Цифровое моделир. случайных процессов (лекции, ч.2).DOC (Лекции (ворд)), страница 4

Во-вторых, более существенным недостатком метода канонических разложений является то, что решение интегральных уравнений (2.14) может быть аналитически найдено лишь для ограниченного вида корреляционных функций .

В связи с этим обычно применяются приближенные методы канонических разложений, одним из которых является метод, предложенный В.С. Пугачевым. Метод В.С. Пугачева заключается в следующем. Вместо случайного процесса с заданной корреляционной функцией моделируется случайный процесс с корреляционной функцией , связанной с заданной как

.

(2.17)

Из этого следует, что корреляционные функции и совпадают лишь для дискретных моментов времени; полного совпадения и нет, но при определенном выборе дискретных точек на временной оси корреляционная функция моделируемого процесса приближенно равна заданной :

.

(2.18)

Таким образом, основное преимущество метода канонических разложений по отношению к методу линейного преобразования сохраняется, но возникает методическая ошибка из-за несовпадения корреляционных функций (2.18). Моделирование происходит по формуле

,

(2.19)

где в отличие от разложения (2.11) конечное число слагаемых, равное числу дискретных точек, на которых выполняется (2.17),что позволяет экономить память и уменьшает число требуемых элементарных операций при программной реализации метода.

Подготовительная работа состоит в выборе системы ортонормированных функций и определении требований к некоррелированным случайным величинам . Как и при использовании канонического разложения (2.11), предъявляются требования лишь к первому и второму моментам случайных величин , при этом среднее равно нулю: , а дисперсии случайных величин и функции , как показал В.С. Пугачев, могут быть найдены по рекуррентным формулам:

	(2.20)

Итак, ещё одним достоинством метода В.С. Пугачева по сравнению с использованием канонического разложения (2.11) является отсутствие необходимости решения интегрального уравнения (2.14) при нахождении системы функций , для которых записывается разложение. В данном случае все функций определяются на основе простых алгебраических преобразований (2.20), которые легко могут быть запрограммированы.

Известно, что отличие от заданной уменьшается при увеличении числа дискретных точек и таком выборе этих точек на временной оси, когда заданная в этих точках принимает наибольшее значение.

2.1.3. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЗАДАННЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Метод канонических разложений формально можно рассматривать как вариант метода линейного преобразования, поскольку разложения (2.9) или (2.11) при усечении членов ряда соответствуют линейному преобразованию (2.3), если учитывать только дискретные моменты времени. В этом случае оба рассмотренных метода канонических разложении можно рассматривать как способы определения элементов матрицы в (2.3). При таком сравнении этих методов для моделирования значений случайного процесса лишь в дискретные моменты времени предпочтение надо отдать методу линейных преобразований как более экономному, поскольку число ненулевых элементов матрицы может быть уменьшено в соответствии с (2.6), что позволяет экономить машинные ресурсы.

Если же необходимо моделирование для моментов времени, которые заранее неизвестны, то предпочтение надо отдать методу канонических разложений.

Общим недостатком методов линейного преобразования и канонических разложений является необходимость хранить в памяти компьютера все случайные величины и элементы матрицы или значения функций в разложении. Это предъявляет жестокие требования к памяти, особенно при увеличении . От этого недостатка свободен метод моделирования нестационарных случайных процессов с заданной корреляционной функцией, рассмотренный в [2]. Метод заключается в использовании дискретных моделей линейных нестационарных систем для формирования случайного процесса с заданными свойствами из белого шума. Если удается получить модель такой системы в виде рекурсивных фильтров, то этот подход позволяет существенно уменьшить машинные ресурсыпамять и быстродействие.

2.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЗАДАННЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Для стационарных процессов корреляционная функция зависит от разности аргументов:

(2.21)

Обычно рассматривается моделирование стационарных случайных процессов с нулевым средним (центрированных); в случае же, если необходимо моделировать случайный процесс с математическим ожиданием, отличным от нуля, можно использовать (2.2).

Для стационарных случайных процессов может быть введено понятие спектральной плотности мощности . Если процесс центрированный, то корреляционная функция и спектральная плотность мощности связаны, как пара преобразований Фурье:

	(2.22)
	(2.23)

Поэтому моделирование стационарного случайного процесса с заданной корреляционной функцией эквивалентно моделированию стационарного случайного процесса с заданной спектральной плотностью мощности .

2.2.1. МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

Для стационарных процессов каноническое разложение (2.11) по ортонормированным функциям с некоррелированными коэффициентами является разложением в ряд по гармоническим функциям  синусам и косинусам, так как при выполнении (2.21) гармонические функции являются собственными функциями интегрального уравнения (2.14). В соответствии с этим ряд (2.11) становится рядом Фурье со случайными некоррелированными коэффициентами и :

,

(2.24)

где интервал моделирования, , , , , , .

В соответствии со свойствами ряда Фурье (2.24) реализации случайного процесса будут периодическими функциями времени с периодом . Этот период должен быть выбран таким образом, чтобы корреляционная функция процесса (2.24), также имеющая период, не отличалась от заданной корреляционной функции .

Покажем, что представление случайного процесса в виде ряда (2.24) позволяет моделировать стационарный случайный процесс с заданной корреляционной функцией , и определим требования к некоррелированным случайным коэффициентам и .

Для этого определим корреляционную функцию процесса, представленного в виде (2.24):

где дисперсия , дисперсия .

При выводе этого соотношения учтена некоррелированность коэффициентов и (2.24).

Для того чтобы процесс был стационарным в широком смысле, необходимо положить равными дисперсии случайных величин и , так как только при последнее выражение может быть записано как

Таким образом, зависит лишь от разности аргументов :

.

(2.25)

Это выражение есть разложение заданной корреляционной функции в ряд Фурье. При этом корреляционная функция является периодической с периодом .

Для определения дисперсий случайных коэффициентов и важно, что при этом являются коэффициентами разложения в ряд Фурье заданной корреляционной функции в соответствии с (2.25), т.е. могут быть связаны со спектральной плотностью мощности моделируемого случайного процесса (2.22) (2.23). Эта связь с определяет порядок расчета  параметра случайных коэффициентов в каноническом разложении (2.24).

В самом деле, в соответствии с (2.25) можно найти как коэффициенты разложения в ряд Фурье:

	(2.26)
,	(2.27)

при этом учтено, что четная функция, т.е. .

Для уменьшения методической (алгоритмической) погрешности период должен быть выбран достаточно большим. Период должен превышать интервал корреляции случайного процесса : .

Если это неравенство выполняется, то в (2.26) (2.27) можно верхние пределы интегрирования заменить на и тогда с небольшой погрешностью можно записать:

	(2.28)

где  спектральная плотность мощности моделируемого процесса.

Следовательно, дисперсии случайных коэффициентов в разложении (2.24) определяются по заданной спектральной плотности мощности с точностью до постоянных коэффициентов. Таким образом, расчет при подготовительной работе очень прост.