. (4)

Выведем формулу для U_ф - потенциальной энергии изменения формы. Эта формула потребуется нам в дальнейшем. Чтобы получить выражение для U_ф надо в формулу (4) вместо I₁ и I₂ поставить инварианты девиатора I_1D и I_2D. Первый инвариант девиатора равен нулю (I_1D = 0), тогда удельная потенциальная энергия изменения формы равна

(5)

где второй инвариант девиатора равен

(6)

Подставим (6) в (5), получим выражение для потенциальной энергии изменения формы через инварианты исходного напряженного состояния:

(7)

Теория прочности энергетическая

Это теория начала текучести, т.е. предельным является состояние, когда в материале возникают массовые пластические деформации. Поскольку пластические деформации связаны с необратимыми сдвигами в кристаллической решетке, а при сдвигах изменяется только форма тела, объем же остается неизменным, то в качестве критерия для сравнения двух напряженных состояний в данной теории предлагается энергия изменения формы.

Рассмотрим некоторое напряженное состояние и эквивалентное ему одноосное растяжение (рис. 13.6).

Для энергии формоизменения (изменения формы) ранее была получена формула

₍₈₎

_{Где инварианты данного напряженного состояния равны}

₍₉₎

_{Подставим (9) в (8):}

₍₁₀₎

Получили формулу, определяющую энергию изменения формы для данного напряженного состояния.

Для эквивалентного одноосного растяжения (рис. 13.6) при s₁ = s_экв, s₂ = s₃ = 0

выражение для энергии изменения формы преобразуется к виду

(11)

Согласно данной теории, два напряженных состояния равноопасны, если у них одинаковы энергии изменения формы, т. е. U_ф = (U_ф)_экв. Приравняв правые части выражений (10) и (11), получим формулу для эквивалентного напряжения по энергетической теории прочности

( 12 )

Эта теория хорошо подтверждается экспериментом. Она точнее теории прочности

максимальных касательных напряжений, так как учитывает все напряжения. Однако эта теория тоже применима только для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие ( ), и только для определения коэффициента запаса по текучести .

Лекция 14

Упрощенное плоское напряженное состояние

Рассматриваем материал, который одинаково работает на растяжение и сжатие, т.е. s_тр = s_тс или . Рассмотрим напряженное состояние, изображенное на рис. 14.1. Поскольку s_x = t_xy = t_xz = 0, то данное напряженное состояние является плоским,

а так как s_y = 0, это упрощенное плоское напряженное состояние. Такое напряженное состояние наиболее часто встречается на практике.

Выведем формулы для определения эквивалентного напряжения для данного частного случая напряженного состояния по двум теориям прочности. Обозначим .

Рассмотрим теорию прочности максимальных касательных напряжений.

Согласно этой теории эквивалентное напряжение равно .

Чтобы воспользоваться этой формулой, определим сначала главные напряжения s₁ и s₃.

, т. е.

Эквивалентное напряжение равно

откуда получается выражение для эквивалентного напряжения по теории прочности максимальных касательных напряжений

. (1)

Рассмотрим энергетическую теорию прочности.

В нашем случае при значениях напряжений и

эта формула приобретает вид

,

откуда получается формула для определения эквивалентного напряжения по энергетической теории прочности

(2)

Получили две формулы для определения эквивалентного напряжения для упрощенного плоского напряженного состояния. Значения эквивалентного напряжения по этим формулам отличаются незначительно. Однако формула (2) более точная, чем формула (1), так как в энергетической теории прочности учитываются все напряжения.

Теория прочности Мора

Это теория начала текучести и начала разрушения, применима как для пластичных, так и для хрупких материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие, пригодна для определения коэффициента запаса по текучести и коэффициента запаса по разрушению.

Поскольку возникновение пластических деформаций связывают с максимальным касательным напряжением t_max, то начало разрушения логично связать с максимальным нормальным напряжением s₁. В этом случае эквивалентное напряжение s_экв можно представить как некоторую функцию t_max и s₁, например, .

