Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Примечание.

Для определения изгибающего момента от распределенной нагрузки q ( )

заменяем эту нагрузку ее равнодействующей, равной интенсивности q , умноженной на длину (НА ВСЮ ДЛИНУ!) участка, по которой эта нагрузка распределена. Равнодействующую прикладываем в середине участка. В нашем случае равнодействующая сила равна qdz, а плечо равно Плечо это перпендикуляр, опущенный на линию действия силы из точки, вокруг которой вычисляем момент.

Чистый изгиб

Рассмотрим чистый изгиб, т.е. случай, когда в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент М_x.

Основные гипотезы

1. г ипотеза плоских сечений: поперечные сечения плоские до деформации, остаются плоскими и нормальными к изогнутой оси бруса после изгиба;

2. гипотеза о ненадавливании слоев: слои не оказывают друг на друга бокового давления, т.е. существуют только нормальные напряжения вдоль оси бруса z, а в направлении осей x, y напряжения отсутствуют, рис. 7.7.

Деформации при изгибе

Рассмотрим элемент бруса длиной dz, который при нагружении принимает искривленную форму (рис. 7.8). На этом рисунке cd - нейтральный слой, длина которого при нагружении остается неизменной, т. е. cd = c₁d₁ = r dQ, где r - радиус кривизны нейтрального слоя. Рассмотрим произвольный слой ab на расстоянии y от нейтрального слоя cd. После изгиба длина этого слоя стала a₁b₁ = (y + r) dQ. До изгиба ab = cd, но cd = r dQ, значит, ab = r dQ. Относительная линейная деформация равна отношению приращения длины элемента к его первоначальной длине

, .

Рис. 7.8

Прямой чистый изгиб

О пределение положения нейтральной линии при прямом чистом изгибе

Рассмотрим прямой чистый изгиб (рис.7.9). Прямым называется изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента совпадает с плоскостью изменения кривизны изогнутой оси бруса. Иными словами, брус изгибается в той плоскости, в которой его гнут.

Поскольку рассматриваем чистый изгиб, то в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент М_x, а все остальные внутренние суммарные силовые факторы равны нулю. Это значит, что изгибающий момент относительно оси y равен нулю ( ) и осевая сила N также равна нулю.

Из последнего условия при

Подставим для напряжения s его значение из закона Гука: s = E e, а для деформации e подставим полученное ранее выражение . В результате получим

Радиус кривизны оси бруса r изменяется только по длине бруса, по площади сечения r не изменяется. Для данного сечения это величина постоянная. Модуль упругости материала Е = const, т. е. для данного сечения отношение есть величина постоянная. Эту постоянную величину вынесли за знак интеграла. Так как Е 0, а r ¹ , то значит, равен нулю интеграл Обозначим этот интеграл . Эта величина является геометрической характеристикой сечения и называется статическим моментом площади сечения относительно оси x. Статический момент равен нулю относительно центральной оси. Значит, нейтральная линия (ось x) проходит через центр тяжести сечения.

Определение условия, при котором возникает прямой изгиб

Поскольку рассматриваем чистый изгиб, то в поперечном сечении бруса возникает только момент , а изгибающий момент относительно оси y равен нулю, т. е. M_y = 0, где Элементарный изгибающий момент dM_y равен произведению элементарной силы на плечо. В нашем случае элементарная сила равна произведению напряжения s на элементарную площадь dA, а плечо это расстояние от этой элементарной силы до той оси, относительно которой вычисляется момент, т. е. в данном случае плечо это x - расстояние до оси y .

,

Поскольку , значит

Обозначим - это геометрическая характеристика сечения бруса, называемая центробежным моментом инерции площади сечения относительно осей x, y. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Значит, наши взаимно перпендикулярные оси x, y - главные центральные оси сечения. Следовательно, плоскость кривизны оси бруса (т. е. плоскость его изгиба) совпадает с плоскостью действия изгибающего момента в том случае, когда моментная плоскость проходит через главную ось сечения. Полезно помнить, что ось симметрии всегда главная ось.

