_{Вариант «a » :}

_{Вариант «b »:}

.

Из условия равнопрочности , т.е.

, получаем

Пример 2 (на энергетическую теорию прочности).

Сравнить два напряженных состояния. Дано:

_.

Рис.14.5

_{Сравнить два напряженных состояния означает, что надо определить для этих состояний эквивалентные напряжения и опаснее будет то состояние, у которого эквивалентное напряжение больше. Поскольку материал пластичный и одинаково работает на растяжение и сжатие, то эквивалентное напряжение можно определять по энергетической теории прочности}

_{Для первой точки (рис.14.5a) эта формула принимает вид:}

_{Для второй точки (рис. 14.5b) по формуле (6):}

_{Напряженные состояния равноопасны.}

_{Пример 3. Сравнить два напряженных состояния.}

_Дано:

Рассмотрим напряженное состояние, изображенное на рис. 14.6, определим s_экв1.

На рисунке изображено упрощенное плоское напряженное состояние, однако формулу использовать нельзя, так как эта формула применима только для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. В этом случае k = 1, а в нашем примере k = 4/5, значит, вышеприведенная формула неприменима. Если материал работает неодинаково на растяжение и сжатие, то расчет следует вести только по теории прочности Мора, согласно которой . Поэтому сначала надо определить главные напряжения σ₁ и σ_з, а затем подсчитывать эквивалентное напряжения. Одно из главных напряжений в данной точке уже известно, это напряжение s_z = 0. Два других найдем из приведенной ниже формулы. Только получив значения трех

главных напряжений, расставляем индексы:

в алгебраическом смысле, т. е. с учетом знака.

Рассмотрим напряженное состояние, изображенное на рис. 14.7, определим s_экв2.

Площадка z, в которой отсутствует касательное напряжение, является главной площадкой и одно из главных напряжений это s_z = -100 МПа. Два других главных напряжения определим из приведенной ниже формулы. Определяя главные напряжения, ставим в формулу нормальные напряжения, действующие в неглавных площадках, т.е. в тех площадках, где есть t. В данном примере это площадки x, y. Кроме того, сжимающее напряжение будет со знаком минус:

s_экв2 > s_экв1, значит, второе напряженное состояние более опасно, чем первое.

Лекция 15

Расчет тонкостенной цилиндрической оболочки,
нагруженной внутренним давлением

Рассмотрим тонкостенную цилиндрическую оболочку, изображенную на рис. 151. Толщина h этой оболочки намного меньше её диаметра D. Поэтому в силу тонкостенности можно считать, что наружный диаметр такой оболочки D_нар и её внутренний диаметр D_вн равны среднему диаметру : , , рис. 15.2.

Напряженное состояние цилиндрической части такой оболочки - двухосное растяжение. Окружные напряжения s_t и меридиональные напряжения s_m (рис. 15.1) определим с помощью метода сечений, используя принятые выше значения , полученные из условия тонкостенности оболочки h << D.

Определение меридионального напряжения s_m.

З апишем уравнение равновесия части оболочки, отрезанной поперечным сечением (рис. 15.3). В уравнения равновесия входят силы. Сила, действующая на днище, равна произведению давления p на площадь днища оболочки, равную . Эту силу уравновешивает внутренняя сила, равная напряжению s_m, равномерно распределенному по площади поперечного сечения оболочки, умноженному на площадь сечения p D h.

Условие равновесия отрезанной части оболочки:

(1)

Определение окружного напряжения s_t

Разрежем оболочку продольным осевым сечением (рис. 15.4а). Давление p действует на поверхность полуцилиндра. Элементарная сила равна произведению давления p на элементарную площадь - это площадь полоски длиной l и шириной (рис. 15.4б). Равнодействующую сил давления получим, интегрируя по длине полуокружности элементарную силу, спроецированную на ось x (рис. 15.4в). Эту равнодействующую силу давления уравновешивает внутренняя сила, равная произведению окружного напряжения на площадь сечения, равную площади двух полосок длиной l и шириной h (рис. 15.4а, 15.4г).

Уравнение равновесия отрезанной части оболочки:

. (2) г

Р ис. 15.4

Формулы (1), (2) называются котельными формулами. Эти формулы были выведены на заре развития железнодорожного транспорта и использовались для расчета котлов.

Напряженное состояние тонкостенной цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением, имеет вид, представленный на рис.15.5. Это двухосное растяжение, .

Заметим, что если точка находится на внутренней поверхности оболочки, то s₃ = ‑p.

