Цифровое моделир. случайных процессов (лекции, ч.2).DOC (1002251), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Пример 2.13.

М
оделирование случайного процесса с корреляционной функцией (рис.2.37) . Спектральная плотность мощности такого процесса равна (рис.2.38) . Ширина спектральной плотности мощности по уровню 0,5 . Время корреляции случайного процесса .

Случайный процесс с такими корреляционными свойствами формируется аналоговым фильтром (рис.2.39), состоящим из двух последовательно включенных цепочек.

П
ри этом на входе этого формирующего фильтра действует белый шум со спектральной плотностью

.

Синтез цифрового формирующего фильтра по методу, обеспечивающему отсутствие методической погрешности по корреляционной функции, дает фильтр, представленный на рис. 2.31 с коэффициентами, равными , ,

, , ,

, .

Так же, как и в предыдущих примерах, этот формирующий фильтр имеет ненулевую погрешность по спектральной плотности мощности, которую можно уменьшить, применив метод билинейного преобразования для синтеза цифрового формирующего фильтра по аналоговому фильтру (рис.2.39).

Пример 2.14.

Моделирование случайного процесса со спектральной плотностью мощности

и соответствующей корреляционной функцией (рис.2.40)

.

М оделирование случайного процесса было рассмотрено в примере 2.4 методом разложения спектральной плотности мощности в ряд Фурье

Этот формирующий фильтр имеет ненулевую методическую погрешность, которая может быть уменьшена при увеличении .

Пример 2.15.

М оделирование случайного процесса с корреляционной функцией (рис.2.41) и соответствующей спектральной плотностью мощности (рис.2.42) . Время корреляции такого случайного процесса .

Спектральная плотность мощности такого вида может быть сформирована в схеме рис.2.43, состоящей из большого числа последовательно включенных интегрирующих цепочек. Известно, что при увеличении числа каскадов передаточная функция такой схемы при сохранении полосы пропускания, стремится к гауссовой кривой. При этом ширина спектральной плотности мощности по уровню 0,5 .

Случайный процесс с такими корреляционными свойствами формируется в схеме рис. 2.43 при действии на ее входе белого шума со спектральной плотностью мощности

.

Цифровое моделирование случайного процесса с такими корреляционными свойствами можно осуществлять с помощью нерекурсивного формирующего фильтра. Если определить его коэффициенты по методу разложения спектральной плотности в ряд Фурье, то коэффициенты этого нерекурсивного фильтра будут определяться как

Эти коэффициенты получены по формуле (2.64) при интеграле с верхним пределом, равным бесконечности, что соответствует достаточно высокой частоте дискретизации .

Формирующий фильтр, синтезированный таким образом, как известно, имеет методическую погрешность, которая может быть уменьшена за счет увеличения и .

Пример 2.16.

М оделирование случайного процесса с корреляционной функцией (рис. 2.44) , где дисперсия случайного процесса, параметр корреляционной функции. При корреляционная функция равна . Спектральная плотность мощности (рис.2.45) . Ширина спектральной плотности на уровне 0,5 равна . Время корреляции для моделируемого процесса

.

Так как спектральная плотность мощности моделируемого процесса не является дробнорациональной функцией, то при цифровом моделировании используем нерекурсивный формирующий фильтр. Вычисление коэффициентов этого фильтра с помощью разложения передаточной функции в ряд Фурье дает

Это выражение справедливо при .

Моделирование дает методическую погрешность, которая может быть уменьшена до любой величины за счет уменьшения и увеличения .

Пример 2.17.

Моделирование случайного процесса с корреляционной функцией (рис.2.46)

где дисперсия случайного процесса, параметр корреляционной функции.

Спектральная плотность мощности (рис.2.47)

.

В ремя корреляции для процесса с такими корреляционными свойствами равно

.

Синтез цифрового формирующего фильтра для случайного процесса с такими корреляционными свойствами был рассмотрен в примере 2.6.

