Цифровое моделир. случайных процессов (лекции, ч.2).DOC (Лекции (ворд)), страница 3

2. Часто в радиотехнических приложениях необходимо моделировать негауссовы случайные процессы, которые легко (без больших затрат машинного времени и при несложной подготовительной работе) могут быть сформированы из нормальных процессов. Нормальные же процессы, как указывалось выше, можно моделировать как процессы с заданной корреляционной функцией.

3. На практике при моделировании негауссова случайного процесса может быть известна лишь корреляционная функция процесса. Такая ситуация возникает, например, при моделировании случайного процесса по экспериментальным данным; при эксперименте часто не удается определить другие характеристики случайного процесса. Очень часто и при теоретическом описании случайного процесса также не удается установить какие-либо его характеристики, кроме корреляционных.

4. При моделировании может возникать ситуация, когда конечный результат моделирования зависит лишь от корреляционных свойств моделируемого случайного процесса. Например, если моделируемый случайный процесс воздействует на линейное инерционное устройство, то, как известно, при этом происходит нормализация случайного процесса, и характеристики случайного процесса на выходе полностью определяются только корреляционными свойствами исходного случайного процесса.

2.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЗАДАННЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Если моделируемый случайный процесс с заданными корреляционными свойствами нестационарен, то его корреляционная функция зависит от двух аргументов: , знак математического ожидания.

При моделировании случайного процесса обычно полагается, что он имеет нулевое математическое ожидание:

,

(2.1)

поскольку при необходимости моделировать процесс с ненулевым математическим ожиданием

,

(2.2)

если удовлетворяет (2.1), а заданное математическое ожидание .

Если моделирование случайного процесса необходимо осуществить для дискретных заранее известных моментов времени то, как и в разд. 1, моделирование случайного процесса может быть сведено к моделированию случайного вектора с составляющими. В рассматриваемом случае моделирования для случайного вектора известна корреляционная матрица, элементы которой равны .

2.1.1. МЕТОД ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Этот метод используется для моделирования отсчетов случайного процесса с заданной корреляционной функцией в дискретные, заранее известные моменты времени, не обязательно равноотстоящие.

Идея метода заключается в линейном преобразовании некоррелированного вектора в коррелированный вектор . Некоррелированный вектор имитируется с помощью датчиков случайных чисел:

Вектор , представляющий моделируемый случайный процесс, формируется из с помощью линейного преобразования  умножения на матрицу :

,

(2.3)

где  квадратная матрица преобразования.

Очевидно, что элементы матрицы должны быть определены по заданным .

Хотя большинство используемых методов моделирования процессов с заданными корреляционными свойствами используют линейные преобразования, название “метод линейного преобразования” в литературе закрепилось за рассматриваемым методом.

Пусть используется датчик случайных чисел, обеспечивающий математическое ожидание , равное нулю, и дисперсию , равную единице, т.е.

.

(2.4)

Кроме того, из-за независимости случайных величин, генерируемых датчиком случайных чисел, выполняется условие некоррелированности для составляющих вектора :

(2.5)

Условия (2.4) и (2.5) легко реализуются.

Матрица по заданной может быть определена различными способами. Наиболее простым является следующий.

Решение задачи нахождения матрицы становится единственным и наиболее простым, если считать матрицу нижней треугольной:

.

(2.6)

В этом случае компоненты векторов и в соответствии с (2.3) связаны следующим образом:

.

В соответствии с этим можно выразить корреляционные моменты отсчетов случайного процесса через элементы с учетом (2.4) и (2.5).

Определим, например, следующие коэффициенты корреляции:

и так далее.

Из этих уравнений легко определяются коэффициенты матрицы по заданным :

	(2.7)
	(2.8)
	(2.9)
	(2.10)

После определения вычисление элементов матрицы осуществляется по строкам (2.6). Сначала по (2.8) находится первый элемент очередной строки, затем по (2.9) определяются все элементы этой строки, кроме последнего ненулевого, и затем вычисляется последний ненулевой элемент в каждой очередной строке по (2.10). Таким образом, вычисление элементов матрицы может быть легко осуществлено в соответствии с формулами (2.7)(2.10).Моделирование осуществляется по (2.3).

Необходимо отметить, что в требования к датчику случайных чисел (2.4) и (2.5) не включено требование к закону распределения. Закон распределения в соответствии с этим может быть произвольным; обычно используется равномерное распределение для датчиков случайных величин , при этом плотность вероятности моделируемого процесса не оговаривается. Если же моделируется нормальный случайный процесс, то и случайные величины также должны быть распределены по нормальному закону; в этом случае и будут подчиняться нормальному распределению, так как это распределение не видоизменяется при линейном преобразовании.

При моделировании стационарных процессов с заданными корреляционными свойствами метод линейного преобразования применять можно, но нецелесообразно, так как в этом случае рационально использовать эффективные, разработанные специально для этой ситуации методы.

Если моделируемый случайный процесс имеет ненулевое математическое ожидание, то необходимо использовать соотношение (2.2).

2.1.2. МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

В этом методе используется разложение случайного процесса в ряд:

(2.11)

где коэффициенты разложения; детерминированные функции, образующие систему функций.

Коэффициенты разложения  случайные величины, изменяющиеся от реализации к реализации. Для того чтобы при моделировании по (2.11) можно было бы использовать в качестве реализации независимых чисел, необходимо, чтобы были некоррелированными, т.е.

(2.12)

При этом целесообразно полагать, что

(2.13)

и, если необходимо моделировать случайный процесс с ненулевым средним, то можно воспользоваться соотношением (2.2).

Условию некоррелированности случайных коэффициентов в (2.11) нельзя удовлетворить при произвольном выборе системы функций . Оказывается, что некоррелированность обеспечивается при выборе в качестве системы всех функций, являющихся решениями интегрального уравнения

(2.14)

где  заданная корреляционная функция,  интервал моделирования случайного процесса,  собственные числа уравнения (2.14).

Функция , удовлетворявшая уравнению (2.14), называется собственной функцией этого интегрального уравнения.

Если положить, что

(2.15)

то функции , используемые в разложении (2.11), являются ортонормированными:

(2.16)

Таким образом, использование в качестве системы функций всех возможных решений интегрального уравнения (2.14) и случайных коэффициентов , удовлетворяющих условиям (2.12), (2.14) и (2.15), позволяет применять при моделировании датчики случайных величин и затем линейное преобразование, соответствующее каноническому разложению (2.11). Это является следствием известной теоремы Карунена-Лоева.

Основным достоинством метода канонических разложений является возможность моделирования случайного процесса для любого момента времени , а не для набора дискретных моментов времени, как при методе линейного преобразования. Это оказывается возможным, потому что случайный процесс моделируется как функция непрерывного времени в соответствии с (2.11).Однако метод канонических разложений применяется в описанном виде очень редко из-за присущих ему недостатков, заключающихся в следующем.

Во-первых, в соответствии с (2.11) необходимо использовать бесконечное число функций , случайных коэффициентов и бесконечное число арифметических операций, что не может быть реализовано при цифровом моделировании. Практически число членов ряда (2.11) при цифровом моделировании берется конечным и возникает методическая ошибка, которая тем меньше, чем больше число членов в используемом усеченном ряде (2.11).