МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. Н. Э. БАУМАНА

Андриевская С. И.

ЛЕКЦИИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ДЛЯ ОДНОСЕМЕСТРОВОГО КУРСА

(2 часа лекций в неделю)

Москва

2015

Содержание

Лекция 1 4

ВВЕДЕНИЕ 4

Цель и задачи изучаемого предмета 4

Расчетная схема 4

Внешние силы 5

Твердое тело 6

Внутренние силы 7

Метод сечений 7

Напряжения 9

Деформации 10

Лекция 2 11

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ 11

Основные положения 11

Напряжения, деформации 11

Коэффициент Пуассона 12

Закон Гука 13

Определение перемещений 13

Работа внешних сил и потенциальная энергия деформации 14

Расчет на прочность 16

Лекция 3 17

Механические характеристики материалов при растяжении, сжатии 17

Лекция 4 23

КРУЧЕНИЕ 23

Общие положения 23

Закон парности касательных напряжений 24

Механические характеристики материалов при кручении 24

Кручение бруса с круговым поперечным сечением 26

Основные гипотезы 26

Деформации при кручении 26

Определение угла закручивания 26

Определение напряжений 27

Лекция 5 28

Определение геометрических характеристик сечений 28

Расчет на прочность при кручении 29

Потенциальная энергия деформации и работа внешних сил 30

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге 31

Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения 32

Лекция 6 34

Кручение бруса тонкостенного открытого профиля - 34

разомкнутое сечение 34

Кручение бруса тонкостенного открытогопрофиля - 34

составное сечение 34

Кручение бруса тонкостенного замкнутого профиля 36

Геометрические характеристики сечений при кручении 40

Лекция 7 41

ИЗГИБ 41

Основные положения 41

Классификация опор 42

Связь между изгибающим моментом M_x, поперечной силой Q_y и интенсивностью распределенной нагрузки q 43

Чистый изгиб 44

Основные гипотезы 44

Деформации при изгибе 44

Прямой чистый изгиб 45

Определение положения нейтральной линии при прямом чистом изгибе 45

Определение условия, при котором возникает прямой изгиб 46

Зависимость между изгибающим моментом и кривизной оси бруса 47

Лекция 8 47

Определение напряжений при изгибе 47

Определение геометрических характеристик сечений при изгибе 48

Таблица геометрических характеристик сечений при изгибе 50

Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей 50

(Теорема Штейнера) 50

Расчет на прочность при изгибе 51

Потенциальная энергия деформации при изгибе 52

Поперечный изгиб 53

Лекция 9 54

Определение перемещений при изгибе 54

Интеграл Мора 54

Правило Верещагина для определения перемещений 56

Порядок определения перемещений по правилу Верещагина 58

Площади элементарных фигур и положение их центра тяжести 59

Лекция 10 59

Косой изгиб 59

Внецентренное растяжение, сжатие 62

Лекция 11 66

СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 66

Тензор напряжений 66

Определение напряжений в произвольной площадке 68

Главные напряжения 69

Примеры напряженных состояний 71

Лекция 12 72

Определение главных напряжений в случае, когда одна из площадок главная 72

Обобщенный закон Гука 73

Относительное изменение объема 75

Потенциальная энергия деформации в общем случае напряженного состояния 77

Лекция 13 79

Эквивалентное напряжение 79

Расчет на прочность в общем случае напряженного состояния 79

Теория прочности максимальных касательных напряжений 80

Шаровой тензор и девиатор напряжений 82

Потенциальная энергия изменения формы тела 83

Теория прочности энергетическая 84

Лекция 14 86

Упрощенное плоское напряженное состояние 86

Теория прочности Мора 87

Примеры на напряженное состояние 90

Лекция 15 93

Расчет тонкостенной цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением 93

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ 96

Вывод формулы Эйлера для определения критической силы 97

Лекция 16 100

Другие виды закрепления стойки 100

Коэффициент приведения длины стойки 101

Пределы применимости формулы Эйлера 102

Лекция 17 104

Заключительное занятие 104

ПРИЛОЖЕНИЕ 105

Приложение к лекции №8 105

Расчет на прочность при изгибе 105

Рекомендация по оформлению д.з. №3 «Изгиб» 107

Теорема Штейнера 110

Приложение к лекции № 9 112

Определение перемещений с помощью правила Верещагина 112

Пояснение, почему при определении перемещения по правилу Верещагина наклонную горбушку рассматриваем как расположенную горизонтально 114

Статически неопределимые системы при изгибе 115

Приложение к лекции №12 119

Определения главных напряжений 119

Приложение к лекции №14 120

Упрощенное плоское напряженное состояние 120

Расчет на прочность по формуле Мора 123

Лекция 1

ВВЕДЕНИЕ

Цель и задачи изучаемого предмета

Сопротивление материалов изучает основы расчета на прочность и жест­кость типовых элементов инженерных сооружений.

В результате расчета на прочность устанавливаются надежные размеры конструкции, обеспечивающие при возможно меньшей затрате материала целостность сооружения в предполагаемых условиях эксплуатации. Одновременно должна быть гарантирована необходимая жесткость конструкции - изменение ее размеров и формы при нагружении должны соответствовать условиям эксплуатации.

Расчетная схема

Исследование вопроса о прочности реального объекта начинают с выбора рас­четной схемы. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы.

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения в геометрию реального объекта. Наиболее часто встречающиеся типы элементов машин и сооружений могут быть сведены к схеме бруса, пластины и оболочки.