3.Моделирование стационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами и одномерной плотностью вероятности

Если моделированию подлежит случайный негауссов процесс с заданной многомерной плотностью вероятности, то могут быть использованы методы условных распределений (см. разд. 1.1) или метод Неймана (см. разд. 1.2). Оба указанных метода требуют больших затрат машинного времени, поэтому их возможности для моделирования реализаций случайных процессов большой длительности ограничены. На практике часто встречается менее общая задача - моделирование негауссовых стационарных процессов с известными одномерной плотностью вероятности и корреляционной функцией. Такая задача может возникнуть, например, при моделировании случайного процесса по экспериментальным данным; при экспериментальном исследовании случайных процессов, как известно, достаточно легко определяются именно корреляционные свойства процесса (корреляционная функция или спектральная плотность мощности) и одномерный закон распределения. При моделировании случайных процессов, свойства которых определены теоретически, также часто возникает ситуация, когда заданы лишь корреляционные свойства и закон распределения случайного процесса, так как другие статистические характеристики либо не могут быть получены аналитически, либо не оказывают существенного влияния на результат моделирования.

3.1. МЕТОД НЕКАНОНИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

Для моделирования стационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами и плотностью вероятности может использоваться метод неканонических разложений (см. разд. 2.2.2).

Так, при использовании модели (2.33) кроме условий (2.33а) и (2.33б), реализующих в модели заданные корреляционные свойства, можно обеспечить также и заданную плотность вероятности процесса, используя для амплитуды датчик случайных чисел с плотностью вероятности [2]

где заданная одномерная плотность вероятности моделируемого процесса.

Эта модель для рассматриваемого вида случайных процессов имеет существенный недостаток (см. разд. 2.2)  она не является эргодической, т.е. для неё среднее по времени не совпадает со средним по ансамблю. В тех случаях, когда при моделировании не требуется эргодичность процесса, эта модель имеет преимущество перед другими методами моделирования: она более эффективна с точки зрения затрат машинных ресурсов и позволяет осуществлять моделирование для произвольных, заранее неизвестных моментов времени.

При моделировании некоррелированного процесса с заданной плотностью вероятности достаточно использовать датчик случайных чисел с такой же плотностью вероятности.

Более универсальным методом моделирования стационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами и одномерной плотностью вероятности является метод, использующий нелинейное безынерционное преобразование нормального случайного процесса.

3.2. МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА БЕЗЫНЕРЦИОННОМ НЕЛИНЕЙНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ НОРМАЛЬНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Моделирование осуществляется по схеме рис. 3.1 и ее цифровому эквиваленту - схеме рис. 3.2. Здесь белый дискретный шум с нормальным распределением, который с помощью цифрового формирующего фильтра преобразуется в нормальный дискретный случайный процесс с корреляционной функцией . Случайный процесс с одновременно заданными корреляционной функцией и одномерной плотностью вероятности формируется из с помощью безынерционного нелинейного преобразования, так что каждый отсчет определяется значением в этот же момент времени:

(3.1)

Расчет безынерционного нелинейного преобразования (3.1) и цифрового формирующего фильтра в схеме на рис. 3.1 ведется в такой последовательности. Сначала определяется безынерционное нелинейное преобразование, обеспечивающее преобразование гауссовых случайных величин в случайные величины с заданной плотностью вероятности. Затем по выбранному преобразованию (3.1) определяется корреляционная функция нормального процесса , обеспечивающая заданную корреляционную функцию моделируемого процесса, и синтезируется цифровой формирующий фильтр по найденной корреляционной функции (или ) (см. разд. 2.2.3).

Для упрощения расчетов обычно предполагается, что процессы и имеют нулевое среднее, а единичную дисперсию. Процесс с ненулевым средним в этом случае может быть получен из как .

Рассмотрим расчет схемы моделирования (рис. 3.1) подробнее.

1. Пусть безынерционное нелинейное преобразование является монотонным, т.е. . Определим его, исходя из заданной одномерной плотности вероятности моделируемого процесса и нормальной плотности вероятности процесса :

Характеристики

Список файлов лекций