Цифровое моделир. случайных процессов (лекции, ч.2).DOC (Лекции (ворд)), страница 5

Число членов ряда при цифровом моделировании должно быть конечным для возможности реализации алгоритма.

Обычно спектральная плотность мощности резко спадает при повышении значений характерной верхней частоты , поэтому число членов усеченного ряда ориентировочно может быть определено как .

Можно оценить погрешность, возникающую при усечении ряда (2.24), из следующих соображений. Дисперсия случайного процесса определяется величиной , дисперсия же моделируемого процесса при усечении ряда (2.24) до членов равна .

Критерием для выбора может быть выражение [1]

где малая величина, характеризующая погрешность.

Моделирование по (2.24) при усечении членов ряда происходит по формуле

Если процесс  нормальный, то, как уже обсуждалось, и должны быть нормально распределенными некоррелированными величинами с нулевым средним и дисперсиями . Каждое слагаемое в круглых скобках представляет собой гармонику с частотой . Как известно [3], эта гармоника имеет фазу, равномерно распределенную на интервале и амплитуду , распределенную по Релею:

Таким образом, моделирование нормальных процессов по (2.28) может быть заменено моделированием по формуле , где вместо двух нормально распределенных коэффициентов и для каждого фигурируют две случайные величины с разными законами распределения: амплитуда распределена по Релею с параметром , фаза распределена по закону .

Конечно, использование (2.30) не имеет никаких преимуществ перед применением (2.29), но легко заметить, что в (2.30) вместо случайных величин можно использовать неслучайные амплитуды гармоник :

где фазы каждой гармоники должны быть, как и при использовании (2.29), равномерно распределены на интервале , а величина должна быть определена исходя из сохранения свойств моделируемого процесса. Так как мощность амплитуды каждой гармоники в (2.29) или (2.30) равна

то детерминированные величины в (2.30) должны иметь значение для совпадения спектральных плотностей мощности (2.28) и (2.30).

При использовании ряда (2.30) с детерминированными амплитудами гармоник, время моделирования может быть уменьшено, так как вместо двух нормально распределенных чисел и для определения каждой гармоники здесь достаточно генерировать одну равномерно распределенную величину.

Поскольку коэффициенты детерминированы, то в общем случае ряд (2.30) не позволяет моделировать нормальные случайные процессы. Однако при большом значении , что обычно выполняется, ряд (2.30) в силу центральной предельной теоремы обеспечивает моделирование нормального процесса.

При вычислении тригонометрических сумм (2.28), (2.29), (2.30) для ускорения вычислений и уменьшения машинного времени целесообразно использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье при моделировании случайного процесса на фиксированном наборе точек на временной оси, расположенных на равных интервалах (шаг дискретизации). Ряды (2.28) (2.29) (2.30) могут использоваться также для моделирования случайного процесса в дискретных не равноотстоящих точках и, что является основным достоинством методов канонических разложений, для заранее неизвестных точек на временной оси.

Методы канонических разложений имеют ненулевую алгоритмическую погрешность из-за необходимости усечения ряда (2.24) при цифровой реализации.

Основной недостаток методов, как и при моделировании нестационарных случайных процессов,  большие затраты машинных ресурсов. В памяти во время вычислений должны храниться все случайные коэффициенты в используемых разложениях. Функции, по которым осуществляется разложение, должны также храниться в памяти или вычисляться. Кроме того, при вычислениях в соответствии с разложениями необходимо произвести операций умножения и операций сложения ( число членов ряда при цифровой реализации).

2.2.2 МЕТОД НЕКАНОНИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

Метод неканонических разложений применяется для уменьшения основного недостатка метода канонических разложений (большой требуемый объем машинных ресурсов) при сохранении главного достоинства  возможности цифрового моделирования случайного процесса для заранее неизвестных отсчетов времени.

