МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

___________________________

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

В.П. БАКАЛОВ

ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Учебное пособие

Утверждено

на заседании редсовета

7 сентября 2000 г.

Москва

Издательство МАИ

2001

621.396.6.(075)

Б 19

УДК: 621.396.6:519.876.5 (075.8)

В.П. Бакалов. Цифровое моделирование случайных процессов: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 2001. – 84 с.: ил.

В пособии рассмотрены методы цифрового моделирования одномерных случайных процессов, заданных в общем виде, с заданными корреляционными свойствами, с одновременно заданными корреляционными свойствами и одно­мерной плотностью вероятности.

Пособие предназначено для студентов стар­ших курсов факультета "Радиоэлектроника ЛА".

Рецензенты: В.Г. Сергеев, В.В. Сокольский

ISBN 5-7035-2441-5 © Московский государственный авиационный институт

(технический университет), 2001

ПРЕДИСЛОВИЕ

При автоматизированном проектировании возникает необходимость моделирования случайных процессов. Содержание учебного пособия соответствует разделу курса “Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС”.

Требуемые для работы с пособием теоретические сведения о случайных процессах соответствуют курсу “Радиотехнические цепи и сигналы” [5].

В пособии приводятся методы моделирования случайных процессов с заданной многомерной плотностью вероятности. Такая постановка задачи моделирования случайного процесса имеет важное методическое значение, так как является самой общей, т.е. к ней может быть сведена любая другая задача. В практике моделирования наиболее часто встречается задача моделирования процессов, для которых заданы лишь корреляционные свойства; в соответствии с этим основная часть пособия посвящена моделированию таких процессов, в особенности стационарных. Методы моделирования случайных процессов с заданными корреляционными свойствами являются основой для понима­ния всего комплекса задач и методов их решения при цифровом моделирова­нии случайных процессов.

В пособии кратко рассмотрено моделирование стационарных процессов с одновременно заданными корреляционными свойствами и одномерной плотностью вероятности.

Цифровое моделирование случайных процессов предполагает использование независимых случайных величин. Способы построения датчиков случайных чисел для генерации таких величин с любыми требуемыми законами распределения рассматриваются в другой части курса “ Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭС ”.

1.МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЗАДАННОЙ МНОГОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ВЕРОЯТНОСТИ

Самый общий случай задания случайного процесса  задание характеризующей его многомерной плотности вероятности

В
дальнейшем для сокращения записи будем использовать выражение для многомерной плотности вероятности в виде . Так как моделируемый случайный процесс является функцией континуального аргумента, то для полного описания этого случайного процесса величина должна была бы быть бесконечно большой, что невозможно. Практически, чем больше величина , тем более детально статистическое описание случайного процесса . При цифровом моделировании величина представляет число отсчётов моделируемого случайного процесса. Так как память вычислительного устройства ограничена, то при цифровом моделировании описание случайного процесса с помощью многомерной плотности вероятности (где требуемое при моделировании число отсчётов) является полным. Фактически при этом случайный процесс представляется случайным вектором с компонентами и моделирование случайного процесса можно рассматривать как моделирование совокупности случайных величин или случайного вектора с заданной многомерной плотностью вероятности. На рис. 1.1 представлены несколько реализаций случайного процесса ; реализация с номером обозначается , время моделирования случайного процесса обозначено .

На рис. 1.2. показана одна реализация случайного процесса с номером и дискретные отсчеты, которые должны быть определены при цифровом моделировании.

Дискретный отсчет реализации с номером для момента времени обозначается . Если из контекста ясно, что речь идет о реализации случайного процесса, то индекс может опускаться.

Совместная плотность вероятности удовлетворяет условию положительности: , условию нормировки:

,

(1.1)

условию согласованности:

.

(1.2)

По плотности вероятности могут быть определены условные плотности вероятности:

,

(1.3)

п ри этом числитель и знаменатель (1.3) определяются в соответствии с (1.2).

