Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 11

Проведем отрезки АВ и АС. Треугольник АВС имеет стороны, равные 44. Построение угла, равного данному Задача 5.2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу. Решение. Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла (рис. 100, а). Пусть В и С вЂ” точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке Π— начальной точке данной полупрямой (рис. 100, б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В,. Опишем окружность с центром В~ и радиусом ВС.

Точка С, пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники АВС и ОВ1С, равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы А и О являются соответствующими углами этих треугольников. 45. Построение биссектрисы угла Задача 5.3.

Построить биссектрису данного угла. Решение. Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 101). Пусть В и С вЂ” точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть Р— точка их пересечения, отличная от А. Проводим полупрямую АР. Луч АР является биссектрисой, так как делит угол ВАС пополам. Это следует из равенства треугольников АВР и АСР, у которых углы РАВ и РАС являются соответствующими.

46. Деление отрезка пополам Задача б.4. Разделить отрезок пополам. Решение. Пусть А — данный отрезок (рис. 102). Из точек А и В радиусом АВ описываем окружности. Пусть С и С, — точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Отрезок СС, пересекает прямую а) А 6) Рис. 100 Ри Рис. 102 С, 59 Геометрические построения 47. Построение перпендикулярной пРямой Задача 5.5. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.

Решение. Возможны два случая: 1) точка О лежит на прямой а; 2) точка О не лежит на прямой а. Рассмотрим первый случай (рис. 103). Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках: А и В. Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С вЂ” точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки О и С. Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО.

Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. Рассмотрим второй случай (рис. 104). Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую а. Пусть А и  — точки ее пересечения с прямой а. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О, — точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О.

Искомая прямая проходит через точки О и О,. Докажем это. Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ООР Треугольники АОВ и АО,В равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу 01АС. А тогда треугольники ОАС и 01АС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО, равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС вЂ” перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а. Рис. 103 Рис. 104 60 7 сласс АВ в некоторой точке О.

Эта точка есть середина отрезка АВ. Действительно, треугольники САС, и СВС1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов АСО и ВСО. Треугольники АСО и ВСО равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны АО и ВО этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны.

Таким образом, Π— середина отрезка АВ. 48. Геометрическое место точек Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. Например, окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. Важное геометрическое место точек дает следующая теорема: Теорема Доказательство. Пусть А и  — данные точки, а — прямая, проходящая через середину О отрезка АВ перпендикулярно к нему (рис.

10б). Докажем, что: 1) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; 2) каждая точка Р плоскости, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой а. То, что каждая точка С прямой а находится на одинаковом расстоянии от точек А и В, следует из равенства треугольников АОС и ВОС. У этих треугольников углы при вершине О прямые, сторона ОС общая, а АО = ОВ, так как Π— середина отрезка АВ. Покажем теперь, что каждая точка Р плоскости, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой а.

Рассмотрим треугольник АРВ. Он равнобедренный, так как АР = ВР. В нем РΠ— медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, то ща Р лежит на прямой а. Теорема доказана. Рвс. 105 49. Метод геометрических мест Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение, состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку Х, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигу- 67 Геометрические иостроеиим Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

ра Г„а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура Гз. Искомая точка Х принадлежит Р„и Р, т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку Х. Приведем пример. Задача (43). Даны три точки: А, В, С. Постройте точку Х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С. Решение. Искомая точка Х удовлетворяет двум ус- А ловиям: 1) она одинаково удалена от точек А и В; 2) она находится на данном расстоянии от точки С.

Рис. 106 Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину (рис. 106). Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С. Искомая точка Х лежит на пересечении этих геометрических мест. Контрольные вопросы 1. Что такое окружность, центр окружности, радиусу 2.

Что такое хорда окружностиу Какая хорда называется диаме- трому 3. Какая окружность называется описанной около треуголь- никау 4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 5. Какая прямая называется касательной к окружности2 6. Что значит: окружности касаются в данной точке7 7. Какое касание окружностей называется внешним, какое— внутренниму 8. Какая окружность называется вписанной в треугольнику 9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис. 10. Объясните, как построить треугольник по трем сторонам.

11. Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную по- луплоскость угол, равный данному углу. 12. Объясните, как разделить данный угол пополам. 13. Объясните, как разделить отрезок пополам. 14. Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой. 62 Г класс 15. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек? Задачи Пункт 38 Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках. Рис. 107 Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде.

Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 3. 1) Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними (рнс. 10?). 2) Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними. Пункт 40 Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объяс- ните ответ. Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней дру- гих общих точек, кроме точки касания. Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А? Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающи- еся окружности в концах хорды, равной радиусу. Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются.

Найдите рас- стояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего касаний. Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 2б см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см? 1) Точки А, В, С лежат на прямой, а точка Π— вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренны- ми с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ. 2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках? 1) Окружности с центрами О и О, пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1. 10. 12.

13. 14. О3 Геамесарииесиие аастраеиия Пункт 39 6. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются. 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. О — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.