Рис.15.11

Рис.15.9 Рис.15.10 Рис.15.11

Отступление

Рассмотрим рис. 15.11. На этом рисунке пунктиром изображена в общем виде форма стойки после искривления, введены обозначения: v это перемещение по оси y, т.е функция прогибов, Q - угол поворота оси стойки, r - радиус кривизны оси стойки. Поскольку мы рассматриваем искривленное состояние стойки, бесконечно близкое к прямолинейной форме, то прогиб стойки v и угол поворота оси стойки Q бесконечно малы. При малых углах тангенс угла равен самому углу. С другой стороны тангенс угла касательной к кривой есть первая производная от функции, описывающей эту кривую. По этой причине можно принять, что

Q = tgQ = , т. е. первая производная от функции прогибов есть угол поворота оси стойки. Из математики известно, что кривизна равна

. (2)

Поскольку угол = очень мал, то и Тогда, согласно формуле (2), можно принять, что

или кривизна оси стойки равна второй производной от функции прогибов v.

В разделе «Изгиб» для кривизны оси изогнутого бруса было получено выражение , откуда с подстановкой кривизны из выражения (3), получается

. (4)

Подставив в (1) вместо изгибающего момента его выражение через кривизну из формулы (4), получим уравнение равновесия в виде:

.

Упростим полученное выражение. Для этого разделим уравнение на изгибную жесткость E J_x и введем обозначение . Получим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

. (5)

Решение этого уравнения известно

.

Коэффициенты С₁ и С₂ определим из граничных условий - на опорах прогиб стойки v равен нулю:

1) при z = 0, v = 0, т. е. 0 = C₁×0+C₂×1 = 0, откуда получается С₂ = 0 и остается

v = C₁ sin az;

2) при z = l, v = 0, т. е. 0 = C₁ sin al.

Получили так называемое характеристическое уравнение. С₁ ¹ 0, так как в этом случае v равно нулю при любых значениях a, т.е. силы F, так как . Это соответствует прямолинейной форме стойки, а мы рассматриваем криволинейную форму равновесия. Значит, равно нулю выражение sin al=0. Этому уравнению соответствуют следующие значения аргумента:

al = 0, p, 2p,…, np. Тогда a² = n² .

С другой стороны ранее было обозначено

, откуда следует .

Поскольку критическая сила - это наименьшее значение нагрузки, при котором возможна криволинейная форма устойчивого равновесия, то из всех значений аргумента следует выбрать наименьшее: al = p или n =1. Мы рассматривали критическое состояние стойки, значит F = F_кр. Если стойка закреплена во всех направлениях одинаково, она будет выгибаться в плоскости наименьшей жесткости, поэтому следует принять J_x = J_min. Получается

.

Это формула Эйлера для определения критической силы для шарнирно закрепленной сжатой стойки.

Лекция 16

Другие виды закрепления стойки

Рассмотрим стойку в виде консоли с заделкой, нагруженную на свободном конце сжимающей критической силой F (рис. 16.1а). Такая стойка находится в состоянии безразличного равновесия, когда равновозможны как прямолинейная, так и бесконечно близкая к ней криволинейная форма устойчивого равновесия. Рассмотрим криволинейную форму.

Рис.16.1

Изобразим стойку в отклоненном состоянии и поместим начало координат на отогнутом конце стойки (рис.16.1б). Применим метод сечений и рассмотрим равновесие отрезанной части стойки (рис.16.1в). Из суммы моментов относительно оси, проходящей через сечение и перпендикулярной к плоскости чертежа, получим

M_x + F v = 0 или

E J_x v" + Fv = 0.

Обозначив , получим дифференциальное уравнение

_.

Решение этого уравнения

v = C₁ sinaz + C₂ cosaz.

Граничные условия для определения констант С₁ и С₂:

1. при z = 0, v = 0,

(в нашей системе координат прогиб на отогнутом конце равен нулю)

т. е. 0 = C₁×0+C₂×1, откуда получается C₂ = 0 и остается

v = C₁sin az , ;

1. при z = l,

Угол поворота оси стойки в заделке, в которую ось входит по касательной, равен нулю. Угол поворота оси это первая производная от функции прогибов v:

C₁a cos al=0.

