Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

.

В полученной формуле E A - жесткость при растяжении.

Если осевая сила N и жесткость при растяжении ЕА постоянны по длине бруса l (N = const, E A = const), то формула для определения удлинения при растяжении и укорочения при сжатии принимает вид: .

Работа внешних сил и потенциальная энергия деформации

В процессе нагружения деформируемого тела внешние силы совершают работу на перемещениях точек их приложения.

Теорема Клапейрона

Если тело, на которое наложены совершенные связи (без трения) и температура которого остается постоянной, деформируется при статическом нагружении упруго, то работа W, совершаемая внешними силами, равна потенциальной энергии деформации U, накопленной телом: W = U.

При разгрузке упругого тела энергия, накопленная при деформировании, способна свершать работу, что используется в технике, обычно в конструкциях с пружинами.

Подсчитаем, чему равна работа статически прикладываемой силы, растягивающей призматический брус, рис.2.4. На рисунке удлинение бруса условно изображено соизмеримым с его длиной . В действительности в рассматриваемых нами задачах удлинения намного меньше размеров бруса (Dl << l).

В соответствии с формулой при N = F имеем , т. е. между растягивающей силой F и удлинением бруса имеется линейная зависимость, представленная на рис. 2.4 прямой 0В. Обозначим через F₁ любое значение нагрузки в интервале от 0 до конечного значения F. На любом этапе нагружения при возрастании силы F₁ на величину dF₁ удлинение увеличивается на величину, равную , а текущая сила совершает работу на элементарном перемещении d (Dl)₁ :

Элементарная работа dW пропорциональна площади полоски, интенсивно заштрихованной на рис. 2.4. Полная работа W, совершаемая внешней силой при ее возрастании от нуля до конечного значения F, равна

или ,

где d (равное Dl в нашем примере) - перемещение точки приложения силы в направлении действия этой силы

На графике работа, совершенная силой F в процессе нагружения бруса, представляется площадью заштрихованного треугольника ОВС. Так как W = U, а F = N, то потенциальная энергия деформации в упругой зоне равна

_{Если осевая сила бруса N или его жесткость ЕА не постоянны по длине бруса l, то потенциальная энергия определяется по формуле}

Если рассматриваемая система имеет несколько участков, то для подсчета потенциальной энергии деформации необходимо вычислить нормальные силы на каждом участке, а затем, зная длину и жесткость участков, вести расчет по формуле

где n - число участков, i - индекс участка, N_i - осевая сила на данном участке (ее значение можно взять с эпюры N).

Если к брусу приложено одновременно несколько сил, то работа этих сил равна

где F_j - внешняя сила, d_j - перемещение точки приложения j-той силы в направлении ее действия, m - число внешних сил. Если перемещение точки приложения силы противоположно направлению действия этой силы, то соответствующий член суммы будет с минусом.

Расчет на прочность

При расчете на прочность возникающие в нагруженной конструкции напряжения сравниваются с предельными напряжениями для данного материала. Предельными называются напряжения, при которых в материале происходят качественные изменения. Так для пластичных материалов (малоуглеродистая сталь, медь, алюминий, латунь и другие) предельным является состояние начала текучести, когда в материале вследствие необратимых сдвигов в кристаллах металла возникают пластические деформации, не исчезающие после разгрузки. Говорят «материал течет». Соответствующие началу текучести напряжение s_т называется пределом текучести.

Для хрупких материалов (чугун, высокопрочные стали и другие) предельным является состояние начала разрушения - в материале возникают трещины, он ломается, рвется. Соответствующее разрушению напряжение s_в называется пределом прочности.

Предел текучести s_т и предел прочности s_в определяются экспериментально и заносятся в справочники.

Различают два типа расчета на прочность по допускаемым напряжениям.

Поверочный расчет: даны размеры конструкции, материал, нагрузки, температура.

Требуется определить коэффициент запаса n, который показывает во сколько раз максимальное напряжение в системе меньше предельного напряжения.

Для пластичных материалов определяется

коэффициент запаса по текучести .

