Проектировочный расчет

Размеры сечения и допускаемые нагрузки определяются из условия прочности s_max £ [s],

где s_max - максимальное напряжение, которое находим из решения задачи в общем виде через искомый параметр, например, через искомую нагрузку или через размер сечения.

[s] - допустимое напряжение, которое задано или определяется по формулам:

- для пластичных материалов; - для хрупких материалов;

- предел текучести и предел прочности материала заданы,

n_т, n_в - заданные коэффициенты запаса по текучести и по разрушению соответственно.

Потенциальная энергия деформации при изгибе

Из бруса, нагруженного моментом М, двумя поперечными сечениями выделим элемент длиной dz (рис8.7). Этот элемент находится в состоянии чистого изгиба, так как единственные внутренние силовые факторы, возникающие в его сечениях, это изгибающие моменты (рис. 8.8а).

Рис.8.7 Рис.8.8

По отношению к выделенному элементу моменты M_x являются внешними моментами, которые совершают работу на соответствующих перемещениях. Закрепим условно левый торец этого элемента (рис8.8б), тогда момент M_x совершает работу на угле поворота dQ. Для выделенного элемента, согласно теореме Клапейрона, работа внешних сил dW равна потенциальной энергии деформации dU, накопленной этим элементом:

, откуда

.

Здесь r - радиус кривизны нейтральной оси бруса. Поскольку длина нейтральной оси остается неизменной, то длина отрезка этой оси dz после изгиба бруса не изменилась., отсюда центральный угол dQ равен дуге dz, деленной на радиус r.

Если брус имеет несколько участков, то надо просуммировать потенциальную энергию по участкам:

.

В этой формуле n - число участков, i - номер участка, M_x i - изгибающий момент на

i-том участке, (E J_x)_i - изгибная жесткость на i -том участке, l_i - длина i-того участка.

Поперечный изгиб

При поперечном изгибе изгибающий момент изменяется по длине участка. В сечении бруса кроме изгибающего момента возникает еще поперечная, или перерезывающая, сила Q_y (рис. 8.9а), неравномерно распределенная по сечению в виде касательных напряжений t (рис. 8.9б). Эта поперечная сила определяется по формуле .

Рис. 8.9

Касательные напряжения вызывают угловые деформации g, вследствие которых сечения бруса при поперечном изгибе не остаются плоскими, они искривляются. Однако это искривление сечений не сказывается заметным образом на величине нормальных напряжений. Формулы, выведенные для чистого изгиба, пригодны и для поперечного изгиба: ,

Можно доказать, что касательные напряжения при поперечном изгибе значительно меньше нормальных напряжений ( , но обычно длина бруса l значительно больше высоты сечения Н, l >> H). Кроме того, касательные напряжения, распределенные по сечению при поперечном изгибе неравномерно, достигают своего наибольшего значения в области нейтральной линии, т. е. там, где s = 0.

При расчете на прочность при поперечном изгибе касательные напряжения t обычно не учитываются. Эти напряжения существенны только при оценке прочности коротких брусьев (рис. 8.10), у которых касательные напряжения соизмеримы по величине с нормальными напряжениями; при расчете тонкостенных конструкций (рис. 8.11), у которых возможно возникновение выпучивания вертикальных стенок из-за потери устойчивости, а также при расчете листовых конструкций типа рессор (рис. 8.12а). Если полосы не скреплены (рис. 8.12б), то каждая полоса работает как отдельный брус, свободно перемещаясь вдоль других полос. Если же полосы скреплены, то они не могут смещаться друг относительно друга. Это стеснение создает касательные напряжения в продольном направлении (рис. 8.12в).

Рис. 8.10 Рис. 8.11

Рис. 8.12

От этих касательных напряжений могут разрушиться в результате среза скрепляющие листы элементы (напрмер, болты, сварка).

Лекция 9

Определение перемещений при изгибе

Интеграл Мора

Это универсальный метод определения перемещений, пригодный для плоских и пространственных прямолинейных и криволинейных брусьев и рам. Рассмотрим этот метод на примере плоской криволинейной балки, представленной на рис. 9.1. Балка нагружена системой сил, действующих в одной плоскости. Требуется определить перемещение точки К в направлении А-А. Под воздействием нагрузок бака прогнется и силы сместятся. При этом каждая сила совершает работу на перемещении точки приложения силы в направлении действия этой силы. При изгибе балки в ней накапливается потенциальная энергия деформации U, равная, согласно теореме Клапейрона, работе внешних сил W. Этот баланс энергии (W=U) будем использовать при выводе расчетной формулы.

