Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Пример 2.2.

Определим корреляционную функцию процесса (см. рис. 2.3), если в качестве формирующего используется рекурсивный фильтр, схема которого приведена на рис. 2.10. Передаточная функция этого фильтра в соответствии с (2.36) равна

(2.49)

импульсная характеристика (рис. 2.11) может быть определена как обратное преобразование от :

(2.50)

В соответствии с (2.41) определяется корреляционная функция (рис. 2.12) процесса

г
де .

Спектральная плотность мощности процесса с учетом (2.47) равна (рис. 2.13)

(2.51)

При использовании цифровых формирующих фильтров необходимо учитывать, что на первых тактах моделирования параметры формируемого случайного процесса не совпадают с заданными и могут изменяться. Это связано с тем, что цифровой фильтр  инерционное устройство и его поведение определяется начальными условиями. Обычно, моделирование начинается с нулевых начальных условий, что соответствует нулевым значениям на выходах всех задержек (схемы рис. 2.4 или рис. 2.5). В связи с этим на первых тактах моделирования процесс будет нестационарным. Этот интервал, где моделируемый случайный процесс является нестационарным, зависит от инерционных свойств фильтров.

Для нерекурсивного фильтра этот интервал может быть определен точно, он равен длительности импульсной характеристики или, что тоже, порядку фильтра .

Для рекурсивного фильтра этот интервал приближенно может быть определен как , где интервал корреляции случайного процесса. При моделировании бывает необходимо исключить интервал, где моделируемый процесс нестационарен, т.е. перед моделированием формирующий фильтр должен отработать столько тактов, сколько необходимо, чтобы стал стационарным.

НЕРЕКУРСИВНЫЙ ФОРМИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР (МЕТОД СКОЛЬЗЯЩЕГО СУММИРОВАНИЯ)

СИНТЕЗ НЕРУКУРСИВНЫХ ФОРМИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Определим корреляционную функцию процесса в схеме на рис. 2.3, если в качестве формирующего фильтра используется нерекурсивный фильтр (2.35). Корреляционная функция процесса по определению . При n=0 имеем

,

где использовано (2.40).

При n=1 имеем

.

Определив для , получим:

(2.52)

Для всегда .

Выражения (2.52) есть развернутое соотношение (2.41).Эти выражения можно рассматривать как систему алгебраических нелинейных уравнений, связывающих значения коэффициентов нерекурсивного цифрового фильтра с дискретными значениями заданной корреляционной функции.

Решение системы уравнений (2.52) определяет нерекурсивный формирующий фильтр.

Пример 2.3.

Пусть задана корреляционная функция (рис. 2.14):

(2.53)

П
усть шаг дискретизации равен . Тогда лишь три дискретных значения отличны от нуля: ,

Таким образом, нерекурсивный фильтр должен иметь порядок и система уравнений (2.52) запишется так:

Эта система уравнений имеет два решения, которые легко находятся аналитически:

,

Первое из этих решений соответствует нерекурсивному фильтру в примере 2.1 (см. рис. 2.6).

Однако в общем случае система алгебраических нелинейных уравнений (2.52) не может быть разрешена аналитически, как это было сделано в рассмотренном примере. Разработаны цифровые методы решения системы уравнений (2.52) для определения коэффициентов нерекурсивного цифрового фильтра по заданной корреляционной функции.

В случае, когда система уравнений (2.52) имеет точное решение, и это решение найдено, метод скользящего суммирования точно воспроизводит заданную корреляционную функцию в дискретных точках . Это означает, что в этом смысле метод обеспечивает нулевую методическую погрешность. Однако спектральная плотность мощности процесса , формируемого с помощью нерекурсивного фильтра с коэффициентами, удовлетворяющими системе (2.52), будет отличаться от спектральной плотности мощности процесса с заданной корреляционной функцией . Это происходит потому, что спектры и , представляющие спектральные плотности мощности процессов и соответственно, отличаются из-за дискретизации .

Так, в рассмотренном примере спектральная плотность мощности процесса с корреляционной функцией (2.53) равна (рис. 2.15)

О на не совпадает со спектральной плотностью мощности процесса (2.51), представленной на рис. 2.13.

Можно показать, что при спектральные плотности мощности процесса с корреляционной функцией и процесса с корреляционной функцией неограниченно сближаются.

Если заданная корреляционная функция неограничена во времени, то точная реализация с использованием нерекурсивного формирующего фильтра невозможна, так как импульсная характеристика формирующего фильтра должна быть при этом также неограничена во времени, и приходится заменять заданную корреляционную функцию финитной функцией

где величина выбирается по заданной точности моделирования.