Если материал работает одинаково на растяжение и сжатие, т. е. предел текучести при растяжении s_тр равен пределу текучести при сжатии s_тс, то этот предел обозначается просто s_т и максимальное напряжение берется по модулю вне зависимости растяжение это или сжатие. Предел текучести s_т задан, максимальное напряжение s_max определяем из решения задачи.

Для хрупких материалов определяется

коэффициент запаса по разрушению .

Предел прочности s_в задан, максимальное напряжение s_max определяем из решения задачи. Хрупкие материалы, как правило, работают на растяжение хуже, чем на сжатие, т. е. предел прочности при растяжении s_вр меньше предела прочности при сжатии s_вс (s_вр < s_вс).

В таких случаях следует определить

коэффициент запаса по растяжению и

коэффициент запаса по сжатию ,

где (s_max)_р и (s_max)_с - максимальное растягивающее и максимальное сжимающее напряжение, соответственно.

Коэффициент запаса системы - меньшее из полученных значений.

Аналогично поступаем, если s_тр < s_тс.

Коэффициент запаса должен быть больше единицы.

Проектировочный расчет: размеры сечения бруса, допустимые нагрузки, допустимая степень нагрева и т. д. определяются из

условия прочности

s_max [s],

где [s] - допустимое напряжение, которое либо задано, либо определяется как

- для пластичных материалов,

- для хрупких материалов,

s_max - максимальное напряжение, которое определяем из решения задачи в общем виде через искомый параметр (через искомую силу F, или через искомую площадь сечения A, или через температуру Δ t).

Лекция 3

Механические характеристики материалов при растяжении, сжатии

Характеристики материалов, используемые при расчетах на прочность – предел текучести и предел прочности (также как модуль упругости Е и коэффициент

Пуассона определяются экспериментально и заносятся в справочники. Испытания проводятся в специальных лабораториях на стандартных образцах.

Испытания на растяжение

Для испытаний на растяжение используют стандартный десятикратный образец, у которого l₀ = 10 d_0, рис. 3.1.

l₀ – это расстояние между рисками, которое является базой испытаний. Изменения этого размера во время эксперимента фиксирует испытательная машина. первоначальная площадь сечения образца.

В результате испытаний получают характеристику образца - кривую в координатах F, Dl (растягивающая сила, удлинение образца, т.е базы ).

Затем по формулам и строят характеристику (диаграмму) материала.

Испытания малоуглеродистой стали - типичного пластичного материала

Рис.3.2

Участки характеристики образца:

ОА - линейный участок, материал подчиняется закону Гука, удлинение образца определяется по формуле ;

ОВ - до точки В деформации упруги, т. е. они полностью исчезают после разгрузки;

CD - горизонтальный участок - площадка текучести, на этом участке деформации

интенсивно нарастают при постоянной нагрузке, материал «течет»;

DE - зона упрочнения: в кристаллах металла произошла перестройка, и он может снова сопротивляться нагружению;

EG - зона разрушения.

В точке Е при в образце возникает местное утонение - шейка. Дальнейшие деформации сосредотачиваются в районе шейки, которая затем интенсивно утоняется, поэтому нагрузка уменьшается. После разрыва образца материал в районе шейки теплый, это зона больших пластических деформаций, при их образовании материал нагревается.

На характеристике образца с помощью геометрических построений находят характерные точки, соответствующие силам F_пц, F_y, F_т, F_max, F_раз. Затем по формулам сопромата вычисляют соответствующие напряжения и строят диаграмму (характеристику) материала, с помощью которой определяют механические характеристики материала:

- предел пропорциональности - наибольшее напряжение, до которого справедлив закон Гука s = E e;

- предел упругости - наибольшее напряжение, до которого деформации полностью упруги, т. е. целиком исчезают при разгрузке;

- предел текучести - напряжение, при котором деформации интенсивно нарастают при постоянной нагрузке;

- предел прочности - напряжение, численно равное максимальной нагрузке, деленной на первоначальную площадь поперечного сечения образца.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)