Цифровое моделир. случайных процессов (лекции, ч.2).DOC (1002251), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

После несложных алгебраических преобразований от передаточной функции , полученной в соответствии с этим выражением, можно перейти к стандартной форме записи передаточной функции (2.38) и к реализации цифрового формирующего фильтра по формуле (2.36) или по схеме рис. 2.5.

Пример 2.7.

Осуществить моделирование стационарного процесса с корреляционной функцией , применяя рекурсивный формирующий фильтр.

Как показано в примере 2.5, передаточная функция аналогового формирующего фильтра, полученная на основе факторизации спектральной плотности мощности, есть

Применим метод билинейного преобразования для получения передаточной функции рекурсивного формирующего фильтра. В соответствии с (2.85) передаточная функция цифрового формирующего фильтра равна

В соответствии с (2.36) формула вычислений для синтезированного рекурсивного фильтра есть .

Схема вычислений в соответствии с рис. 2.5 приведена на рис. 2.21.

С овпадение заданной спектральной плотности мощности со спектральной плотностью мощности моделируемого случайного процесса не обеспечивает отсутствие методической погрешности по заданной корреляционной функции из-за замены случайного процесса, описываемого как функция непрерывного времени на дискретный случайный процесс . Разработаны специальные методы перехода от аналогового формирующего фильтра к цифровому, обеспечивающие нулевую методическую погрешность по автокорреляционной функции [1, 2] и рассмотренные в следующем параграфе.

Метод билинейного преобразования не может быть использован, когда в передаточной функции (2.84) синтезированного аналогового фильтра число нулей превышает число полюсов [5]. В этом случае можно применить метод согласованного преобразования для синтеза цифрового фильтра по (2.84). Метод заключается в том, что передаточная функция цифрового формирующего фильтра записывается по (2.84) как

(2.85б)

Пример 2.8.

П усть необходимо осуществить моделирование случайного процесса со спектральной плотностью мощности (рис. 2.22) .

Синтез аналогового формирующего фильтра произведем, как это было проделано в примере 2.5.

1. Спектральная плотность мощности имеет два нуля и не имеет полюсов (2.71). Нули спектральной плотности мощности равны .

2. Из двух нулей для синтезирования передаточной функции аналогового формирующего фильтра оставляем один.

3. Таким образом, передаточная функция аналогового формирующего фильтра имеет один нуль, равный нулю и не имеет ни одного полюса.

4. В соответствии с (2.77) передаточная функция аналогового формирующего фильтра равна .

Эта передаточная функция соответствует идеальной дифференцирующей цепи, при этом , т.е. метод билинейного преобразования не может быть применен. Применение метода согласованного преобразования (2.85б) дает передаточную функцию цифрового формирующего фильтра (рис. 2.23)

.

Этот формирующий фильтр является нерекурсивным; в общем случае метод согласованного преобразования приведет к синтезу рекурсивных фильтров.

СИНТЕЗ РЕКУРСИВНОГО ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА С НУЛЕВОЙ МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТЬЮ ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Синтез рекурсивного формирующего фильтра с нулевой методической погрешностью может быть осуществлен по аналоговому формирующему фильтру (2.84), т.е. для случая, когда заданная спектральная плотность мощности является дробно-рациональной функцией частоты.

Рассмотрим идею синтеза таких формирующих фильтров на примере. Пусть требуется построить рекурсивный формирующий фильтр для моделирования случайного процесса с корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности .

Как показано в примере 2.5, передаточная функция аналогового формирующего фильтра в этом случае должна быть ,

а импульсная характеристика этого фильтра выражается как

.

Этот аналоговый фильтр можно использовать в схеме рис. 2.2. При этом для выходного сигнала (моделируемого процесса) можно записать

(2.86)

Это выражение  интеграл Дюамеля, связывающий входное воздействие формирующего фильтра с его реакцией .

Выразим значение реакции формирующего фильтра в момент времени через реакцию в момент времени (2.86):

	(2.87)

Рассмотрим первое слагаемое в этом выражении.

