Функция должна удовлетворять следующему условию, связывающему функции распределения и , соответствующие плотностям вероятности и : , где означает вероятность того, что , функция, обратная .

Из этого соотношения следует, что .

Дифференцируя, получаем выражение, связывающее заданную плотность c : , что дает нелинейное дифференциальное уравнение для преобразования (3.1)

Это уравнение аналитически удается решить только в редких случаях. В общем случае это нелинейное дифференциальное уравнение должно решаться численными методами.

2. После того, как найдено нелинейное преобразование , как уже обсуждалось, необходимо определить по заданной корреляционной функции моделируемого процесса корреляционную функцию процесса (рис.3.1). В соответствии с определением корреляционной функции связь заданной с искомой записывается как

где , , , , двумерная плотность, вероятности значений и , зависящая от искомой корреляционной функции :

Выражение (3.3), связывающее заданную и искомую , удается точно решить аналитически лишь в частных случаях.

Для общего случая разработаны аналитические методы нахождения приближенного решения этого уравнения.

3. После определения может быть, как уже обсуждалось, синтезирован цифровой формирующий фильтр по известной корреляционной функции.

Пример 3.1.

Моделирование случайного процесса с равномерным распределением и заданной корреляционной функцией.

Пусть задана корреляционная функция процесса , где дисперсия случайного процесса, нормированная ( ) корреляционная функция процесса.

Плотность вероятности задана как

Дисперсия, соответствующая этому распределению, равна .

1. Определим безынерционное нелинейное преобразование, обеспечивающее трансформацию нормальной одномерной плотности вероятности в заданную равномерную плотность вероятности. Для заданной плотности выражение (3.2) дает , откуда определяется требуемое нелинейное безынерционное преобразование: , где интеграл вероятности

.

Найденное безынерционное нелинейное преобразование описывает функцию сглаженного ограничения (рис. 3.3).

2. Определим по заданной корреляционной функции и найденной корреляционную функцию нормального процесса в схеме рис. 3.1.

Для найденного преобразования интеграл (3.3) может быть вычислен, что дает , откуда .

3. Учтем [1], что последнее выражение при с точностью не хуже, чем 2%, приближенно равно , так как при .

Таким образом, корреляционная функция нормального процесса в схеме рис. 3.1 с точностью до множителя совпадает с заданной нормированной корреляционной функцией .

Синтез формирующего фильтра в схеме моделирования (рис. 3.2) может быть произведен рассмотренными выше методами.

Пример 3.2.

М
оделирование случайного процесса с одномерной плотностью вероятности (рис.3.4):

где параметр распределения.

Среднее значение такой случайной величины равно , средний квадрат равен , дисперсия

.

Это распределение Релея. Таким образом, распределена, например, амплитуда узкополосного нормального процесса. Это свойство нормального процесса обычно используется для моделирования процесса с заданной релеевской плотностью вероятности. Моделирование в этом случае осуществляется по формуле [3] , связывающей квадратурные составляющие узкополосного нормального процесса и с амплитудой этого процесса , представляющей моделируемый процесс. Квадратурные составляющие и при этом являются в свою очередь независимыми нормальными процессами. Таким образом, моделирование случайного процесса с релеевской плотностью вероятности может осуществляться по схеме рис 3.5 и ее цифровому аналогу рис. 3.6. Здесь в каждой схеме, в отличие от схем рис. 3.1 и рис. 3.2 используется по два формирующих фильтра, на входы которых поступают реализации независимых белых гауссовых шумов , (или и ).

Для синтеза формирующих фильтров в схемах рис. 3.5 и 3.6 можно использовать известные соотношения, связывающие корреляционные функции и квадратурных составляющих и комплексной огибающей, представляющей релеевский процесс. Известно, что заданная корреляционная функция центрированного ( ) и нормированного ( ) релеевского процесса (огибающей) связана с корреляционными функциями ( ) центрированных и нормированных квадратных составляющих как , а дисперсия огибающей равна .

Таким образом, корреляционные функции независимых нормальных процессов и в схеме рис. 3.5 должны быть равны .

Найденная корреляционная функция может быть использована для синтеза формирующих фильтров в схеме цифрового моделирования рис. 3.6. Этим приемом можно пользоваться, если .

В случае если заданной является корреляционная функция ненормированного и нецентрированного релеевского процесса, то для определения , а значит, и можно использовать соотношение

,

откуда

.

Методическая ошибка рассмотренного метода моделирования не превышает 2,5% от значения [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. - М.: Сов.радио, 1971.

2. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. - Ленинград: Машиностроение, 1986.

3. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1986.

4. Борисов Ю.П. Математическое моделирование радиосистем: Учебное пособие для вузов. - М.: Сов. радио, 1976.

5. Бакалов В.П., Русских Н.П., Цветнов В.В. Моделирование узлов радиотехнических устройств на ЭВМ. - М: МАИ, 1985.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ...…………………………………………………………………...……3

1. Моделирование случайных процессов с заданной многомерной плотностью вероятности …………………………………………...…………………………………….4

1.1. Метод условных распределений ......…..…………...……………………..6

1.2. Метод Неймана (метод отбора) ……………………...……………………8

1.3. Моделирование марковских случайных процессов…………………….12

2. Моделирование случайных процессов с заданными корреляционными

свойствами….……....………………….…………………………………………………..14

2.1. Моделирование нестационарных процессов с заданными корреляционными свойствами …………………………………………………….………………...….15

2.1.1. Метод линейного преобразования ...…………………………….15

2.1.2. Метод канонических разложений ...…………………………..…18

2.1.3. Сравнение методов моделирования нестационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами ...………….……………….….21

2.2. Моделирование стационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами ……………………………………………………..……21

2.2.1. Метод канонических разложений……………………………...….22

2.2.2. Метод неканонических разложений…………………………...….26

2.2.3. Метод формирующего фильтра…………………………………...28

2.2.4. Сравнение методов моделирования стационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами……………………………..….60

2.2.5.Формирующие фильтры для моделирования стационарных случайных процессов с типовыми корреляционными свойствами……………………...…61

3. Моделирование стационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами и одномерной плотностью вероятности ……………...74

3.1. Метод неканонических разложений……..….……………………...….74

3.2. Метод, основанный на безынерционном нелинейном преобразовании нормального случайного процесса ………………………………………………………75

Литература …………………………………...……………………………………...82

0