Поскольку H >> h, то a = b = 1/3 и формулы (1) принимают вид

(2)

Заметим, что из формул (2), (3) следует, что

Это соотношение будет использовано в дальнейшем.

Рис. 6.1

Кручение бруса тонкостенного открытогопрофиля -

с оставное сечение

Рис.6.2

Рассматриваем составное сечение как совокупность прямоугольных полос, рис. 6.2.

Взаимное влияние полос малосущественно.

Крутящий момент в сечении равен сумме моментов, относящихся к отдельным частям

M_к = М₁ + М₂ + М₃. (4) Угол закручивания всех полос одинаков: j₁ = j₂ = j₃ = j, т. е.

, откуда следует

(5)

Подставим (5) в (4)

откуда получим формулу для определения угла закручивания бруса

₍₆₎

В выражении для n – число полос, i - индекс полосы.

Ранее было получено соотношение , значит,

(7)

Сравнивая выражения (6) и (7), получим формулу для определения максимального касательного напряжения при кручении бруса тонкостенного незамкнутого профиля (составное сечение)

или .

Поскольку , то момент сопротивления кручению для такого бруса равен

Пример: для бруса, изображенного на рис. 6.3, определить угол закручивания и максимальное касательное напряжение.

Разбиваем сечение на две полоски, одна из них длиной , другая длиной .

Предположим, что h₁ > h₂, тогда

Кручение бруса тонкостенного замкнутого профиля

Расчет брусьев тонкостенного замкнутого профиля опирается на следующие гипотезы:

1) считается, что касательные напряжения t равномерно распределены по толщине стенки h тонкостенного профиля (рис. 6.4б);

2) предполагается так же, что напряжения в любом месте профиля направлены параллельно касательной к средней линии стенки в рассматриваемом месте (рис.6.4б).

Рис. 6.4

Вспомогательная теорема

Произведение среднего напряжения на соответствующую толщину стенки в любом месте профиля есть величина постоянная.

Докажем эту теорему. Из закрученного бруса

выделим элемент двумя поперечными сечениями и двумя сечениями, нормальными к срединной поверхности (срединной называется поверхность, равноудаленная от обеих поверхностей тонкостенного бруса), рис. 6.4а, 6.5. Касательные напряжения изменяются по длине средней линии сечения, но они неизменны вдоль оси бруса, т. е. по оси z (рис. 6.5)

Из равновесия этого элемента имеем:

: , т.е. ,

откуда получается .

Определение наибольшего касательного напряжения

В сечении тонкостенной трубки выделим элемент длиной ds (рис. 6.6).

Согласно рис. 6.6, элементарный крутящий момент равен dM_к = t dA H. В этом выражении t dA - элементарная сила, dA = h ds – элементарная площадь, H - плечо, т. е. перпендикуляр, опущенный из точки 0 (это произвольная точка) на линию действия силы.

Полный крутящий момент равен

Согласно доказанной выше теореме t h = const, поэтому это произведение вынесено за знак интеграла. При выводе формулы для крутящего момента приняты обозначения , где f^* - площадь, ограниченная средней линией контура (рис. 6.6);

- интеграл по замкнутому контуру, т. е. по средней линии тонкостенного сечения.

Из полученного выше соотношения получается формула для

,

где W_к = 2 f^*h_min - момент сопротивления кручению.

Определение угла закручивания

Момент М, изображенный на рис. 6.7, закручивает валик на угол j и совершает работу W на этом угле закручивания. Совершенная моментом М работа W равна потенциальной энергии деформации U, накопленной валиком

О пределим потенциальную энергию деформации, проинтегрировав по объему валика V удельную потенциальную энергию деформации при сдвиге .

Элементарный объем равен dV = ds dz h.

Как доказано ранее, . Чтобы вынести за знак интеграла константу t h, предпоследний член уравнения умножили и разделили на h. Из условия W = U получим

_,

откуда при М_к = М получается

или

Здесь обозначено - это геометрическая характеристика сечения.

Пример. Определить угол закручивания и максимальное касательное напряжение для валика, поперечное сечение которого изображено на рисунке.