В полученном характеристическом уравнении C₁ ¹ 0, так как в этом случае прогиб будет равен нулю при любом значении a. Это прямолинейная форма равновесия, а мы рассматриваем криволинейную форму. Также a ¹ 0, так как в этом случае получается . Это означает, что либо F = 0, т. е. стойка не нагружена, либо , т. е. стойка абсолютно жесткая, а мы рассматриваем гибкую стойку, у которой . Остается cos al = 0, что соответствует значениям аргумента al =  и т. д.

Поскольку критической является наименьшая сила, при которой возможна криволинейная форма устойчивого равновесия, выбираем меньшее значение аргумента al =  , откуда получается Ранее было обозначено . Приравняв правые части этих двух выражений, получаем критическую сила для данной стойки .

Коэффициент приведения длины стойки

Сравнивая полученные выше выражения для критической силы для сжатых стоек, отличающихся условиями закреплением, можно заметить, что различия в условиях закрепления проявляются только в виде коэффициента в знаменателе формулы. Поэтому можно записать формулу Эйлера в общем виде как

,

где m - коэффициент приведения длины стойки, m l - приведенная длина стойки, т. е это длина основной (шарнирно закрепленной) стойки, которая с точки зрения устойчивости эквивалентна данной стойке.

Определение коэффициента это отдельная задача. Для однопролетных стоек постоянной жесткости, нагруженных сжимающей осевой силой, приложенной на конце стойки, коэффициент приведения длины можно определять как величину, обратную числу полуволн: , где n - число полуволн кривой, по которой выгнется стойка, теряя устойчивость (рис. 16.2).

Рис.16.2

Пределы применимости формулы Эйлера

При выводе формулы Эйлера была использована зависимость

(в виде E J_x v² = M_x), которая в свое время в разделе «Изгиб» была получена на основании закона Гука. Поэтому формула Эйлера применима только в пределах упругой зоны, там где справедлив закон Гука. Значит, критическое напряжение s_кр не должно превышать предела пропорциональности s_пц.

Чтобы получить выражение для критического напряжения, преобразуем формулу Эйлера, разделив критическую силу F_кр на площадь поперечного сечения стойки А

Ведем обозначения:

- это геометрическая характеристика сечения, называемая минимальным радиусом инерции;

- эта величина называется гибкостью стойки.

При этих обозначениях выражение для критического напряжения принимает вид

,

. (1)

Получили выражение критического напряжения через гибкость стойки l.

Определим предельную гибкость стойки l_пц, при которой критическое напряжение равно пределу пропорциональности s_пц. Из формулы (1) при s_{кр =} s_пц получается

Þ .

Если гибкость стойки l больше предельного значения l_пц, то формула Эйлера применима. Например, для стали, модуль упругости которой Е = 2×10⁵ МПа, а предел пропорциональности s_пц @ 200 МПа, предельная гибкость равна . Это означает, что для определения критической силы для стальной стойки формулой Эйлера можно воспользоваться в случае, если гибкость стойки l > 100. Стойки, имеющие гибкость более 200, считаются стойками большой гибкости. Расчет таких стоек производится по специальным формулам. Таким образом, формула Эйлера применима, если гибкость стойки находится в диапазоне . Для стали этот диапазон равен 100 . Если гибкость стойки меньше предельной гибкости, то для определения критической силы используют формулы из справочника. Эти эмпирические формулы получены путем обработки результатов эксперимента. Реальные стойки, как правило, проектируются таким образом, чтобы их гибкость была меньше предельной гибкости l_пц.

Пример.

Определить критическую силу для стойки, изображенной на рис. 16.3.

Дано: модуль упругости Е, предел пропорциональности s_пц, длина стойки l, размер поперечного сечения B.

Решение

Для определения критической силы можно воспользоваться формулой Эйлера, которая применима в случае, если гибкость стойки l превышает предельное значение гибкости l_пц. Поэтому сначала вычислим гибкость стойки и проверим условие l > l_пц.

H=2B

Рис.16.3

Ч

исло полуволн n, по которым выгнется стойка, теряя устойчивость, равно 2 (смотри рис. 16.3). Значит, коэффициент приведения длины для этой однопролетной стойки равен . Минимальный момент инерции площади поперечного сечения

.

Минимальный радиус инерции .

Гибкость стойки .

Предельная гибкость .

Если выполняется условие l > l_пц, то формула Эйлера применима и критическая сила равна . Если гибкость стойки меньше предельного значения, т. е.

l < l_пц, то для определения критической силы надо воспользоваться одной из эмпирических формул, приведенных в справочниках.

Лекция 17

Заключительное занятие