Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 10

Докажите, что треугольники СРА и АРВ равнобедренные (рис. 88). 36' В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Ч'очка их пересечения обозначена Р. Найдите угол АРВ, А Р если: 1) ~А = 50', ~В = 100'; 2) ~А = = а, ~В = 6; 3) ~С = 130', 4) ~С =?. Чему равны углы равностороннего треугольника? Под каким углом пересекаются биссект- С рисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых? Рвс.

88 20 22 24 26 27 28 29 30 31 70'. Найдите углы треугольника. 33. Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120' и 150'. Два внешних угла треугольника равны 100' и 150'. Найдите третий внешний угол. В треугольнике АВС проведена высота СР. Какая из трех то- чек А, В, Р лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острые? 35. 53 треуголвника Пункт 34 32. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 36.

В треугольнике АВС проведена высота Р СР. Какая из трех точек А, В, Р лежит между двумя другими, если угол А тупой7 Обоснуйте ответ. 37. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. 38. Сумма внешних углов треугольника АВС при вершинах А и В, взятых по одному для каждой вершины, равна 240'. Чему Рис. ев равен угол С треугольникау 39. Дан треугольник АВС.

На продолжении стороны АС отложены отрезки АР = АВ и СЕ = СВ (рис. 89). Как найти углы треугольника РВЕ, зная углы треугольника АВС7 40. У треугольника один из внутренних углов равен 30', а один из внешних — 40'. Найдите остальные внутренние углы треугольника. Пункт 35 41. Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высо- та ВР. Найдите угол СВР, зная, что: 1) л'.А =20', 2) с'.А= = 65', 3) с'.А = а. 42. Из вершины тупого угла В треугольника АВС проведена высо- та ВР. Найдите углы треугольников АВР и СВР, зная, что с'А = а, с'.В = 6. 43.

Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30' ка- тет, противолежащий етому углу, равен половине гипотенузы. 44. Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника 45. В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана АР. Найдите углы треугольника АВР. 46. Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пе- ресекаются в точке М. Найдите с'.АМС, если с'А = 70', ~С = 80'. 47. В треугольнике АВС медиана ВР равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника. Пункт 36 48. Прямая а пересекает отрезок ВС в середине. Докажите, что точ ки В и С находятся на одинаковом расстоянии от прямой а. 49.

Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от то чек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС. б0. Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до па- раллельной прямой равны. 51. Докажите, что расстояния от вершин равностороннего тре- угольника до прямых, содержащих противолежащие нм стороны, равны. 5л1 г класс Геометрические построения 38. Окружность Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности.

Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точ- Р 9О ку окружности с ее центром (рис. 90). Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. На рисунке 91 ВС— хорда, АЮ вЂ” диаметр. А Задача (3).

Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде. Решение. Пусть А — хорда окружности и С вЂ” ее середина (рис. 92). Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. У него стороны ОА и ОВ равны как радиусы окружности.

По свойству медианы равнобедренного А треугольника, проведенной к основанию, отрезок ОС является высотой. Поэтому диаметр окружности, проведенный через середину хорды, перпендикулярен хорде. Рис. 92 39. Окружность, описанная около треугольника Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон. 55 оостроеиия Рис. 93 Рис. 94 40. Касательная к окружности Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания. На рисунке 9б прямая а проведена через точку окружности А перпендикулярно к радиусу ОА. Прямая а является касательной к окружности. Точка А является точкой касания.

Можно сказать также, что окружность касается прямой а в точке А. Рис. 95 56 7 класс Доказательство. Пусть АВС вЂ” данный треугольник и О— центр описанной около него окружности (рис. 93). Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны ОА н ОС равны как радиусы. Медиана ОР этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника.

Теорема доказана. Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Задача (6). Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются. Решение.

Пусть АВС вЂ” треугольник и а, Ь вЂ” серединные перпендикуляры к его сторонам АС и ВС (рис. 94). Допустим, прямые а и Ь не пересекаются, а значит, параллельны. Прямая АС перпендикулярна прямой а. Прямая ВС перпендикулярна прямой Ь, а значит, и прямой а, так как прямые а и Ь параллельны.

Таким образом, обе прямые АС и ВС перпендикулярны прямой а, а значит, параллельны. Но это неверно. Прямые АС и ВС пересекаются в точке С. Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано. Задача (8). Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. Решение. Пусть а — касательная к окружности в точке А (рис. 96). Допустим, касательная и окружность имеют, кроме точки А, общую точку В, отличную от А. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ.

У него боковые стороны ОА и ОВ— радиусы окружности. Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а угол при вершине А прямой, то у этого треугольника два прямых угла. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано. Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 97). Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной б) (рис. 97, а). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 97, б).

В А Центр окружности, вписанной в треугольник, явля- ется точкой пересечения его биссектрис. Доказательство. Пусть АВС вЂ” данный треугольник, О— центр вписанной в него окружности, Р, Е и Р— точки касания окружности со сторонами (рис. 98). Прямоугольные треугольники АОВ и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты ОВ и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов ОАЮ и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А.

Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана. А В Рис. 98 57 Геометрические построения 41. Окружность, вписанная в треугольник Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Рис. 97 Теорема 42. Что такое задачи на построение В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль.

Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как зто сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами. С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления. Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса.

В частности, циркулем можно отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки. Рассмотрим простейшие задачи на построение. а) б) А Рие. 99 а, Ь, с. 58 т класс 43. Построение треугольника с данными сторонами Задача 5.1. Построить треугольник с данными сторонами а, Ь, с (рис. 99, а). Решение. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку В (рис. 99, б). Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С вЂ” точка ее пересечения с прямой. Теперь раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным Ь, описываем окружность из центра С. Пусть А' — точка пересечения этих окружностей.