Б рус - это тело, у которого одно из измерений (длина) много больше двух дру­гих, рис. 1.1. По схеме бруса рассчитывают, например, оси, валы, тяги, балки, колонны и др.

Пластина и оболочка - это тела, одно из измерений которых (толщина) много меньше

двух других. По схеме пластины рассчитываются, например, днища баков, лопатки турбин, крылья самолетов.

К схеме оболочки сводятся такие конструктивные элементы как стенки сосудов с жидкостью или газом, корпуса ракет и пр.

Внешние силы

Внешние силы - это действие окружающих тел на конструкцию, которая рассматривается изолированно. Выяснение величины и характера внешних сил, действующих на сооружение, лежит в основе всякого расчета.

Внешние силы бывают объемными (например, собственный вес) и поверхностными. Величина нагрузки, приходящейся на единицу площади, оценивается давлением p, Н/м². Если область приложения нагрузки представляет собой узкую полоску, то вводят по­нятие интенсивности нагрузки q, Н/м, т. е. это величина нагрузки, приходящаяся на единицу длины по­лоски.

При расчете необходимо установить не только величину, но и закон распределе­ния внешних сил по поверхности тела. В большинстве случаев установить точно этот закон очень трудно. Тогда делают наиболее правдоподобные предположения.

Если область приложения сил очень мала по сравнению со всей поверхностью тела, то можно заменить распределенные силы их равнодействующей и считать силу сосредоточенной. Здесь используется обобщенный принцип эквивалентности Сен-Венана, согласно которому замена поверхностных сил, приложенных в локальной об­ласти, их равнодействующей (статически эквивалентной нагрузкой) не сказывается заметным образом на поведении нагруженного тела в местах, удаленных от области приложения нагрузки.

Все внешние силы, действующие на тело, уравновешивают друг друга и образуют нагрузку. Часть сил задана условиями задачи (например, вес груза, давление на поршень и т. д.). Остальные, возникающие при соприкосновении тела с соседними телами, которые его удерживают в равновесии, неизвестны. Они называются силами реакций и определяются обычно из уравнений равновесия (уравнений статики). При этом используется принцип начальных размеров, который состоит в том, что уравнения равновесия составляются для жесткого тела без учета изменений его формы в связи с деформациями. Это практически приемлемо, так как в реальной конструкции изменение геометрических размеров элементов и перемещения отдельных его точек обычно малы по сравнению с генеральными размерами конструкции.

Нагрузки могут быть статическими и динамическими. Если силы, нагружающие тело, растут до своего конечного значения постепенно в течение некоторого промежутка времени, не сообщая конструкции ускорений, а затем остаются постоянными, то такие нагрузки называются статическими. Если же силы приклады­ваются быстро, вызывая при этом заметные колебания отдельных частей конструкции, то та­кие нагрузки называются динамическими, например – ударная нагрузка. Внешние силы могут быть постоянными и переменными во времени.

Твердое тело

Если силы взаимодействия между частицами тела достаточны, чтобы противостоять значительным внешним силам, обеспечить его целостность, то говорят, что тело нахо­дится в твердом состоянии. Все твердые тела по своему строению в основном могут быть разделены на кристаллические и аморфные тела. Основные машиностроительные материалы - металлы имеют кристаллическую струк­туру. Специальные исследования показывают, что металлы состоят из огромного количе­ства мельчайших кристаллов, различным образом расположенных, связанных в группы - зерна. Эти зерна имеют различную величину, форму и расположение относительно друг друга, т. е строение реального материала неоднородно.

Кристалл металла представляет собой систему атомов-ионов, расположенных в строго геометрическом порядке на некотором расстоянии друг от друга в узлах и гранях «пространственной решетки». Таким образом, строение реального материала прерывно.

Кристаллы в разных направлениях имеют различные физико-химические и механи­ческие свойства.

Основные гипотезы о твердом теле

При расчете на прочность и жесткость вместо реального материала рассматривается некий гипотетический материал, обладающий ниже перечисленными свойствами:

1) механика деформируемого тела строится на гипотезе сплошности тел, т. е. считается, что объем тела сплошь заполнен массой. Это дает возможность использовать аппарат

теории бесконечно малых величин;

2) сплошная среда считается однородной;

3) материал в каждой точке считается, как правило, изотропным, т. е. в любой точке тела его свойства считаются одинаковыми во всех направлениях.

Принятые гипотезы (сплошности, однородности, изотропности) при рассмотре­нии значительных объемов тела дают результаты, хорошо отражающие действитель­ность, так как механические свойства тела определяются средними статистическими свойствами всех частиц.

Сплошная среда наделяется обычно свойствами совершенно упругого тела, т. е.

свойствами тела, способного при разгрузке полностью восстанавливать свои размеры и

форму. Эксперименты показывают, что большинство материалов в начальной стадии нагружения практически являются вполне упругими.

Расчет элементов конструкций, выполненных из анизотропных материалов (т. е. из не изотропных), а также расчет за пределами упругости - отдельные темы, которые в данном курсе не рассматриваются.

Внутренние силы

В исходном, естественном состоянии кристаллической решетки силы притяжения и отталкивания, действующие между ион-атомами, взаимно уравновешены. В процессе деформации расстояния между узлами кристаллической решетки изменяются, и час­тички тела получают взаимные смещения. При этом возникают дополнительные, внут­ренние силы взаимодействия частиц, которые уравновешивают внешние силы, прило­женные к телу. При удалении нагрузки эти дополнительные внутренние силы исче­зают в связи с возвращением частиц в первоначальное уравновешенное положение. В этом случае внешние силы деформировали тело в пределах упругости материала.