Цифровое моделир. случайных процессов (лекции, ч.2).DOC (Лекции (ворд)), страница 6

При цифровом моделировании схеме формирования процесса (рис. 2.2) соответствует схема (рис. 2.3) формирования отсчетов процесса из дискретного белого шума . Эта схема представляет интерес по многим причинам.

В
о-первых, белый шум легко может быть сформирован с помощью датчиков случайных чисел, так как они генерируют статистически независимые величины.

Во-вторых, формирование отсчетов (рис. 2.3) происходит в соответствии с алгоритмами работы цифровых фильтров в каждый такт моделирования в ответ на очередное входное воздействие , при этом нет необходимости хранения всех случайных величин для всего интервала моделирования, как это требуется при использовании методов линейного преобразования, канонических и неканонических разложений.

В-третьих, интервал моделирования случайного процесса по схеме рис. 2.3 ничем не ограничен. В ответ на каждое очередное появление отсчета на входе цифровой фильтр вычисляет реакцию в виде отсчета моделируемого случайного процесса.

В-четвертых, если известен формирующий фильтр (рис. 2.2), то формирующий цифровой фильтр может быть получен по известными методами моделирования линейных узлов [1], [5].

Однако при разработке цифрового формирующего фильтра (рис. 2.3) необходимо решить следующий круг вопросов.

Если аналоговый формирующий фильтр (рис. 2.2) неизвестен, он должен быть определен по заданной корреляционной функции или спектральной плотности мощности. Возможен также синтез цифрового формирующего фильтра непосредственно по или без нахождения аналогового формирующего фильтра.

При разработке цифрового формирующего фильтра должен быть также решен вопрос о методической погрешности, возникающей из-за замены случайного процесса как функции непрерывного времени на решетчатую случайную функцию . Известно, что при дискретизации возможно возникновение ошибки. Известно также, что при разработке цифровой модели в виде цифрового фильтра по аналоговому формирующему фильтру не все характеристики и параметры аналогового и цифрового фильтра совпадают, а при использовании некоторых методов не гарантируется совпадение ни одной из характеристик. Так же и характеристики процессов и могут не совпадать, например, при совпадении в дискретные моменты времени корреляционных функций, спектральные плотности мощности процессов и могут быть не равны.

Цифровые фильтры, используемые для формирования случайного процесса (рис. 2.3), могут быть как рекурсивными, так и нерекурсивными. Для нерекурсивного фильтра вычисление текущего значения производится по формуле

(2.35)

где коэффициенты цифрового фильтра, порядок цифрового фильтра.

В соответствии с этой формулой метод формирующего фильтра в литературе обычно называют методом скользящего суммирования, имея в виду то, что вычисляется как взвешенная сумма входных отсчетов в скользящем, т.е. сдвигающемся окне, соответствующем отсчетам .

Для рекурсивных фильтров вычисление производится по формуле

(2.36)

где коэффициенты цифрового фильтра, обычно выполняется условие , где  порядок фильтра.

Корреляционная функция и спектральная плотность мощности случайного процесса, моделируемого по (2.35) или (2.36), определяются коэффициентами или и , а расчет формирующего фильтра сводится к определению этих коэффициентов по заданным корреляционной функции и спектральной плотности мощности.

На рис. 2.4 приведена схема вычислений для цифрового формирующего нерекурсивного фильтра. На рис. 2.5 приведена схема вычислений для цифрового формирующего рекурсивного фильтра. Для нерекурсивных фильтров практически всегда применяется схема, приведенная на рис. 2.4. Схема же, приведенная на рис. 2.5,  лишь одна из возможных применяемых схем, соответствующих (2.36).

Цифровые фильтры (2.35) и (2.36) принято описывать с помощью передаточных функций. Для нерекурсивного фильтра (2.35) (рис. 2.4) передаточная функция равна:

(2.37)

рекурсивный фильтр (2.36) (рис. 2.5) имеет передаточную функцию:

(2.38)

Цифровые фильтры часто характеризуются импульсной характеристикой , представляющей реакцию фильтра на единичную импульсную функцию :

Для нерекурсивного фильтра (2.35), (2.37) импульсная характеристика равна:

Эта функция является финитной, т.е. имеет конечную длительность.

Импульсная характеристика рекурсивного фильтра, как правило, имеет бесконечную длительность.

Реакция фильтра на входное воздействие может быть выражена через импульсную характеристику как

(2.39)

Корреляционная функция случайного процесса на выходе цифрового формирующего фильтра может быть легко определена по известным характеристикам фильтра. Пусть на входе цифрового фильтра действует дискретный белый шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , т.е.

(2.40)

Тогда корреляционная функция процесса на выходе формирующего фильтра дана с учетом (2.39) и (2.40):

(2.41)

где знак вычисления корреляционной функции.

Таким образом, корреляционная функция случайного процесса (модели) с точностью до множителя (дисперсия дискретного белого шума на входе формирующего фильтра) есть корреляционная функция импульсной характеристики формирующего фильтра.

Если импульсная характеристика формирующего фильтра конечна (нерекурсивный фильтр), то и корреляционная функция сформированного случайного процесса будет иметь конечную длительность. Если же импульсная характеристика формирующего фильтра бесконечно протяженная (рекурсивный фильтр), то и корреляционная функция сформированного случайного процесса будет иметь неограниченную длительность.

Определим, как зависит спектральная плотность мощности процесса на выходе формирующего фильтра от характеристик фильтра.

Спектральная плотность мощности стационарного процесса на выходе линейного устройства равна [3]:

(2.42)

где спектральная плотность мощности на входе фильтра (см. рис. 2.3), передаточная функция фильтра.

Спектральная плотность мощности равна постоянной величине в диапазоне частот от до ( частота дискретизации), так как белый импульсный шум. Дисперсия белого шума связана со спектральной плотностью мощности как [3]

(2.43)

где шаг дискретизации.

Таким образом, спектральная плотность мощности процесса на входе формирующего фильтра равна

(2.44)

где дисперсия датчика случайных чисел, используемых для формирования отсчетов дискретного белого шума .

Передаточная функция цифрового формирующего фильтра выражается через передаточную функцию как [3,5] .

Таким образом, спектральная плотность мощности процесса на выходе формирующего фильтра есть

(2.45)

При моделировании на этапе подготовки необходимо решить задачу синтеза, когда по заданным статистическим характеристикам (корреляционной функции и спектральной плотности мощности) необходимо определить цифровой фильтр.

Плотность вероятности дискретного белого шума на входе формирующего фильтра может быть любой, если для моделируемого случайного процесса плотность вероятности не задана. При моделировании нормального случайного процесса необходимо для имитации дискретного белого шума, как это обсуждалось выше, использовать датчик случайных чисел с нормальным распределением.

Для иллюстрации применения формул анализа, приведенных в этом разделе, рассмотрим примеры.

Пример 2.1.

Определим корреляционную функцию, если в схеме на рис. 2.3 формирующий фильтр является нерекурсивным с передаточной функцией

(2.46)

Схема вычислений для этого фильтра представлена на рис. 2.6, импульсная характеристика фильтра равна

и представлена на рис. 2.7. В соответствии с (2.41) легко определяются корреляционная функция процесса

(2.47)

представленная на рис. 2.8.

Определим также спектральную плотность мощности процесса , формируемого с помощью фильтра (см. рис. 2.6). Для этого воспользуемся выражением (2.42) с учетом (2.45), (2.46):

(2.48)

Спектральная плотность мощности представлена на рис. 2.9.