При неканоническом представлении модель случайного процесса задается в виде нелинейной функции, зависящей от малого числа случайных параметров. Разработано несколько таких представлений, позволяющих моделировать стационарные случайные процессы с заданной корреляционной функцией (спектральной плотностью мощности). При этом легко может быть обеспечено заданное математическое ожидание случайного процесса с использованием соотношения (2.2).

Один из возможных методов заключается в представлении случайного процесса (с нулевым средним) в виде

где случайные параметры.

Так как моделируется случайный процесс с заданной корреляционной функцией, то фаза имеет равномерную плотность вероятности

Случайная величина , равная частоте реализации, должна быть определена так, чтобы при усреднении по ансамблю всех возможных реализаций модели (2.33), спектральная плотность мощности модели совпадала с заданной спектральной плотностью мощности (2.22). Отсюда следует, что плотность вероятности параметра должна равняться

где деление на введено для нормировки , которая как плотность вероятности должна соответствовать условию .

Модель (2.33) соответствует случайному процессу с нулевым средним. Если же необходимо моделировать процесс с ненулевым средним, то можно использовать соотношение (2.2).

Случайная величина , равная амплитуде гармоники (2.33), может выбираться исходя из различных соображений. В частности, плотность распределения вероятности можно выбрать произвольной, так как для моделируемого процесса плотность вероятности не задана. При этом величина должна быть положительной, а ее мощность определяться мощностью моделируемого случайного процесса, т.е. , где дисперсия моделируемого случайного процесса.

Еще один вариант задания вероятностных характеристик случайного параметра рассмотрен в разд. 3.

Конечно, существует "плата" за отказ от математически строгого представления случайного процесса в виде канонического разложения. Эта "плата" состоит в том, что процесс, представленный в виде неканонического разложения (2.33), стационарен, но не является эргодическим. Одна реализация случайного процесса (2.33) не представляет весь ансамбль реализаций случайных процессов, имеющих заданную корреляционную функцию или спектральную плотность мощности . В самом деле, спектральная плотность мощности одной й реализации процесса (2.33) отлична от нуля лишь на частотах, близких к частоте , соответствующей этой реализации, а корреляционная функция этой реализации является периодической функцией (косинусоидой) с периодом . Этот факт иллюстрируется на рис. 2.1, где а - реализации случайного процесса, генерируемого в соответствии с (2.33), а б - реализация эргодического процесса. Моделирование с использованием случайного процесса, не являющегося эргодическим, может потребовать большего времени, так как для достоверной статистической оценки его воздействия на моделируемую систему или устройство необходимо произвести большое количество испытан ий, а во многих ситуациях это заставит отказаться от модели (2.33).

Необходимо отметить, что не все канонические представления случайных процессов обладают эргодичностью. Так, например, каждая реализация случайного процесса с использованием канонического разложения (2.24) содержит гармоники со случайными, но фиксированными для каждой конкретной реализации амплитудами гармоник, равными , совпадающими с заданной спектральной плотностью мощности на частоте . В то же время разложение (2.31) дает реализации случайного процесса, обладающие эргодическим свойством, так как амплитуды в каждой реализации определяются точно по энергетическому спектру в соответствии с (2.32) и (2.28).

Ослабить (но не устранить полностью) недостатки представления (2.33), связанные с неэргодичностью, позволяет представление

где случайные параметры, имеющие такие же вероятностные характеристики, что и в модели (2.33). Очевидно, что при увеличении неканоническое разложение (2.34) приближается к каноническому (2.24) как по свойствам моделируемых процессов, так и по затратам машинных ресурсов.

2.2.3.МЕТОД ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА

Если формирование значений моделируемого случайного процесса в произвольные, заранее неизвестные моменты времени не является необходимым, то применение методов канонических и неканонических разложений нецелесообразно и можно воспользоваться более экономичными методами, основанными на идее формирующего фильтра (рис. 2.2, 2.3). На рис. 2.2 представлена схема формирования из белого шума
процесса с помощью фильтра с передаточной функцией . Обычно схема рис. 2.2 соответствует формированию стационарного процесса в реальных условиях.