Цифровое моделир. случайных процессов (лекции, ч.2).DOC (1002251), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Если заданная спектральная плотность мощности не является дробно-рациональной функцией, необходимо использовать методы синтеза нерекурсивных фильтров с помощью решения системы нелинейных уравнений или разложения спектральной плотности мощности в ряд Фурье.

Применение нерекурсивных формирующих фильтров практически всегда приводит к методической погрешности, которая, однако, может быть уменьшена до требуемого уровня за счет уменьшения шага дискретизации и (или) увеличения длительности импульсной характеристики формирующего фильтра. Таким образом, величина методической погрешности ограничена лишь имеющимися при моделировании ресурсами  объемом памяти и быстродействием используемого компьютера.

Если заданная спектральная плотность мощности является дробно-рациональной и используется рекурсивный формирующий фильтр, то предварительно должна быть найдена передаточная функция аналогового формирующего фильтра путем факторизации спектральной плотности мощности. Если найденная передаточная функция аналогового формирующего фильтра имеет число нулей больше, чем число полюсов, для синтеза цифрового формирующего фильтра целесообразно применять метод согласованного -преобразования. В случае, когда число нулей менее или равно числу полюсов передаточной функции, целесообразно использовать метод билинейного -преобразования, обеспечивающий в определенном диапазоне частот совпадение заданной и реализуемой спектральной плотности мощности. Когда число нулей передаточной функции аналогового формирующего фильтра меньше, чем число ее полюсов, целесообразно также использование метода, обеспечивающего нулевую методическую погрешность по корреляционной функции.

Следует учитывать общий недостаток методов формирующего фильтра - возможность появления на начальных тактах моделирования отсчетов процесса, не соответствующих заданным статистическим свойствам. Чтобы исключить этот интервал моделирования, необходимо, чтобы переходной процесс, связанный с установлением требуемых статистических свойств моделируемого процесса, закончился. Обычно для этого достаточно интервала времени, равного длительности импульсной характеристики нерекурсивного формирующего фильтра, или двухтрёх интервалов корреляции моделируемого случайного процесса.

Если моделируется нормальный процесс, то целесообразно использование датчиков случайных чисел с нормальным законом распределения. Если одномерная плотность не задана, обычно применяется датчик с равномерным распределением.

2.2.5. ФОРМИРУЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ТИПОВЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

В этом разделе в качестве примеров рассмотрены цифровые формирующие фильтры для моделирования стационарных процессов с типовыми корреляционными функциями и спектральными плотностями мощности. Эти примеры могут быть использованы как справочный материал для проведения лабораторных и практических занятий, в курсовом и дипломном проектировании, в научноисследовательской работе студентов. Алгоритмы формирующих фильтров даны для случая, когда датчик случайных чисел, используемый для имитации белого дискретного шума на выходе формирующего фильтра, имеет единичную дисперсию. Если используемый датчик случайных чисел имеет отличную от единицы дисперсию , то все коэффициенты нерекурсивного фильтра должны быть поделены на , а в рекурсивных формирующих фильтрах все коэффициенты прямой передачи, соответствующие нерекурсивной части фильтра, также должны быть поделены на .

Напомним, что если датчик случайных чисел имеет нормальное распределение, то и моделируемый процесс является нормальным. Если же плотность вероятности моделируемого процесса не задана, то можно использовать датчик случайных чисел с любым распределением, в этом случае обычно целесообразно использовать датчик случайных чисел с равномерным распределением, так как при этом минимальны затраты машинного времени. В этом разделе для таких случайных процессов, формируемых с помощью датчиков случайных чисел, принято обозначение .

Примеры, рассмотренные в этом разделе, заимствованы из [1].

Пример 2.9.

М оделирование случайного процесса с корреляционной функцией (рис. 2.24) , где дисперсия случайного процесса, параметр, имеющий размерность частоты (рад/с) и соответствующий ширине спектральной плотности мощности на уровне 0,5. Время корреляции для моделируемого процесса

.

Спектральная плотность мощности (рис. 2.25), соответствующая этой корреляционной функции,

.

Э
нергетическая полоса спектра .

Случайный процесс с такими характеристиками формируется, например, RC-цепью (рис. 2.26) с передаточной функцией на входе которой действует белый шум спектральной плотностью , при этом .

