Цифровое моделир. случайных процессов (лекции, ч.2).DOC (1002251), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

При этом необходимо учесть, что в (2.78) вместо спектральной плотности белого шума должна фигурировать спектральная плотность мощности дискретного белого шума , равная в соответствии с (2.44)

(2.81)

Метод факторизации спектральной плотности мощности, рассматриваемый в этом разделе, не имеет особых преимуществ по сравнению с методом разложения спектральной плотности мощности в ряд Фурье (предыдущий раздел) при использовании в качестве формирующего фильтра нерекурсивного цифрового фильтра. Однако, как будет показано ниже, факторизация спектральной плотности мощности позволяет синтезировать рекурсивные формирующие фильтры, что существенно экономит машинные ресурсы.

Моделирование случайного процесса происходит по формуле

(2.82)

где выбирается из условия обеспечения достаточной точности моделирования, так же как и в (2.62).

Фактически формула (2.82) соответствует тому, что импульсная характеристика (2.79), являющаяся неограниченной во времени функцией, ограничивается длительностью . Это приводит к появлению методической погрешности при использовании нерекурсивного формирующего фильтра. При использовании рекурсивного фильтра в качестве формирующего этот недостаток можно устранить.

Но и без этого ограничения длительности импульсной характеристики, связанного с тем, что в (2.82) число слагаемых должно быть конечным, метод имеет методическую погрешность, так как ни спектральная плотность мощности, ни корреляционная функция случайного процесса (даже при в (2.82)) не совпадают с заданными. Это вызвано тем, что из-за дискретизации импульсной характеристики передаточная функция цифрового формирующего фильтра отличается от (2.76), построенной по заданной спектральной плотности, а корреляционная функция импульсной характеристики цифрового формирующего фильтра (2.41) не совпадает с корреляционной функцией импульсной характеристики аналогового формирующего фильтра. При уменьшении шага дискретизации эта методическая погрешность может быть уменьшена до любой заданной величины, так как при все характеристики цифрового фильтра при методе инвариантности импульсной характеристики стремятся к характеристикам аналогового фильтра [1, 5].

Пример 2.5.

Требуется осуществить цифровое моделирование случайного процесса с корреляционной функцией .

Этой корреляционной функции соответствует спектральная плотность мощности , где .

1. Нули в спектральной плотности мощности отсутствуют. Определим полюсы : .

2. Так как имеет лишь два полюса и ни одного нуля, то этап “сортировки” нулей и полюсов по парам не требуется.

3. Из двух полюсов выбираем один с положительной мнимой частью . Этому полюсу соответствует полюс , равный .

4. По (2.77) получаем передаточную функцию формирующего аналогового фильтра , где .

Определяем по (2.79) импульсную характеристику формирующего фильтра .

Тогда в соответствии с (2.80) импульсная характеристика цифрового формирующего фильтра равна

Нахождение реализуемого аналогового формирующего фильтра в некоторых случаях возможно не только путем факторизации дробнорациональной спектральной плотности мощности. Для некоторых видов заданной корреляционной функции возможно ее представление в виде автокорреляции детерминированной функции. По этой детерминированной функции может быть определена импульсная характеристика аналогового формирующего фильтра, а значит, построен цифровой формирующий фильтр. В самом деле, используя соотношения (2.67) и определяя обратное преобразование Фурье от правой части, получим [3]:

(2.83)

где знак вычисления корреляционной функции.

При этом вид не имеет значения, т.е. она может быть любой, необязательно дробнорациональной.

Это уравнение можно рассматривать как уравнение для нахождения неизвестной импульсной характеристики аналогового формирующего фильтра. Метод факторизации спектральной плотности мощности является способом решения этого уравнения относительно в частном, но в распространенном случае, когда спектральная плотность мощности является дробнорациональной функцией.

Однако формализовать процесс определения импульсной характеристики аналогового формирующего фильтра из уравнения (2.83) для любого вида спектральной плотности мощности и корреляционной функции не удается. Но в некоторых частных случаях (когда не является дробнорациональной) уравнение (2.83) удается разрешить относительно .

Пример 2.6.

Пусть задана корреляционная функция (рис. 2.19)

(Эта функция рассматривалась уже в примере 2.3).

Известно [3], что такую корреляционную функцию имеет прямоугольный импульс с амплитудой и длительностью (рис.2.20), т.е. функция

Следовательно, в соответствии с (2.67) и (2.83) импульсная характеристика аналогового формирующего фильтра равна

Используя метод инвариантности импульсной характеристики (2.80) и принимая , дисперсия датчика случайных чисел в схеме рис. 2.3, получим импульсную характеристику цифрового нерекурсивного фильтра:

где шаг дискретизации, целая часть .

РЕКУРСИВНЫЙ ФОРМИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР

Применение рекурсивных формирующих фильтров позволяет существенно экономить машинные ресурсы по сравнению с использованием нерекурсивных фильтров. Однако применение рекурсивных фильтров оказывается возможным, когда заданная спектральная плотность мощности является дробнорациональной функцией. Еще одно достоинство применения рекурсивных формирующих фильтров  возможность обеспечения нулевой методической (алгоритмической) погрешности.

СИНТЕЗ РЕКУРСИВНОГО ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА ПО АНАЛОГОВОМУ ФОРМИРУЮЩЕМУ ФИЛЬТРУ

Рассмотрим синтез цифрового рекурсивного формирующего фильтра на основе построения дискретного аналога для аналогового формирующего фильтра.

Очевидно, что первым шагом является нахождение аналогового формирующего фильтра.

Нахождение аналогового формирующего фильтра по заданной дробно-рациональной спектральной плотности мощности было рассмотрено выше. В результате такого синтеза определялась передаточная функция аналогового формирующего фильтра (2.77)

(2.84)

Передаточная функция аналогового формирующего фильтра (2.84) является дробнорациональной функцией переменной. Метод перехода от аналогового формирующего фильтра к цифровому может быть выбран из различных соображений в зависимости от технического задания на моделирование[5].

Наиболее распространенными методами построения цифровой модели аналогового фильтра являются методы инвариантности импульсной характеристики и билинейного -преобразования [1, 5]. Применение метода инвариантности импульсной характеристики уже рассматривалось при синтезе нерекурсивного формирующего фильтра. Применение метода приводило к методической погрешности (см. разд. 2.2.3) как в отношении корреляционной функции, так и в отношении спектральной плотности мощности. Однако уменьшение шага дискретизации позволяет уменьшить методическую погрешность до любой заданной величины.

Более целесообразным может оказаться применение метода билинейного -преобразования, называемого еще методом инвариантности частотных характеристик. Метод обеспечивает совпадение передаточных функций аналогового и цифрового фильтров на частотах . Так как частотные характеристики аналогового и цифрового формирующего фильтров при этом условии совпадают, то в соответствии с (2.42) в указанном диапазоне частот будет обеспечиваться практическое совпадение заданной спектральной плотности мощности и спектральной плотности мощности формируемого дискретного случайного процесса (см. рис. 2.3). Метод билинейного -преобразования заключается в переходе от передаточной функции аналогового фильтра (2.84) к передаточной функции цифрового фильтра путем подстановки , т.е. передаточная функция цифрового формирующего фильтра при этом методе определяется как

(2.85а)

где определяется как (2.84).

Характеристики

Список файлов лекций