- объем выделенного элемента. Удельная потенциальная энергия деформации U₀ - это энергия, накопленная единицей объема тела

,

. (7)

Для трехосного напряженного состояния по закону Гука имеем

(8)

Подставив (8) в (7), получим

. (9)

При выводе расчетных формул надо стремиться к тому, чтобы они были выражены через инварианты напряженного состояния. Основные формулы сопромата выведены для напряжений, возникающих в поперечном сечении. Напряжения в продольных сечениях также известны. В точке сечения у контура профиля третьей площадкой, перпендикулярной к первым двум, может быть поверхность тела, свободная от напряжений или подверженная воздействию давления, величина которого известна. Таким образом, зная напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках (поперечное сечение, продольное сечение и поверхность тела), т.е. зная тензор напряжений , мы можем подсчитать инварианты, определяющие напряженное состояние в любой точке сечения у поверхности тела. Поэтому, если расчетные формулы выражены через инварианты напряженного состояния, задача определена. Формула (9) для удельной потенциальной энергии деформации пока не может быть выражена через инварианты. Чтобы ее свернуть, надо иметь удвоенные произведения нормальных напряжений. Для этой цели в формуле (9) прибавим и отнимем эти удвоенные произведения:

. (10)

Таким образом, вырезав точку в главных площадках, мы значительно упростили основные выкладки. Конечный результат представлен через инварианты, но инварианты можно записать и через компоненты тензора напряжений T_s. Входящие в этот тензор напряжения известны.

Лекция 13

Эквивалентное напряжение

Расчет на прочность в общем случае напряженного состояния

В общем случае напряженного состояния в поперечном сечении бруса возникают как нормальные напряжения , так и касательные напряжения . Коэффициентом запаса в этом случае является число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты данного напряженного состояния, чтобы получить предельное напряженное состояние, подобное данному напряженному состоянию. Два напряженных состояния равноопасны, если у них одинаковы коэффициенты запаса.

При расчете на прочность в случае сложного напряженного состояния данное напряженное состояние с помощью теории прочности выражается через столь же опасное, эквивалентное ему одноосное растяжение (рис. 13.1)

Эквивалентное напряжение по определенным формулам выражается через компоненты данного напряженного состояния (т.е. через s_x, s_y, s_z, t_xy, t_yz, t_zx, значения которых известны). Затем проводится расчет на прочность уже для этого гипотетического (т.е. не существующего) эквивалентного растягивающего напряжения.

Поверочный расчет

Определяется коэффициент запаса.

Для пластичных материалов определяется коэффициент запаса по текучести .

Для хрупких материалов определяется коэффициент запаса по разрушению .

Поскольку s_экв всегда растяжение, то в числителе приведенных формул стоят характеристики материала при растяжении, это - предел текучести при растяжении и - предел прочности при растяжении.

Проектировочный расчет

Размеры сечения или допускаемые нагрузки определяются из

условия прочности: ,

где [s] - допускаемое напряжение, которое либо задано, либо определяется по формулам:

- для пластичных материалов, - для хрупких материалов.

Построению теории прочности предшествует гипотеза, с помощью которой выдвигается некоторый критерий. С помощью этого критерия сравнивают данное напряженное состояние и эквивалентное ему одноосное растяжение. Затем гипотеза проверяется экспериментально. Если эксперимент подтверждает результаты расчета по данной гипотезе, гипотеза становится теорией прочности. В настоящее время используются три теории прочности:

1. Теория прочности максимальных касательных напряжений.

2. Теория прочности энергетическая.

3. Теория прочности Мора.

