Цифровое моделир. случайных процессов (лекции, ч.2).DOC (Лекции (ворд)), страница 8

Так как последовательность на входе формирующего фильтра и последовательность на выходе соответствуют стационарным случайным процессам, то сдвиг импульсной характеристики не изменит свойств моделируемого случайного процесса.

Вместо вычислений по формуле (2.61) при формировании случайного процесса будет использоваться соотношение , при этом в соответствии с (2.59), (2.63)

(2.64)

Метод вычисления коэффициентов цифрового формирующего нерекурсивного фильтра как коэффициентов ряда Фурье (2.64) более прост, чем метод определения коэффициентов путем решения системы нелинейных уравнений, который рассмотрен в предыдущем разделе.

Этот метод обладает методической (алгоритмической) погрешностью из-за использования преобразований (2.54) и (2.62). Эта методическая погрешность может быть уменьшена при уменьшении шага дискретизации .

Пример 2.4

П остроим формирующий нерекурсивный фильтр для моделирования случайного процесса со спектральной плотностью мощности (рис. 2.17):

где .

В соответствии с (2.64) определяем импульсную характеристику и коэффициенты формирующего нерекурсивного фильтра:

Пример такой импульсной характеристики представлен на рис. 2.18.

СИНТЕЗ НЕРЕКУРСИВНЫХ ФОРМИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ ФАКТОРИЗАЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ

На практике часто заданная спектральная плотность мощности случайного процесса представлена дробнорациональной функцией

(2.65)

где многочлены переменной .

Случайные процессы с дробнорациональной относительно спектральной плотностью мощности (2.65) в соответствии с (2.42) формируются из белого шума линейным устройством с дробнорациональной передаточной функцией

(2.66)

где  многочлены переменной .

Передаточную функцию (2.66) в виде дробнорациональной функции имеют устройства на элементах с сосредоточенными параметрами [3], что и обеспечивает частое использование спектральной плотности мощности (2.65) при анализе.

Оказывается, что по дробнорациональной спектральной плотности мощности возможно определение реализуемого формирующего фильтра. Если же заданная спектральная плотность мощности является дробнорациональной функцией, то, как будет ясно из дальнейшего, по такой функции могут быть определены и амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики формирующего фильтра так, что этот фильтр будет реализуемым.

Конечно, если формирующий фильтр при моделировании задан, то нет надобности определять его по . Обычно задается только спектральная плотность мощности (или корреляционная функция) случайного процесса и необходимо определение для осуществления моделирования с помощью формирующего фильтра.

Передаточная функция и спектральная плотность мощности связаны [3], так же как и (2.42):

(2.67)

где постоянная спектральная плотность мощности белого шума на входе формирующего фильтра (см. рис. 2.2).

На основе (2.67) получение передаточной функции из возможно, если удается факторизовать , т.е. представить её в виде сомножителей:

(2.68)

Покажем, что факторизация в виде (2.68) возможна, хотя и не является однозначной.

Дробно-рациональная передаточная функция может быть представлена своими нулями и полюсами:

(2.69)

где - нули передаточной функции (нули многочлена ), полюсы передаточной функции (нули многочлена ), константа.

В соответствии с (2.69) из (2.67) следует, что

(2.70)

Таким образом, заданная спектральная плотность мощности может быть записана как

(2.71)

где нули , являющиеся нулями многочлена (2.65), полюсы , являющиеся нулями (2.65), .

Число нулей в (2.71) в два раза больше числа нулей в (2.69), причем одному нулю в соответствуют, если сравнить (2.70) и (2.71), два нуля в :

(2.72)

Так как у и отличаются знаком мнимые части, то и у нулей спектральной плотности со значениями и (2.72) отличаются знаком мнимые части.

Точно так же число полюсов в (2.71) в два раза больше числа полюсов в , и при этом одному полюсу в (2.69) соответствуют два полюса в (2.71), имеющих значения

(2.73)

с отличающимся знаком мнимыми частями.

