Цифровое моделир. случайных процессов (лекции, ч.2).DOC (Лекции (ворд)), страница 2

Рассмотрим подробности реализации метода Неймана для случая , т.е. когда моделируются лишь два отсчета случайного процесса . На рис. 1.4 представлена совместная плотность вероятности в виде пирамиды ABCD. Область определения по оси есть , по оси область определения есть . Максимальное значение (высота пирамиды) равно .

На первом шаге определяется случайная точка , которая с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке прямоугольника со сторонами и , расположенного в плоскости . Этот шаг можно выполнить с помощью датчиков независимых равномерно распределенных случайных величин и с распределениями, равными:

где  равномерная плотность вероятности на интервале :

. Случайные равномерно распределенные величины легко могут быть сформированы из случайных величин со стандартным законом распределения , т.е. равномерно распределенных на интервале .

Датчики случайных чисел с таким законом распределения обычно включены в состав математического обеспечения современных компьютеров. Величины и формируются из по следующим формулам:

,

где номер реализации случайной величины и независимые случайные величины с распределением .

На втором шаге производится отбор точки с помощью моделирования события с вероятностью, пропорциональной . Для этого генерируется случайное число , представляющее реализацию случайной величины , равномерно распределенной на интервале :

п
ричем формируется с помощью соотношения где  реализация случайной величины , равномерно распределенной на интервале .

Точка принимается в качестве реализации случайного процесса с многомерной плотностью вероятности , если , и “забраковывается”, если . Таким образом:

номер реализации случайного процесса.

Если же , то происходит переход к первому шагу, при этом индекс увеличивается на 1 .

Числа , являющиеся реализациями случайных независимых величин с распределением , на практике могут генерироваться одним датчиком случайных чисел.

Докажем, что реализация есть реализация случайного процесса с заданной совместной плотностью вероятности .

Пусть  реализация случайного процесса, характеризующаяся совместной плотностью вероятности и функцией распределения

.

Определим в соответствии с правилом отбора (1.7), а значит, и , и сравним их с заданными .

Функция распределения есть вероятность того, что отсчёты и одновременно меньше, чем и соответственно. Эта вероятность в соответствии с (1.7) является условной совместной вероятностью:

Знаменатель этого выражения есть вероятность того, что точка окажется под кривой . Эта точка с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке параллелепипеда AEFBGHIJD (рис. 1.4), в который вписана объемная фигура (призма ABCD), представляющая заданную плотность . Так как объем пирамиды равен единице (1.1), а объем параллелепипеда равен , то

Ч
ислитель определяется также, только вместо объема под поверхностью здесь должна быть взята лишь часть объема, ограниченная плоскостями, соответствующими и , т.е.

Таким образом, в соответствии с (1.8)

что и требовалось доказать.

Это доказательство легко распространяется на случай произвольного числа отсчётов , т.е. метод Неймана обеспечивает моделирование случайного процесса с заданной совместной плотностью вероятности.

Достоинством метода Неймана является простота реализации, отсутствие предварительных расчетов и простота программирования. Наибольшая сложность при программировании  вычисление заданной совместной плотности вероятности в случайной точке .

Наряду с достоинством метод Неймана обладает также существенным недостатком  многие обращения к датчикам случайных чисел и дальнейшие вычисления, в том числе и осуществляются как бы без результата, если нарушено условие (1.7). Конечно, отбор, соответствующий этому условию, производится не “в холостую”, а определяет заданную совместную плотность вероятности. Из-за этого количество обращений к датчикам и вычислений (1.7) может оказаться намного меньшим числа генерируемых с помощью метода Неймана реализаций случайного процесса. Эффективность метода Неймана может характеризоваться коэффициентом отбора , показывающим, сколько в среднем обращений к датчикам и дальнейших вычислений приходится на одну генерируемую реализацию случайного процесса. Коэффициент отбора обратно пропорционален вероятности того, что условие выполняется, т.е., в соответствии с (1.9) .

При увеличении величина , как правило, возрастает, что является существенным недостатком метода Неймана, так как приводит к возрастанию машинного времени.

1.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Во многих радиотехнических приложениях случайные процессы описываются как марковские случайные процессы. Моделирование марковских процессов легко осуществляется на основе метода условных распределений (см. разд. 1.1). Рассмотрим моделирование марковских процессов на примере марковских процессов первого порядка.

Для марковского процесса первого порядка условные вероятности для каждого значения процесса в момент времени зависят, как это следует из формального определения, лишь от значения отсчета процесса в предыдущий момент времени , т.е. в отличие от (1.5):

Э
та условная вероятность называется вероятностью перехода, обычно она задается при моделировании.

Таким образом, в отличие от общего случая применения метода условных распределений для расчета условных плотностей вероятностей при подготовительной работе не требуется. Кроме того, вероятность перехода, представляющая условную плотность вероятности, для каждого такта моделирования зависит, в случае марковского процесса первого порядка, лишь от одного значения процесса в предыдущий такт времени , что упрощает моделирование и программирование.

При моделировании марковского процесса задается также плотность вероятности (1.4) начального значения процесса в момент времени .

Многомерная плотность вероятности, характеризующая марковский процесс, записывается как

.

Таким образом, моделирование марковского процесса может происходить по схеме, показанной на рис. 1.5, где в отличие от схемы рис. 1.3, соответствующей общему случаю, уменьшается количество связей.

Моделирование марковских процессов, имеющих более высокий порядок, принципиально не отличается от моделирования марковских процессов первого порядка; для марковских процессов го порядка вероятность перехода зависит от предыдущих значений процесса, .

Моделирование стационарных марковских процессов упрощается, так как вероятности перехода в этом случае не зависят от момента времени (при ). В этом случае существенно уменьшение требуемой памяти при моделировании.

Стационарный марковский процесс с нормальной вероятностью перехода является нормальным процессом с дробнорациональной спектральной плотностью мощности. Поэтому для моделирования марковских процессов могут быть использованы методы моделирования нормальных процессов, так же, как для моделирования нормального процесса можно использовать метод условных распределений.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЗАДАННЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

На практике часто возникает необходимость моделирования случайных процессов с известными, т.е. заданными, корреляционными свойствами, при этом другие статистические характеристики процесса не заданы. Так, например, может быть неизвестна такая важная характеристика случайного процесса, как одномерная плотность вероятности. Неизвестны при этом совместные плотности вероятности отсчетов случайного процесса, моменты более высокого порядка, чем второй, и другие характеристики. Такая ситуация распространена по следующим причинам:

1. Если моделируется нормальный (гауссов) случайный процесс, то для его описания, как известно, достаточно знать корреляционную функцию. Так как в приложениях нормальные случайные процессы используются чаще, чем какиелибо другие случайные процессы, то методы моделирования случайных процессов по заданным корреляционным функциям находят очень широкое применение.