Поскольку то эквивалентное напряжение будет равно

Обозначим , тогда формула для эквивалентного напряжения принимает вид

. (3)

Коэффициенты А и k можно определить, рассмотрев предельные напряженные состояния. Рассмотрим вначале предельное одноосное растяжение хрупкого материала, представленное на рис. 14.2а. Предельное эквивалентное напряженное состояние, представленное на рис. 14.2б, это то же самое предельное растяжение с эквивалентным напряжением, равным пределу прочности при растяжении s_вр.

Для напряженного состояния, представленного на рис. 14.2а, главные напряжения равны: здесь s_вр – предел прочности при растяжении.

Эквивалентное напряжение данного напряженного состояния в этом случае

₍₄₎

Поскольку эквивалентное одноосное растяжение в данном случае это предельное растяжение (рис.14.2б), то

s_экв = s_вр. (5)

Условие равнопрочности это равенство эквивалентного напряжения для данного напряженного состояния, т. е. , и эквивалентного ему одноосного растяжения,

т. е. . Приравняв правые части выражений (4) и (5), получим

, откуда следует, что .

Теперь рассмотрим предельное одноосное сжатие хрупкого материала, представленное на рис. 14.3а, и эквивалентное ему одноосное растяжение, рис. 14.3б.

Для данного напряженного состояния Напряжение s₃ записано со знаком минусом, поскольку это сжатие, s_вс - предел прочности при сжатии. Эквивалентное напряжение равно

. (4)

Предельное эквивалентное напряженное состояние (рис. 14.3б) - это по-прежнему одноосное растяжение с эквивалентным напряжением, равным пределу прочности при растяжении, т. е.

s_экв = s_вр. (5)

Из условия , приравняв правые части выражений (4) и (5),

, получаем .

Коэффициент k, равный отношению предела прочности при растяжении к

пределу прочности при сжатии, характеризует неодинаковость работы материала на растяжение и сжатие.

Мы рассмотрели предельные напряженные состояния для хрупкого материала. Если рассмотреть предельные состояния для пластичного материала, то получим

, где s_тр - предел текучести при растяжении, s_тс - предел текучести при сжатии.

Окончательно формулу для определения эквивалентного напряжения по теории прочности Мора можно записать в виде

,

где s₁ = s_max, s₃ = s_min (в алгебраическом смысле, т. е. с учетом знака) – это главные напряжения, которые определяются по специальной формуле, выведенной ранее.

Для хрупких материалов теория Мора - это теория начала разрушения, с помощью которой определяется коэффициент запаса по разрушению n_в:

.

Хрупкие материалы работают на растяжение хуже, чем на сжатие. У таких материалов предел прочности при растяжении s_вр меньше предела прочности при сжатии s_вс, поэтому k меньше единицы.

Для пластичных материалов теория Мора - это теория начала текучести, с помощью которой определяется коэффициент запаса по текучести n_т:

.

Большинство пластичных материалов работает одинаково на растяжение и на сжатие. В этом случае s_тр = s_тс и k = 1. Но есть такие пластичные материалы, которые работают на растяжение хуже, чем на сжатие. Для таких материалов s_тр < s_тс и k < 1.

Недостатком теории Мора является тот факт, что она не учитывает промежуточное главное напряжение s₂.

Все теории прочности применимы только в случае, если s_max и s_min имеют разные знаки или одно из них равно нулю, поскольку экспериментально теории прочности проверены только для смешанных или одноосных напряженных состояний. Если все три главных напряжения получаются одного знака, расчет на прочность провести не можем. Однако, если одно из трех главных напряжений значительно меньше двух других, то можно условно считать это напряжение равным нулю и проводить расчет на прочность.

Трехосные растяжения на практике фактически не возникают. При трехосном равном сжатии разрушение не происходит, материал только уплотняется. Таким образом, теория Мора имеет достаточно широкое применение.

Примеры на напряженное состояние

Пример 1 (на упрощенное плоское напряженное состояние).

Определить (рис.14.4a), при котором эти два напряженные состояния равноопасны. Дано: .

Рис.14.4

Напряженные состояния равноопасны, если у них одинаков коэффициент запаса , т. е. равны эквивалентные напряжения. Поскольку напряженное состояние упрощенное плоское и материал работает одинаково на растяжение и сжатие ( ), то эквивалентное напряжение можно определять по формуле