Введем обозначения: d_К - искомое перемещение, d_j - перемещение точки приложения силы F_j в направлении ее действии, M_x i - изгибающий момент на i-том участке,

(E J_x)_i - изгибная жесткость балки на i-том участке.

Рассмотрим три состояния балки.

В первом состоянии (рис. 9.1) на балку действуют заданные внешние силы.

Согласно теореме Клапейрона W = U, . т.е.

, (1)

здесь m - число внешних сил, n - число участков, ds - элемент длины криволинейной балки.

Во втором состоянии (рис.9.2) в заданной точке К к балке приложена единичная сила, действующая в заданном направлении А-А. Условие W=U принимает вид

. (2)

Здесь M_1i - изгибающий момент на i-том участке от единичной силы,

d_К1 – перемещение точки К от единичной силы, приложенной в направлении А-А.

В третьем состоянии (рис. 9.3) на балку сначала действует единичная сила, создающая прогиб d_К1 в заданной точке К. Затем к балке, деформированной этой единичной силой (пунктир на рис.9.3), прикладываем заданную систему внешних сил, т. е. нагрузку.

Возникают дополнительные перемещения, в том числе искомое перемещение d_К.

Рис.9.5

Баланс энергии системы в этом случае имеет вид:

Следует обратить внимание на то, что в левой части выражения (3) у второго члена нет коэффициента . К моменту воздействия на систему нагрузок (т.е. внешних сил) единичная сила уже приложена и целиком работает на созданном этими нагрузками перемещении d_К.

Сравнивая выражение (3) с формулами (1) и (2), видим, что первый и последний члены суммы в левой части равенства (3) равны соответственно первому и последнему членам в правой части этого равенства. Следовательно, средний член левой части выражения (3) должен равняться среднему члену в правой части выражения (3). Отсюда получаем формулу для определения перемещения с помощью интеграла Мора

(4)

Чтобы найти перемещение по интегралу Мора, надо в заданном сечении и в заданном направлении приложить единичный силовой фактор: для определения прогиба прикладываем единичную силу, для определения угла поворотв – единичный момент.

Записать по участкам функции моментов М₁ и М_x, эти функции перемножить, на каждом участке взять интеграл от этого произведения и эти интегралы просуммировать.

Правило Верещагина для определения перемещений

Это графоаналитический способ определения перемещений, основанный на интеграле Мора. Способ применим для плоских и пространственных систем, состоящих только из прямолинейных элементов, т. е. единичная эпюра должна быть обязательно линейной. Рассмотрим это правило на примере балки, имеющей только один участок. Для такой балки перемещение по интегралу Мора равно

.

Представим функцию M_x в виде криволинейного графика. Этот график, т. е. эпюра изображен на рис. 9.4. Эпюра M₁ представлена на рис. 9.6 в виде линейного графика.

Рис. 9.4

Согласно эпюре M₁ (рис.9.4), линейную функцию изгибающего момента от единичного фактора можно представить в виде M₁ = b + k z, где k = tg a. Считаем изгибную жесткость балки постоянной ( . Тогда интеграл Мора принимает вид

В соответствии с рис. 9.4, в выражении для d приняты обозначения

, где A - площадь эпюры М_x.

Интеграл - статический момент площади эпюры М_x относительно оси y. Этот статический момент равен произведению площади фигуры на расстояние от центра тяжести этой площади до оси y. На рис. 9.4 это расстояние z_c, а центр тяжести площади эпюры M_x обозначен точкой С. Тогда перемещение равно

- правило Верещагина.

В этом выражении М_1с= b + k z_c – ордината на единичной эпюре под центром тяжести площади эпюры М_x.

Порядок определения перемещений по правилу Верещагина

1. Чтобы найти перемещение с помощью правила Верещагина, надо в том сечении и в том направлении, в котором определяем перемещение, приложить единичный силовой фактор: для линейного перемещения прикладываем единичную силу, для углового - единичный момент, для взаимного перемещения прикладываем два взаимных единичных фактора.