Но эта величина значительно меньше, чем значения напряжений s_m и s_t, которые содержат множитель , где D >> h. Поэтому считается, что и в этом случае Таким образом, во всех точках цилиндрической части оболочки напряженное состояние - двухосное растяжение.

При проектировании оболочки диаметр цилиндра D определяется из конструктивных соображений. Толщину стенки оболочки h находят из условия прочности

_.

, откуда ,

[s] - допустимое напряжение, k - коэффициент неодинаковости работы материала на растяжение и сжатие.

Формулы (1), (2) пригодны для расчета оболочки только в местах, удаленных от зоны стыка оболочки с днищами, от мест крепления крышек, опор и так далее (рис. 15.6). В вышеуказанных зонах, называемых зонами краевого эффекта, кроме растягивающих напряжений, определяемых по котельным формулам, возникают еще напряжения изгиба. Эти изгибные напряжения значительно выше растягивающих напряжений, вычисляемых по формулам (1) и (2). Расчет в зоне краевого эффекта проводится по специальным формулам, не рассматриваемым в данном курсе. Эти зоны при проектировании обязательно укрепляются.

Если давление наружное, то напряжения будут со знаком минус:

Для оболочки, нагруженной внешним давлением, следует провести еще расчет на устойчивость, так как оболочка может «прохлопнуть», теряя устойчивость от внешнего давления (рис. 15.7).

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

На рис. 15.8 изображен тонкий длинный стержень, нагруженный сжимающей силой, действующей вдоль оси стержня. Такие стержни называются стойками.

Р авновесие сжатой стойки может быть устойчивым и неустойчивым. Представим себе, что в результате какого-то внешнего воздействия стойка искривилась и приняла форму, изображенную пунктиром на рис. 15.8. Если после устранения этого воздействия стойка вернется в прежнее состояние (будет распрямляться), то прямолинейная форма равновесия является устойчивой. Если же после устранения внешнего воздействия стойка не распрямляется, а остается изогнутой, то равновесие прямолинейной формы было неустойчивым. Устойчивой будет криволинейная форма равновесия. Практически стойка не может сохранять неустойчивое равновесие, так как всегда существуют обстоятельства, которые выведут её из этого состояния.

Доказано, что если сжимающая стойку сила F меньше некоторого значения F_кр, называемого критической силой, прямолинейная форма равновесия устойчива. При F > F_кр прямолинейная форма равновесия неустойчива, а устойчивой будет такая форма, при которой ось стойки изогнута. При F = F_кр стойка находится в состоянии безразличного равновесия, когда равновозможны как прямолинейная, так и бесконечно близкая к ней криволинейная форма устойчивого равновесия.

Таким образом,

критической является сила, при которой происходит смена форм устойчивого равновесия или критической является та наименьшая сила, при которой возможна криволинейная форма устойчивого равновесия.

При расчете длинных тонких (т. е. гибких) сжатых стержней следует

проводить расчет на устойчивость, при котором

1. либо определяется коэффициент запаса по устойчивости n_y = ,

2. либо находят допустимую нагрузку ,

3. либо определяют размеры сечения стойки из условия F .

Вывод формулы Эйлера для определения критической силы

Рассмотрим идеально прямую стойку постоянного поперечного сечения, шарнирно закрепленную на концах, рис. 15.9. Такая стойка называется основной стойкой. Стойка нагружена силой, действующей строго по её оси. Материал стойки однородный. Рассмотрим случай, когда сжимающая стойку сила F имеет критическое значение. Как было сказано выше, в критическом состоянии равновозможны как прямолинейная, так и бесконечно близкая к ней криволинейная форма устойчивого равновесия. Рассмотрим эту криволинейную форму равновесия и определим значение силы, при котором эта форма возникает (рис.15.9). В отличие от предыдущих разделов, в задачах устойчивости рассматривается равновесие системы в состоянии, искривленном в результате деформации. Применим метод сечений к искривленной стойке, изображенной на рис. 15.9, и рассмотрим равновесие отрезанной части стойки, рис. 15.10. Вертикальные реакции в опорах равны нулю, иначе они будут создавать момент относительно другой опоры, который нечем уравновесить. В сечении прикладываем положительные внутренние суммарные силовые факторы, т. е. это растягивающая осевая сила N и изгибающий момент М_x, создающий сжатые слои сверху. Из суммы моментов относительно оси, проходящей через сечение и перпендикулярной к плоскости чертежа, получается уравнение

. (1)