Вывод: прямой изгиб возникает в случае, когда моментная плоскость проходит через главную ось сечения. При прямом чистом изгибе нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна моментной линии. Моментная линия это след моментной плоскости на поперечном сечении.

Зависимость между изгибающим моментом и кривизной оси бруса

Запишем выражение для М_x - изгибающего момента относительно оси x, который нулю не равен.

.

Обозначим - это геометрическая характеристика сечения, называемая осевым моментом инерции площади поперечного сечения относительно оси x.

Тогда из выражения получим .

Здесь кривизна изогнутой оси бруса, E J_x - изгибная жесткость.

При чистом изгибе, когда , изогнутая ось бруса – дуга окружности.

Лекция 8

Определение напряжений при изгибе

Согласно закону Гука s = E e, где и , откуда получается

, .

Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса при изгибе изменяются по линейному закону по высоте сечения. Наибольшие напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии:

Обозначим , где W_x - геометрическая характеристика сечения, называемая моментом сопротивления изгибу, тогда

Поскольку в районе нейтральной линии материал напряжен слабо, то рациональными сечениями при изгибе будут профили, у которых материал в районе нейтральной линии частично удален и большая часть площади сечения расположена на достаточном удалении от нейтральной линии. Примером таких рациональных сечений могут служить стандартные профили двутавр и швеллер, рис. 8.1.

Двутавр Швеллер

Рис.8.1

Определение геометрических характеристик сечений при изгибе

Прямоугольное сечение, рис.8.2

dA = B dy,

Сплошное круговое сечение, рис. 8.3

dA = r dj dr, y = r sin j,

_.

Толстостенная труба, рис.8.4

Поскольку осевой момент инерции J_x это интеграл, то для данного сечения его можно вычислять как разницу моментов инерции наружного контура и внутреннего контура.

Момент сопротивления изгибу W_x - это не интеграл, а частное от деления момента инерции J_x на y_max, поэтому его нельзя вычислять как разницу моментов сопротивления наружного контура и внутреннего контура.

Тонкостенная труба, рис.8.5

Если

Таблица геометрических характеристик сечений при изгибе

Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

(Теорема Штейнера)

При расчете на прочность напряжения определяются по формуле

В этой формуле - осевой момент инерции площади сечения относительно нейтральной линии - оси x; y - расстояние от этой оси до точки, в которой определяется напряжение. Поэтому в общем случае (для сечения без двух осей симметрии) надо сначала найти положение центра тяжести сечения. Затем определить момент инерции площади сечения относительно нейтральной линии - оси x, проходящей через центр тяжести сечения. При этом используется выведенная ниже теорема.

В ывод теоремы

Для данной фигуры, площадь сечения которой равна А (рис. 8.6), оси x, y - центральные оси, называемые еще собственными осями. Собственные моменты инерции J_x, J_y относительно этих центральных осей фигуры известны. Требуется определить моменты инерции относительно осей x₁, y₁, которые параллельны собственным осям x, y.

Интеграл - статический момент площади сечения относительно оси x.

Ось x - центральная ось. Относительно центральной оси статический момент равен нулю. Аналогично можно получить выражение для момента инерции относительно оси y₁.

.

Момент инерции относительно оси, параллельной собственной оси, равен собственному моменту инерции плюс площадь сечения, умноженная на квадрат расстояния между осями (теорема Штейнера).

Следует запомнить, что в теореме Штейнера одна из осей должна быть обязательно собственной осью. Это значит, что нельзя осуществлять переход от произвольной оси к произвольной, а только от собственной оси (т.е. от оси, проходящей через центр тяжести сечения фигуры) к произвольной оси и наоборот – от произвольной оси к собственной.

Расчет на прочность при изгибе

Поверочный расчет

Заданы нагрузки, форма и размеры сечения, материал.

Требуется определить коэффициент запаса.

Для пластичных материалов определяется коэффициент запаса по текучести .

Для хрупких материалов определяется коэффициент запаса по разрушению .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)