Синтез цифровых формирующих фильтров для моделирования случайного процесса с такими корреляционными свойствами рассматривался в примерах 2.5 и 2.7 в разд. 2.2.3.

И
спользуя результат (см. разд. 2.2.3) для формирующего рекурсивного фильтра можно записать передаточную функцию

,

где , .

Схема вычислений для этого формирующего фильтра приведена на рис. 2.27. Этот формирующий фильтр имеет нулевую методическую погрешность по корреляционной функции.

Пример 2.10.

Моделирование случайного процесса с корреляционной функцией (рис. 2.28) , где дисперсия моделируемого случайного процесса, параметры корреляционной функции.

Спектральная плотность мощности, соответствующая этой корреляционной функции, равна (рис. 2.29) , .

Время корреляции моделируемого случайного процесса .

Э нергетическая полоса спектра равна .

Случайный процесс с такой спектральной плотностью и корреляционной функцией формируется на выходе цепи (рис. 2.30) с высокой добротностью, на входе которой действует белый шум со спектральной плотностью мощности, равной . Параметры цепи: резонансная частота контура, затухание контура, добротность контура, - декремент затухания.

С
лучайный процесс с такими корреляционными свойствами может формироваться также из белого шума, действующего на входе параллельного контура или однокаскадного резонансного усилителя с параметрами .

Цифровой формирующий фильтр для случайного процесса с такими корреляционными свойствами может быть синтезирован различными методами.

Если использовать метод, обеспечивающий нулевую методическую погрешность по корреляционной функции, то формула для вычислений по дает: , где , , , , , , .

П
ередаточная функция этого фильтра .

Схема вычислений представлена на рис. 2.31. Этот цифровой формирующий фильтр может использоваться при любых соотношениях между и .

Напомним, что при использовании этого фильтра существует отличная от нуля методическая погрешность по спектральной плотности мощности. Чтобы уменьшить эту погрешность целесообразно использовать метод билинейного преобразования [1, 5] синтеза цифрового формирующего фильтра по аналоговому фильтру, представленному на рис. 2.31.

П

ример 2.11.

Моделирование случайного процесса с корреляционной функцией (рис. 2.32) , где дисперсия случайного процесса, параметры корреляционной функции.

Спектральная плотность мощности, соответствующая этой корреляционной функции, равна (рис.2.33)

, .

Время корреляции случайного процесса . Энергетическая полоса равна .

Случайный процесс с такими корреляционными свойствами формируется на выходе -цепи (см. рис.2.30) с добротностью большей, чем 0.5, и при действии на входе этой цепи белого шума со спектральной плотностью мощности . Параметры контура обозначены в предыдущем примере.

При выражения для спектральной плотности мощности и корреляционной функции соответствуют предыдущему примеру.

С
лучайный процесс с такими корреляционными свойствами может формироваться из белого шума действующего на входе параллельного контура или однокаскадного резонансного усилителя с резонансной частотой и затуханием .

Цифровой формирующий фильтр для случайного процесса с такими корреляционными свойствами представлен на рис. 2.31. При этом , , , , , , .

Этот фильтр можно использовать при любых соотношениях между и .

Пример.2.12.

Моделирование случайного процесса с корреляционной функцией (рис. 2.34) , где дисперсия моделируемого случайного процесса, параметры корреляционной функции. Этой корреляционной функции соответствует спектральная плотность мощности (рис.2.35)

, .

С лучайный процесс с такими корреляционными свойствами формируется из белого шума со спектральной плотностью мощности на выходе -контура (рис.2.36). Параметры контура обозначены в примере 2.9.

П ри использовании метода, обеспечивающего нулевую методическую погрешность по корреляционной функции, заданной корреляционной функции соответствует рекурсивный формирующий фильтр, представленный на рис.2.31. При этом его коэффициенты равны: ,

, , , , , .

Как и в предыдущих примерах, этот формирующий фильтр имеет ненулевую методическую ошибку по спектральной плотности мощности. Для уменьшения этой ошибки целесообразно использовать цифровой формирующий фильтр, синтезированный с помощью метода билинейного преобразования.

Характеристики

Список файлов лекций