Цифровое моделирование случайного процесса , заданного с помощью многомерной плотности вероятности , на практике встречается редко. Однако важно, что такое описание случайного процесса является самым полным, и поэтому любой случайный процесс может быть описан таким образом, а значит, если существует метод моделирования при описании случайного процесса с помощью многомерной плотности вероятности , то этот метод может быть использован для моделирования любых случайных процессов. Конечно, такое моделирование не всегда целесообразно, так как для часто встречающихся случайных процессов, например нормальных, разработаны более эффективные в смысле экономии машинных ресурсов методы.

Моделирование случайных процессов должно быть сведено к моделированию случайных независимых величин. Моделирование независимых случайных величин с любыми законами распределения осуществляется с помощью датчиков случайных чисел. Способы построения датчиков случайных чисел рассматриваются в другом курсе.

Известны два метода цифрового моделирования случайных процессов с заданной многомерной плотностью вероятности .

1.1. МЕТОД УСЛОВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Метод получил свое название из-за того, что он связан с определением условных одномерных распределений для каждого отсчёта случайного процесса . Каждый отсчет моделируется с помощью датчика случайных чисел, имеющего соответствующее (условное) распределение.

Определение условных плотностей вероятности для легко может быть осуществлено на основе соотношений (1.2), (1.3).

Для одного отсчета моделируемого случайного процесса, обычно это первый отсчет , на основании (1.2) определяется безусловная плотность вероятности:

.

(1.4)

Для следующего, например второго, отсчета, может быть определена условная одномерная плотность вероятности (1.3): , причем совместная плотность вероятности определяется в соответствии с (1.2):

Для третьего отсчета может быть определена условная плотность вероятности

.

Ясно, что для каждого очередного отсчёта условная плотность вероятности определяется, как плотность вероятности при условии, что предыдущие отсчёты найдены:

,

(1.5)

где уже определялась при выполнении условной плотности вероятности , а

.

(1.6)

Рекуррентные соотношения (1.5) (1.6) совместно с (1.4) определяют условные плотности вероятности , которые и используются для построения датчиков случайных чисел соответственно. Многомерная плотность вероятности выражается через плотности вероятности как

И
з этого выражения следует, что дискретные отсчёты каждой реализации случайного процесса с номером моделируются последовательно: сначала датчиком случайных чисел генерируется отсчет , затем отсчет с помощью датчика случайных чисел с распределением и так далее. Моделирование происходит в соответствии со схемой рис. 1.3.

Таким образом, метод условных распределений позволяет моделировать случайные процессы с произвольной многомерной плотностью вероятности . Практическое использование этого метода связано с громоздкими вычислениями интегралов (1.4), (1.6). Если эти интегралы не вычисляются в конечном виде, необходимы приближенные вычисления.

Программирование по этому методу также весьма громоздко, так как требует реализации датчиков случайных чисел с несовпадающими распределениями . Условные плотности вероятности зависят от параметров. Эта зависимость может быть в частном случае параметрической, но в общем случае вид плотностей вероятностей может изменяться при изменениях значений , что может существенно усложнить программирование. При больших значениях сложность вычислений и программирования могут существенно возрастать. Из-за большого объема необходимой подготовительной работы и сложности программирования метод условных распределений используется редко. Однако при моделировании марковских процессов этот метод является наиболее эффективным (см. разд. 1.3).

1.2. МЕТОД НЕЙМАНА (МЕТОД ОТБОРА)

Метод Неймана свободен от недостатков метода условных распределений, вызванных большим объемом подготовительной работы и сложностью программирования. Этот метод относится к так называемым методам отбора. Идея метода заключается в следующем. На первом шаге моделируется реализация случайного процесса с равномерной плотностью вероятности в области определения совместной плотности вероятности , а на втором шаге производится отбор, заключающийся в том, что каждая реализация, сформированная на первом шаге, либо принимается в качестве конечного результата, либо отбрасывается. Отбор на втором шаге осуществляется с вероятностью, пропорциональной . Оба шага достаточно просто реализуются при цифровом моделировании с использованием стандартных датчиков случайных чисел с равномерным законом распределения.