Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 12

3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности (рис. 108). Докажите, что отрезки касательных МР и М9 равны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности. 16. Рис. 108 А 16. С А, В Рис. 109 Пункт 41 Одна окружность описана около равностороннего треугольни- ка, а другая вписана в него.

Докажите, что центры этих ок- ружностей совпадают. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сто- рон в точках А„В„С, (рис. 109). Докажите, что 17 18 АВ +АС-ВС 2 Пункт 43 Постройте треугольник 1)а=2см, Ь=Зсм, 2)а=Зсм,Ь=4см, 3)а=4см,Ь=бсм, по трем сторонам а, Ь и с: с = 4 см; с=бом; с = 6 см. 20. 22. Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник АВ.0.

Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. ~$5 геолатгичегкие построения ЗГео юрия,7-9 л 33. 34. 35. 36. 37. Пункт 44 Постройте треугольник АВС по следую- щим данным: 1) по двум сторонам и углу между ними: а) АВ = 5 см, АС = б см, ~А = 40', б) АВ = 3 см, ВС = 5 см, ~В = 70', 2) по стороне и прилежащим к ней уг- лам: а) АВ = 6 см, ~А = 30', ~В = 50'; б) АВ = 4 см, ~А = 45', ~В = 60'.

Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них: 1) а = 6 см, Ь = 4 см, а = 70", 2) а = 4 см, Ь = 6 см, 6 = 100'. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании. Пункт 45 Постройте окружность, вписанную в данный треугольник.

Разделите угол на четыре равные части. Постройте углы 60' и 30'. Пункт 46 Дан треугольник. Постройте его медианы. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведен- ной к одной из них. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведен- ной к третьей стороне (рис. 110). Пункт 47 Дан треугольник. Постройте его высоты. Постройте окружность, описанную около данного треуголь- ника. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и кате- ту. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной на основание. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них. 39.

Постройте треугольник по стороне и про веденным к ней медиане и высоте. 40. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности. Пункт 48 41. Докажите, что геометрическое место то- чек, удаленных от данной прямой на расстояние Ь, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на Ь. 42. На данной прямой найдите точку, кото- рая находится на данном расстоянии от другой данной прямой. Пункт 49 Даны три точки: А, В, С. Постройте точку Х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.

На данной прямой найдите точку, равно- удаленную от двух данных точек. Даны четыре точки: А, В, С, Ю. Найдите точку Х, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и В. 46. Постройте треугольник, если заданы сто рона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (рис. 111). 47. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон. 48. Постройте прямоугольный треугольник 49.

50. по катету и сумме другого катета и гипо- тенузы. 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом В проведена касательная (рис. 112). Докажите, что точка С каса- ния лежит на основании равнобедренно- го треугольника ОАВ, у которого ОА = = АВ, ОВ = 2В. 2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне ок- ружности. Проведите общую касательную к двум данным окружностям (рис.

113). о о (с Рнс. 114 В В Рис. 115 Рис. 116 67 Чстырсхрголлники 50. Определение четырехугольника Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих нх отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырехугольника. Задача (1). На рисунках 114 — 116 представлены три фигуры, каждая из которых состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Какая из этих фигур является четырехугольником7 Решение.

Четырехугольником является только фигура на рисунке 116, так как у фигуры на рисунке 114 точки А, В, С лежат на одной прямой, а у фигуры на рисунке 115 отрезки ВС и АЮ пересекаются. Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями. У четырехугольника на рисунке 117 диагоналями являются отрезки АС и ВВ. Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами. У четырехугольника на рисунке 117 противолежащими являются стороны АВ и СР, ВС и АЮ.

В Четырехугольник обозначается указанием его вершин. Например, четырехугольник на рисунке 117 обозначается так: АВСР. В обозначении четырехугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырехугольник АВСР на рисунке 117 можно также обозначить ВСРА или .РСВА. Но нельзя обозначить АВРС (В и Р— не соседние вершины).

Сумма длин всех сторон четырехугольника называется периметром. Рис. 117 В С 51. Параллелограмм Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 118). Теорема А Рис. 118 Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четы- рехугольник — параллелограмм.

Доказательство. Пусть АВСР— данный четырехугольник и Π— точка пересечения его диагоналей (рис. 119). Треугольники АОР и СОВ равны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОР = ОВ и ОА = ОС по условию теоремы. Значит, углы ОВС и ОРА равны, а они являются внутренними накрест лежащими для прямых АР и ВС и секущей ВР. По признаку параллельности прямых прямые АР и ВС параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и СР с помощью равенства треугольников АОВ и СОР. Так как противолежащие стороны четырехугольника параллельны, то по определению этот четырехугольник — параллелограмм.

Теорема доказана. Р .Рис. 119 68 а класс 52. Свойство диагоналей параллелограмма Теорема (обратная теореме 6.1) Доказательство. Пусть АВСР— данный параллелограмм (рис. 120). Проведем его диагональ ВР. Отметим на ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отрезок ОС„равный АО. По теореме 6.1 четырехугольник АВС,Р есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВС, параллельна АР. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную АР. Значит, прямая ВС1 совпадает с прямой ВС.

Точно так же доказывается, что прямая РС1 совпадает с прямой РС. Значит, точка С1 совпадает с точкой С. Параллелограмм АВСР совпадает с параллелограммом АВС,Р. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана. Задача (6). Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. Решение.

'Пусть АВСР— данный параллелограмм и ЕŠ— прямая, пересекающая параллельные стороны АР и ВС (рис. 121). Треугольники ОАЕ и ОСЕ равны по второму признаку. У них стороны ОА и ОС равны, так как Π— середина диагонали АС. Углы при вершине О равны как вертикальные, а углы ЕАО и ЕСО равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АР, ВС и секущей АС. Из равенства треугольников следует равенство сторон: ОЕ = ОР, что и требовалось доказать. С, С Рис. 120 Рис.

121 69 Чгнгыргхуголннини Диагонали параллелограмма пересекаются и точ- кой пересечения делятся пополам. 53. Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма Теорема У параллелограмма противолежащие стороны рав- ны, противолежащие углы равны. Доказательство. Пусть АВСР— данный параллелограмм (рис. 122). Проведем диагонали параллелограмма. Пусть Π— точка их пересечения. Равенство противолежащих сторон АВ и СР следует из равенства треугольников АОВ и СОР.

У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОА = ОС и ОВ = ОР по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников АОР и СОВ следует равенство другой пары противолежащих сторон — АР и ВС. Равенство противолежащих углов АВС и С.РА следует из равенства треугольников АВС и СРА (по трем сторонам). У них АВ = СР и ВС = РА по доказанному, а сторона АС общая. Точно так же равенство противолежащих углов ВСР и РАВ следует из равенства треугольников ВСР и РАВ. Теорема доказана полностью. Задача (18).

Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом. Решение. Пусть АВСР— данный четырехугольник, у которого стороны АВ и СР параллельны и равны (рис. 123). Проведем через вершину В прямую Ь, параллельную стороне АР. Эта прямая пересекает луч РС в некоторой точке С,. Четырехугольник АВС,Р есть параллелограмм. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то С,Р = АВ. А по условию АВ = СР. Значит, РС = РС,.