. (5)

Если точка лежит на нейтральной линии, то напряжение в этой точке равно нулю. Приравняв выражение (5) к нулю, получим

уравнение нейтральной линии:

Преобразуем это уравнение к виду

Получили уравнение прямой (рис. 10.6), не проходящей через начало координат (в нашем случае через центр тяжести сечения). Согласно рис. 10.6 эта прямая отстоит от оси x на расстоянии b и наклонена к оси x под углом b. Положительное направление этого угла - против часовой стрелки. Рассчитаем для нашего примера угол b и величину b.

Отрицательное значение отрезка b отложим на рис. 10.5 вниз, в сторону отрицательных значений y. Отрицательный угол откладываем по часовой стрелке не от оси x, а от смещенной оси затем проводим нейтральную линию под этим углом , а также линии, касательные к контуру и параллельные нейтральной линии. В произвольном масштабе построим эпюру напряжений (рис. 10.5). Опасной будет точка А как наиболее удаленная от нейтральной линии. В этой точке складываются напряжения растяжения от трех причин: двух изгибающих моментов и от растягивающей силы N. Согласно принципу независимости действия сил напряжение в опасной точке А определяем от каждого фактора отдельно, а результаты суммируем.

В выражении для s_max координаты опасной точки А относительно координатных осей x, y. Если, составляя выражение для s_max , записывали растяжение с плюсом, а сжатие с минусом, то координаты точки А подставляем по модулю, без учета их знака относительно координатных осей. Коэффициент запаса равен Если в опасной точке будет сжатие, то максимальное напряжение сжатия берется по модулю:

Примечание. Если у фигуры три и более осей симметрии, то все центральные оси главные и моменты инерции относительно них равны. У бруса кругового и квадратного сечения все центральные оси главные. Значит, у брусьев подобного профиля косого изгиба нет.

Однако у бруса квадратного сечения при любом положении нейтральной линии опасная точка всегда будет в углу. Поэтому максимальное напряжение в этой угловой точке А, рис. 10.7а, вычисляем как сумму максимальных напряжений от каждого из двух моментов:

, при получается

У бруса кругового сечения косого изгиба нет. M_x и M_y (рис.9б) это проекции на координатные оси изгибающего момента M_S. Этот суммарный момент M_S определяем как геометрическую сумму моментов M_x и M_y :

,

Нейтральная линия при прямом изгибе перпендикулярна моментной линии и опасной будет точка А, наиболее удаления от нейтральной линии.

Лекция 11

С ЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Тензор напряжений

Под действием системы сил тело находится в равновесии (рис. 11.1). В окрестности точки А этого нагруженного тела вырежем бесконечно малый объем в виде элементарного параллелепипеда (рис.11.2). Грани этого параллелепипеда будем называть площадками. Площадка носит индекс той оси, которая ей перпендикулярна. На каждой грани этого элемента действует напряжение, которое разложено на составляющие - нормальное напряжение s и касательное напряжение t. Касательное напряжение в свою очередь разложено на составляющие, параллельные координатным осям x, y, z.

Н ормальные напряжения носят индекс площадки, на которой они действуют (или индекс оси, которой эти напряжения параллельны). У касательных напряжений два индекса: первый означает площадку, на которой это напряжение действует, а второй означает ось, которой это касательное напряжение параллельно. Все напряжения на рисунке имеют положительное направление: нормальные напряжения это растяжение, касательные напряжения на видимых площадках направлены в сторону координатных осей, а на невидимых площадках положительное направление t в сторону, противоположную направлению оси.

Совокупность напряжений во всех площадках, проходящих через данную точку нагруженного тела, носит название напряженного состояния в точке. На основании закона парности касательных напряжений t_xy = t_yx, t_yz = t_zy, t_zx = t_xz. Таким образом, имеется шесть независимых компонент напряженного состояния s_x, s_y, s_z, t_xy, t_yz, t_zx. Эти напряжения можно представить в виде тензора напряжений, который имеет вид

.

Каждая строка тензора - это напряжения, действующие в соответствующей площадке. Например, все напряжения первой строки имеют индекс, у которого первая буква x. Это означает, что напряжения действуют в площадке x. Можно было бы записать этот тензор таким образом, чтобы в каждой его строке были напряжения, параллельные какой-то оси (тогда бы у них была одинаковой вторая буква индекса).