Т аким образом, для данного сечения момент сопротивления

кручению равен W_к = 2 f ^*h = 2 BHh, а характеристика жесткости сечения равна

Геометрические характеристики сечений при кручении

Для прямоугольного сечения при Н=2В:

Для последнего сечения в таблице .

это интеграл по замкнутому контуру по средней линии сечения,

длина средней линии S= 2(Н+В).

Лекция 7

ИЗГИБ

Основные положения

Если в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент, а все остальные внутренние суммарные силовые факторы равны нулю, то такой вид нагружения называется чистым изгибом (рис. 7.1а). Изгибающий момент носит индекс той оси, вокруг которой он действует (рис. 7.1б). Обычно обозначают: z – ось бруса,

y – вертикальная ось, x – горизонтальная ось поперечного сечения бруса.

Если кроме изгибающего момента в сечении возникает ещё и поперечная, или перерезывающая, сила , то это поперечный изгиб (рис.7.2).

Рис.7.2

Рассмотрим призматический брус, на поверхность которого нанесена ортогональная сетка (рис.7.3а). После нагружения бруса моментами, приложенными к его торцам, сетка принимает вид, представленный на рис. 7.3б. Как видно из этого рисунка, при изгибе одни слои бруса растягиваются, другие сжимаются, а разделяет их нейтральный слой, длина которого остается неизменной. След нейтрального слоя на поперечном сечении называется нейтральной линией (рис. 7.3в). Вертикальные линии, которые можно рассматривать как следы поперечных сечений, остаются прямыми, поворачиваясь на некоторый угол.

Правило знаков для изгибающего момента M_x: изгибающий момент, создающий сжатые слои сверху, считается положительным, что соответствует положительной кривизне оси бруса в системе координат, изображенной на рис. 7.4а.

Правило знаков для поперечной силы : если разрез справа, то положительное направление Q_y вниз, если разрез слева, то положительное направление Q_y вверх (рис. 7.4б).

Рис. 7.3

Рис.7.4

Классификация опор

Всякая плоская система имеет три степени свободы, т. е. она может перемещаться в двух взаимно перпендикулярных направлениях и поворачиваться. Но мы рассматриваем неподвижные системы, поэтому тело надо закрепить, т. е. не дать ему возможности перемещаться в двух взаимно перпендикулярных направлениях и поворачиваться. Эту функцию выполняют опоры. В опорах возникают реактивные силовые факторы (реакции опор), которые и удерживают тело. В наших задачах должно быть три связи, т. е. опоры должны давать три реакции. В опоре заделка (рис.5 а) возникают три связи (реакции): две силы и момент. В опоре неподвижный шарнир (рис.5 б) возникают две связи (реакции) – сила горизонтальная и вертикальная. В опоре подвижный шарнир, или каток (рис. 5в), возникает одна вертикальная связь (реакция).

На рисунках 5б) и 5в) показаны разные варианты изображения одной и той же опоры. Следует помнить, что в реальных конструкциях никаких шарниров, как правило, нет. Это лишь символическое изображение закреплений (конструктивно каких угодно), которые обеспечивают указанные на рисунках связи.

Рис. 7.5

Связь между изгибающим моментом M_x, поперечной силой Q_y
и интенсивностью распределенной нагрузки q

Из бруса, нагруженного распределенной нагрузкой переменной интенсивности q(z) (рис. 7.6а), вырежем элемент двумя поперечными сечениями на расстоянии dz (рис. 7.6б). Поскольку расстояние dz очень мало, то в пределах этого малого отрезка можно считать q = const.

Рис.7.6

В сечениях приложены положительные силовые факторы.

Уравнения равновесия вырезанного элемента (рис. 7.6б):

cумма проекций всех сил на ось y: å F_y = Q_y + qdz - (Q_y+ dQ_y) = 0 → q=

сумма моментов, например, относительно оси x, проходящей через правое сечение перпендикулярно плоскости чертежа:

å M_x =- M_x - q dz - Q_y dz + (M_x+ dM_x) = 0 → Q_y=

Член - малая величина высшего порядка, ей пренебрегаем.