Теория прочности максимальных касательных напряжений

Это теория начала текучести, т.е. предельным является состояние, когда в системе возникают массовые пластические деформации. Образование пластических деформаций, т.е. остаточных деформаций, не исчезающих после разгрузки тела, связано с необратимыми сдвигами в кристаллической решетке металла. Сдвиги возникают от касательных напряжений t, поэтому в качестве критерия для сравнения двух напряженных состояний в этой теории выбрано t_max - максимальное касательное напряжение, возникающее в какой-то площадке, проходящей через данную точку нагруженного тела. Чтобы выразить t_max через главные напряжения, рассмотрим элемент, вырезанный из нагруженного тела главными площадками (рис. 13.2а). Затем из этого элемента плоскостью, параллельной главной оси 2, вырежем клиновидный элемент (рис. 13.2б).

Из равновесия этого клиновидного элемента получим выражение t_a через главные напряжения, где t_a это касательное напряжение, действующее в площадке, расположенной под углом a к главной оси 1. Площадь наклонной площадки обозначена через dA, тогда площадь площадки 1 будет dA cosa, а площадь площадки 3 будет dA sina.

Уравнение равновесия элемента (сумма проекций всех сил на ось t) :

.

Получили максимальное значение касательного напряжения, которое возникает в одной из площадок, параллельных главной оси 2. Обозначим это максимальное напряжение как . Если вырезать элемент плоскостью, параллельной главной оси 3, то получим . По аналогии в одной из площадок, параллельных главной оси 1, возникает . Из трех полученных значений наибольшим является , так как

s₁ – это максимальное, а s₃ - минимальное из всех возможных значений нормальных напряжений, возникающих в площадках, проходящих через данную точку нагруженного тела.

Значит, для данной точки наибольшее значение касательного напряжения .

Рассмотрим два напряженных состояния (рис.13.3, 13.4).

Для данного напряженного состояния (рис.13.3)

. (1)

Для эквивалентного одноосного растяжения (рис.13.4) s₁ = s_экв, а s₂ = s₃ = 0, откуда получается _. (2) Поскольку в данной теории в качестве критерия выбрано t_max, то два напряженных состояния равноопасны, если у них одинаковы максимальные касательные напряжения. Приравняв правые части выражений (1) и (2), получим формулу для определения эквивалентного напряжения по теории прочности максимальных касательных напряжений

.

Эта теория применима только для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие ( , и только для определения коэффициента запаса по текучести .

Теория удовлетворительно подтверждается экспериментом, её недостаток - не учитывает промежуточное напряжение s₂.

Шаровой тензор и девиатор напряжений

Любое напряженное состояние можно представить как сумму двух напряженных состояний (рис. 13.5). Одно из этих состояний - трехосное равное растяжение, которое называется шаровым тензором. Второе напряженное состояние, которое дополняет шаровой тензор до исходного напряженного состояния, называется девиатором напряжений. Шаровой тензор соответствует только изменению объема тела без изменения его формы при любом значении напряжения . Девиатор напряжений соответствует как изменению формы тела, так и изменению его объема.

I₁, I₂ – инварианты исходного н.с., I_1D, I_2D – инварианты девиатора.

Подберем напряжение s₀ таким образом, чтобы девиатор напряжений соответствовал только изменению формы тела, без изменения его объема. Согласно полученному ранее выражению, относительное изменение объема e пропорционально первому инварианту тензора напряжений . Если девиатор напряжений соответствует только изменению формы, значит, изменение объема в девиаторе равно нулю. Следовательно, первый инвариант девиатора I_1D должен равняться нулю

, откуда получается

или (3)

Получили значение s₀, при котором девиатор напряжений соответствует только изменению формы тела без изменения его объема.

Потенциальная энергия изменения формы тела

Удельную потенциальную энергию деформации U₀ тоже можно представить как состоящую из двух частей. Одна часть, U_об - это удельная потенциальная энергия деформации, затраченная только на изменение объема тела. Эта энергия накоплена в шаровом тензоре. Другая часть, U_ф, относящаяся к девиатору напряжений при , это потенциальная энергия, затраченная только на изменение формы тела. Полная удельная потенциальная энергия деформации равна сумме этих частей

U₀ =U_об + U_ф.

Ранее была выведена формула для удельной потенциальной энергии деформации