Можно доказать, что, зная тензор напряжений T_s, т. е. если известны шесть компонент напряженного состояния в трех взаимно перпендикулярных площадках, можно определить напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку нагруженного тела. Положение площадки задают с помощью направляющих косинусов нормали к этой площадке. Эти косинусы обозначены как l, m, n.

Определение напряжений в произвольной площадке

З аданы тензор напряжений T_s (т.е. заданы шесть независимых компонент напряженного состояния в данной точке тела s_x, s_y, s_z, t_xy, t_yz, t_zx) и направляющие косинусы l, m, n нормали n к площадке. l - это косинус угла между осью x и нормалью n к площадке, m - это косинус угла между осью y и нормалью n, а n - это косинус угла между осью z и нормалью n. Требуется определить s_n, t_n, т.е. нормальное и касательное напряжения, действующие в площадке заданного положения.

Из нагруженного тела вырежем элемент в виде пирамиды (рис. 11.3). Три грани этого элемента (это площадки x, y, z) взаимно перпендикулярны и действующие в них напряжения, заданные тензором напряжений известны. Четвертая грань (нормаль к которой n) - площадка, напряжения в которой надо определить. На невидимых площадках x, y, z действуют нормальные растягивающие напряжения s и касательные напряжения t, направленные в сторону, противоположную направлению осей x, y, z. В площадке n действует напряжение p; X_n, Y_n, Z_n – это проекции напряжения p на оси x, y, z. Согласно рис. 11.4, полное напряжение p, действующее в наклонной площадке, это геометрическая сумма его проекций на координатные оси

(1)

Д ля пирамиды, изображенной на рис. 11.3, запишем уравнения равновесия, т.е. сумму проекций всех сил на оси x, y, z.

В уравнения равновесия входят силы, поэтому напряжения надо умножать на площадь соответствующей площадки. Обозначим площадь площадки n через dA, тогда площадь площадки x будет равна dAl, площадь площадки y равна dAm, площадь площадки z равна dAn. Сумма проекций всех сил на ось x:

SF_x = 0: Þ X_n dA = s_x dА l +t_yx dA m + t_zx dA n.

Сократим на dA и аналогично запишем уравнения , получим три уравнения равновесия для вырезанного элемента:

(2)

В каждой строке уравнений (2) индекс у нормального напряжения и второй индекс у касательного напряжения указывает ось, на которую спроецированы все силы. Зная X_n, Y_n, Z_n - проекции полного напряжения на координатные оси, найдем p из формулы (1). Это полное напряжение p можно разложить на составляющие по оси n - нормали к площадке и по оси t, лежащей в плоскости площадки (рис. 11.5). В результате получим

(4)

Нормальное напряжение s_n, действующее в заданной площадке, можно получить, если спроецировать на нормаль к площадке проекции полного напряжения на координатные оси, т.е. :

, Зная и , найдем :

_{Рис. 11.5 (5)}

Таким образом, шесть компонент напряженного состояния полностью определяют напряженное состояние в точке. Зная тензор напряжений , можно с помощью формул (1)-(5) найти напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку.

Главные напряжения

М ожно доказать, что через каждую точку нагруженного тела обязательно проходят три такие взаимно перпендикулярные площадки, в которых отсутствуют касательные напряжения. Эти площадки и действующие в них нормальные напряжения называются главными площадками и главными напряжениями. На рис. 11.6 изображена точка, вырезанная в главных площадках. Обычно обозначают

Минимальное напряжение s_min определяют с учетом знака, например,

s₁ = 10 МПа, s₂ = ‑30 МПа, s₃ = ‑50 МПа.

Предположим, что площадка n главная. Тогда в ней отсутствует касательное напряжение (t_n = 0), а нормальное напряжение s_n есть главное напряжение. Это напряжение s_n равно полному напряжению p (так как другой проекции нет). Обозначим главное напряжение как s_гл. Проекции главного напряжения на координатные оси

X_n = s_гл l, Y_n = s_гл m, Z_n = s_гл n. (6)

Подставим (6) в (2) и перенесем все члены в одну сторону