряжениями s_x, s_y, s_z:

.

Запишем подробно линейную деформацию по оси x, создаваемую каждым нормальным напряжением отдельно (рис. 12.5а, 12.5б, 12.5в). Только от растягивающего напряжения s_x по оси x возникает продольная деформация растяжения . От напряжения s_y по оси y возникает продольная (т.е. в направлении действия деформация растяжения . Из-за поперечного эффекта от напряжения по оси x возникает деформация сжатия . От напряжения s_z по оси x также возникает деформация сжатия .

Просуммировав деформации по оси x от всех трех напряжений, получим результирующую деформацию e_x. По аналогии запишем деформации e_y, e_z

(6)

Формулы (5), (6) - это обобщенный закон Гука, связывающий напряжения и деформации в случае сложного напряженного состояния.

Относительное изменение объема

Из ненагруженного тела вырежем элемент в виде элементарного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 12.6а). Объем этого элемента равен dV = dx dy dz.

После нагружения тела длины сторон параллелепипеда стали равными Изменения первоначально прямых углов этого элементарного параллелепипеда бесконечно малы. При определении объема вырезанного элемента после нагружения тела эти изменения прямых углов не учитываются, и новый объем будет равен .

Элемент до нагружения Элемент после нагружения

Новая длина стороны элемента равна его первоначальной длине плюс приращение длины . Поскольку линейная деформация равна

, то , тогда

.

Аналогично можно записать выражения для dy₁, dz₁. В результате получим .

Объем элемента после деформаций равен

Линейная деформация e очень мала по сравнению с единицей. Обычно e это величина порядка 10^-3 в наших задачах. Произведение e на e мало по сравнению с e. Так что четыре последних члена в предыдущем выражении - это малые высшего порядка, ими пренебрегаем. Тогда объем элемента после нагружения тела равен

.

Относительное изменение объема e равно изменению объема, деленному на первоначальный объем

,

.

Относительное изменение объема равно сумме линейных деформаций.

Выразим относительное изменение объема через напряжения, используя обобщенный закон Гука:

.

Поскольку

Относительное изменение объема пропорционально первому инварианту напряженного состояния I₁.

Потенциальная энергия деформации в общем случае напряженного состояния

Удельная потенциальная энергия деформации

З аданы компоненты напряженного состояния (т.е., задан тензор напряжений T_σ). Требуется выразить потенциальную энергию деформации через эти компоненты. Рассмотрим элемент нагруженного тела в виде параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 12.7).

Поскольку величина потенциальной энергии, накопленной телом, не зависит от выбора координатных осей, а зависит только от напряженно-деформированного состояния тела, рассмотрим элемент, вырезанный главными площадками. На гранях этого элемента возникают только нормальные напряжения s₁, s₂, s₃. По отношению к вырезанному элементу эти напряжения являются внешними силовыми факторами, совершающими работу на соответствующих перемещениях. Каждая сила работает только на перемещении в направлении действия данной силы. Сила равна произведению напряжения на площадь площадки, на которой это напряжение действует. Так на площадке x действует сила, равная s₁ dz dy, где dz dy - площадь площадки dx. Сила, приложенная к площадке x, работает на перемещении , что является удлинением размера dx. При статическом нагружении, когда силы работают на ими же созданных перемещениях, в формуле работы всегда стоит коэффициент 1/2. Согласно теореме Клапейрона, работа внешних dW сил равна потенциальной энергии деформации dU, накопленной телом. В нашем случае

.

Ранее было показано, что , тогда

, где