Вынося за скобки и возвращаясь к записи через , получаем

(2.88)

Второе слагаемое статистически независимо от первого, так как оно равно результату действия на формирующий фильтр входного белого шума на временном интервале , не перекрывающемся с интервалом для первого слагаемого. Эта статистическая независимость определена тем, что для белого шума любые его значения в несовпадающие моменты времени независимы. Исчерпывающей статистической характеристикой этого слагаемого является его дисперсия, так как его среднее равно нулю, а закон распределения не имеет значения, ввиду того, что для моделируемого процесса плотность вероятности не задается. Эта дисперсия может быть определена исходя из того, что второе слагаемое в (2.87) равно результату действия белого шума со спектральной плотность мощности на линейную цепь с импульсной характеристикой равной на интервале :

(2.89)

Подставив (2.88) в (2.87) и учтя, что дисперсия второго слагаемого должна быть равна (2.89) и , получим , где нормированная (с единичной дисперсией) случайная величина с нулевым средним. Таким образом, значение моделируемого случайного процесса в момент времени выражается через значение простым соотношением, которое позволяет записать рекуррентное выражение для последовательности дискретных отсчетов:.

(2.90)

Дисперсия независимых случайных величин с нулевым средним равна единице.

Это выражение соответствует рекурсивному фильтру первого порядка с передаточной функцией

(2.91)

Этот фильтр обеспечивает формирование случайного процесса в схеме (см. рис. 2.2) с корреляционной функцией, совпадающей с заданной корреляционной функцией в дискретные моменты времени, т.е. нулевую методическую погрешность по корреляционной функции. Напомним, что методическая погрешность по спектральной плотности мощности в этом случае не равна нулю, т.е. заданная спектральная плотность мощности и спектральная плотность мощности процесса не совпадают. В самом деле, передаточная функция по частоте синтезированного цифрового формирующего фильтра (2.91) равна

В соответствии с этим спектральная плотность мощности процесса , формируемого этим фильтром из дискретного белого шума (см. рис. 2.3.) с дисперсией , равна , что не совпадает с заданной спектральной плотностью мощности .

Подход, рассмотренный в этом примере, позволяет синтезировать цифровые рекурсивные формирующие фильтры с нулевой методической погрешностью по заданной корреляционной функции. При этом, естественно, предполагается, что дробнорациональная спектральная плотность мощности может быть факторизована таким образом, чтобы ей соответствовал аналоговый формирующий фильтр на элементах с сосредоточенными параметрами.

Метод синтеза цифрового рекурсивного формирующего фильтра с нулевой погрешностью по корреляционной функции допускает обобщение на случай, когда шаг дискретизации является непостоянным, т.е. позволяет производить цифровое моделирование стационарных процессов с заданной корреляционной функцией в неравноотстоящих точках. В самом деле, выражение (2.90) в соответствии с (2.87), (2.88), (2.89) может быть записано как , где переменный шаг дискретизации, зависящий от номера такта моделирования, .

2.2.4. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЗАДАННЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Рассмотренные методы моделирования стационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами различаются как сложностью подготовительной работы, так и свойствами алгоритмов моделирования.

Метод канонических и неканонических разложений целесообразно применять, в тех случаях, когда необходимо моделировать стационарный случайный процесс в произвольные, заранее неопределенные моменты времени. Если моменты времени, в которых необходимо имитировать случайный процесс, определены заранее, применение методов канонических разложений нецелесообразно из-за присущих им недостатков. Метод неканонического разложения выгоднее метода канонических разложений в смысле экономии памяти и машинного времени, но он может быть использован, когда его недостаток, проявляющийся в неэргодичности процесса, не имеет принципиального значения.

Метод формирующего фильтра получил наибольшее распространение, так как позволяет экономить машинные ресурсы и имитировать реализации с любой длительностью, заранее неопределенной. При этом применение нерекурсивных фильтров более универсально, так как позволяет синтезировать формирующие фильтры для любых типов корреляционных функций и спектральных плотностей.

Применение рекурсивных фильтров по сравнению с нерекурсивными позволяет более экономно расходовать машинные ресурсы. Поэтому, когда это возможно, т.е. когда заданная спектральная плотность мощности является дробно-рациональной функцией, необходимо использовать рекурсивные формирующие фильтры, применяя факторизацию спектральной плотности мощности.

Характеристики

Список файлов лекций