В этом случае применение нерекурсивного цифрового формирующего фильтра приводит к методической (алгоритмической) погрешности, как по корреляционной функции, так и по спектральной плотности мощности.

Рассматриваемый метод определения нерекурсивного цифрового фильтра основан на решении системы нелинейных уравнений (2.52) и применяется редко, так как это усложняет подготовительную работу при моделировании.

СИНТЕЗ НЕРЕКУРСИВНЫХ ФОРМИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ В РЯД ФУРЬЕ

Этот метод позволяет свести определение коэффициентов цифрового формирующего нерекурсивного фильтра к расчету по формулам, что намного удобнее, чем решение системы нелинейных уравнений.

Идея метода заключается в следующем.

При рассматриваемой постановке задачи моделирования известна спектральная плотность мощности процесса.

Коэффициенты нерекурсивного фильтра, как это будет ясно из дальнейшего, определяются как коэффициенты разложения в ряд Фурье передаточной функции формирующего фильтра. Для того чтобы определить коэффициенты Фурье, необходимо, чтобы передаточная функция, а значит, и спектральная плотность мощности были бы равны нулю за пределами частоты дискретизации , связанной с используемым шагом дискретизации как . Поскольку заданная спектральная плотность мощности может отличаться от нуля на частотах, больших , то случайный процесс с заданной спектральной плотностью можно заменить процессом со спектральной плотностью мощности :

(2.54)

Такая замена приводит к методической погрешности при моделировании, однако, обычно спектральная плотность мощности становится малой, начиная с какойто характерной частоты, и шаг дискретизации может быть принят при моделировании достаточно малым, чтобы была больше этой характерной частоты.

По соотношению (2.42) с учетом (2.44) определяются требования к аналоговому формирующему фильтру (см. рис. 2.2) как , где принято .

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика аналогового формирующего фильтра должна быть равна

(2.55)

Этому условию может удовлетворять сколь угодно большое количество формирующих фильтров с отличающимися друг от друга фазочастотными характеристиками и, в частности, фильтр с фазочастотной характеристикой, равной нулю. Передаточная функция такого аналогового фильтра в соответствии с (2.55) должна быть равна

(2.56)

а импульсная характеристика определяется как обратное преобразование Фурье от

Так как всегда является четной функцией , то

(2.57)

Применим метод инвариантности импульсной характеристики [1, 5] для построения цифрового формирующего фильтра. Импульсная характеристика цифрового фильтра в этом методе связанна с импульсной характеристикой цифрового прототипа как

(2.58)

Таким образом, в соответствии с (2.57) импульсная характеристика цифрового формирующего фильтра должна быть равна

(2.59)

Это выражение соответствует определению коэффициентов ряда Фурье для передаточной функции (2.56) с точностью до множителя (2.55).

Однако непосредственно в виде (2.35) цифровой формирующий фильтр не может быть построен, поскольку он является нереализуемым из-за того, что

(2.60)

Это является следствием того, что четная функция, поэтому в соответствии с (2.59) , а, следовательно, и , что подтверждает (2.60).

Кроме того, и импульсная характеристика аналогового формирующего фильтра , и импульсная характеристика цифрового фильтра в общем случае являются неограниченными во времени функциями. Это препятствует цифровой реализации фильтра в силу конечности памяти и быстродействия реальных компьютеров.

Вместо (2.35), соответствующей формуле вычислений реакции цифрового нерекурсивного фильтра, необходимо выполнять вычисления по формуле

(2.61)

где учтено, что коэффициенты нерекурсивного фильтра равны отсчётам его импульсной характеристики .

Чтобы реализовать нерекурсивный формирующий фильтр, необходимо, чтобы при и длительность , а значит, и число слагаемых в (2.61) были бы конечными.

Чтобы удовлетворить этим условиям, поступают следующим образом (рис. 2.16).

Во-первых, импульсную характеристику (рис. 2.16,а) искусственно ограничивают во времени (рис. 2.16,б):

(2.62)

Практически величину можно выбирать из условия , где полная дисперсия случайного процесса, дисперсия случайного процесса после ограничения (2.62) импульсной характеристики цифрового формирующего фильтра, заданная малая погрешность.

Преобразование (2.62) по-прежнему не обеспечивает возможность реализации цифрового фильтра. Чтобы обеспечить условие реализуемости введем новую импульсную характеристику (рис 2.16,в)

(2.63)

для которой выполняется при .

Характеристики

Список файлов лекций