Таким образом, факторизация (2.68) возможна, если удается в каждой из пар нулей и полюсов с отличающимся знаком мнимыми частями один нуль отнести к , а второй  к .

Такое определение нулей для по нулям однозначно не является возможным, так как нет критерия, по которому из каждой пары нулей ( или ) один можно отнести к искомой передаточной функции. Обозначим тот нуль, который из каждой пары произвольно выбран в качестве нуля как . Для части нулей случайно окажется, что , а для другой части нулей окажется, что , число нулей , совпавших с .

Определение же полюсов по полюсам возможно однозначно, так как полюсы должны иметь отрицательную действительную часть по условию устойчивости линейной цепи [3]. В соответствии с этим из каждой пары полюсов с отличающимся знаком мнимыми частями необходимо выбрать полюс с положительной мнимой частью, соответствующей отрицательной действительной части . Пользуясь этим правилом, можно однозначно определить полюса передаточной функции формирующего фильтра по полюсам дробнорациональной спектральной плотности мощности.

Определив таким образом нули (неоднозначно) и полюсы (однозначно) передаточной функции , можно в соответствии с (2.69) записать передаточную функцию формирующего фильтра , отличающуюся от лишь конечным количеством нулей с обратными по знаку действительными частями:

(2.74)

где определяется по (2.71) как

(2.75)

Оценим, как влияет на свойства формирующего фильтра замена части нулей в на нули с противоположной по знаку действительной частью по сравнению . С учетом (2.74) можно выразить через (2.69) как

(2.76)

где .

Так как , то и отличаются только фазочастотными характеристиками, а их амплитудно-частотные характеристики совпадают, т.е. .

Этого условия достаточно, как видно из (2.69), для формирования из белого шума случайного процесса с заданной спектральной плотностью мощности .

Полученный формирующий фильтр (2.74) реализуем, так как его передаточная функция является дробнорациональной функцией переменной .

Таким образом, определение передаточной функции реализуемого формирующего фильтра по дробнорациональной спектральной плотности мощности может быть осуществлено следующим образом.

1. Определяются все нули и полюсы заданной спектральной плотности мощности . Если задана корреляционная функция , то спектральная плотность мощности предварительно определяется по (2.22).

2. Все нули и полюсы сортируются по парам так, чтобы в каждой паре оказались нули или полюсы с противоположными по знаку мнимыми частями. Если соответствует нуль или полюс с нулевой мнимой частью, то он должен быть объединен в пару с нулем или полюсом с нулевой мнимой частью и совпадающими действительными частями, что, как нетрудно удостовериться, всегда осуществимо.

3. Из каждой пары нулей выбирается произвольно один нуль, и после умножения на (2.72) он считается нулем формирующего фильтра.

Из каждой пары полюсов выбирается один с положительной мнимой частью, умножается на (2.73) и принимается за полюс формирующего фильтра.

4. Составляется передаточная функция формирующего фильтра

	(2.77)
	(2.78)

После определения передаточной функции аналогового формирующего фильтра по (2.77) нерекурсивный формирующий фильтр для моделирования по схеме, представленной на рис. 2.3, может быть получен, как это было сделано в предыдущем разделе. Однако операция (2.63) сдвига импульсной характеристики для обеспечения реализуемости теперь не нужна, так как синтезированный аналоговый формирующий фильтр является реализуемым.

Импульсная характеристика фильтра с передаточной функцией (2.77) может быть записана как (в случае простых полюсов) [3]

(2.79)

где .

Поскольку импульсная характеристика (2.79) соответствует аналоговому формирующему фильтру, точно обеспечивающему заданную спектральную плотность мощности и корреляционную функцию, то при построении цифрового нерекурсивного формирующего фильтра целесообразно использовать метод инвариантности импульсной характеристики. Это обеспечит близость корреляционной функции моделируемого процесса (см. рис. 2.3) к заданной корреляционной функции в дискретные моменты времени в соответствии с (2.41).

Метод инвариантности импульсной характеристики соответствует [5] условию

(2.80)

где импульсная характеристика цифрового фильтра.