Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов))

А.В. ПОГОРЕЛОВ ГЕОМЕТРИЯ Учебник для классов общеобразовательных учреждений Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации з-е издание Москва е Просвещение э 2001 УДК 373.167.1:б14 ББК 22.151я72 П43 Погорелов А. В. П43 Геометрия: Учеб. для 7 — 9 кл. общеобразоват. учреждений/ А. В.

Погорелов. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2001. — 224 с.: ил. — 18В1ь1 5-09-010803-Х. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Учебное издание Позорелов Алексей Васильевич ГЕОМЕТРИЯ Учебник для 7 — 9 классов общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Т. А. Бурмистрсва, редакторы Т. А. Бурмистрова, Т. Ю. Акимова. художники Н. 10. Панкевич, Т. В.

Делягина, художественный редактор Е. Р. Дашук, компьютерная верстка Т. В. Васильковой, технический редактор С. Н. Терехова, корректоры Н. В. Бурдина, О. Н. Леонова, И. В. Чернова Отпечатано с диапозитивов, изготовленных издательством «Просвещение» Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000. Изд. лиц.

№ 010001 от 10.10.96. Подписано к печати с диапозитивов 28.06.01. Формат 70х90«4«. Бумага офсетная № 1. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 16,38 + 0,36 форе. Усл. кр.-отт. 34,58. Уч.-изд. л. 13,17 + 0,53 фора. Тираж 100 000 зкз. Заказ № 1258. Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Издательство «Просвещение» Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых кеммуникаций. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. ФГУП Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат детской литературы им.

50-летия СССР Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 170040, Тверь, проспект 50-летия Октября, 46. 18ВХ 5-09-010803-Х Одобрено бюро отделения математики АН СССР, президиумом АПН СССР Учебник занял призовое место на Всесоюзном конкурсе учебников по математике для средней общеобразовательной школы в 1988 г. © Издательство «Просвещение», 2000 О Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 2000 Все права защищены О с Основные свойства простейших геометрических фигур 1. Геометрические фигуры Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.

Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1). Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 2 фигура вверху состоит из треугольника и трех квадратов, а фигура внизу состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек. Геометрия широко применяется на практике. Ее надо знать и рабочему, и инженеру„ и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем. Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой по имени Евклида, создавшего руководство по математике под названием «Начала».

В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге. Мы начнем изучение геометрии с планиметрии. Плаииметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости. Рис. 1 Рис. 2 Основные свойстви оростейсив» ге»метро. чески» фигур 2. Точна и прямая Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А., В, С, Р, .... Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, Ь, с, с1, .... На рисунке 3 вы видите точку А и прямую а. Прямая бесконечна. На рисунке мы изображаем только часть прямой, но представляем ее себе неограниченно продолженной в обе стороны. Посмотрите на рисунок 4. Вы видите прямые а, Ь и точки А, В, С. Точки А и С лежат на прямой а.

Можно сказать также, что точки А и С принадлежат прямой а или что прямая а проходит через точки А и С. Точка В лежит на прямой Ь. Она не лежит на прямой а. Точка С лежит и на прямой а, и на прямой Ь. Прямые а и Ь пересекаются в точке С. Точка С является точкой пересечения прямых а и Ь. На рисунке 5 вы видите, как с помощью линейки строится прямая, проходящая через две заданные точки А и В.

Основными свойствами принадлежности точек и прямых на плоскости мы будем называть следующие свойства: Евклид — древне- греческий ученый (111 в. до н. з.) Рис. 3 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принад- лежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую а на рисунке 4 можно обозначить АС, а прямую Ь можно обозначить ВС. Задача (3)'. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ. Решение. Если бы две прямые имели две точки пересечения, то через эти точки проходили бы две Рис. 4 ' Число в скобках указывает номер задачи в списке задач, приве- денных в конце параграфа.

4 7 кзасс прямые. А это невозможно, так как через две точки можно провести только одну прямую. Значит, две прямые не могут иметь две точки пересечения. А 3. Отрезок Посмотрите на рисунок 6. Вы видите прямую а и три точки А, В, С на этой прямой. Точка В лежит между точками А и С, она разделяет точки А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А, они не разделяются точкой А. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки назы- Рис.

8 ваются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В. На рисунке 7 вы видите отрезок АВ. Он является частью прямой АВ. Эта часть прямой выделена коричневой линией. Точка Х прямой лежит между точками А и В, поэтому она принадлежит отрезку АВ. Точка У не лежит между точками А и В, поэтому она не принадлежит отрезку АВ. Рис. 7 Основным свойством расположения точек на прямой будем называть следующее свойство: П.

Из трех точек на прямой одна н толысо одна лежит между двумя друтими. 4. Измерение отрезков Для измерения отрезков применяются разные измерительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка с делениями на ней. На рисунке 8 отрезок АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, а отрезок ВС равен 4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. А С В Рис. 8 Основ«иге своиства иростеиших геолгетри. «ее«их Шигур Основными свойствами измерения отрезков мы будем называть следующие свойства: 111. Каждый отрезок имеет определенную длину, ббльшую нуля.

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и В. Задача (9). Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 4 3 см, АС = 7 5 см, ВС = 3 2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С7 Может ли точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Решение. Если точка А лежит между точками В и С, то по свойству измерения отрезков должно быть АВ + АС = ВС. Но 4,3 + 7,5 ~ 3,2. Значит, точка А не лежит между точками В и С. Если точка С лежит между точками А и В, то должно быть АС+ ВС = АВ. Но 7,5 + 3,2 й- 4,3. Значит, точка С не лежит между точками А и В.

Из трех точек А, В, С на прямой одна точка лежит между двумя другими. Значит, этой точкой является В. 5. Полуплоскости Посмотрите на рисунок 9. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую. На рисунке 9 точки А и В лежат в одной из полуплоскостей, на которые прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезок АВ не пересекает прямую а.

Точки С и Х) лежат в разных полуплоскостях. Поэтому отрезок СВ пересекает прямую а. Рвс. 9 7 киисс Основным свойством расположения точек относительно прямой на плоскости мы будем называть следующее свойство: 1У. Прямая разбивает плоскость на две полуплос- кости. Задача (17). Даны прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ.

Решение. Прямая разбивает плоскость на две полу- плоскости (рис. 10). Точка А принадлежит одной из них. Отрезок АС не пересекает прямую. Значит, точка С лежит в той же полуплоскости, что и точка А. Отрезок АВ пересекает прямую. Значит, точка В лежит в другой полуплоскости. Таким образом, точки В и С лежат в разных полуплоскостях. А это значит, что отрезок ВС пересекает нашу прямую. Рис. 10 6.

Полупрямая Задача (20). Даны прямая а и точки А, Х, У, Я на этой прямой (рис. 11), Известно, что точки Х и У лежат по одну сторону от точки А, точки Х и Я тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Я относительно точки А: по одну сторону или по разные стороны? Объясните ответ. Решение. Проведем через точку А какую-нибудь прямую Ь, отличную от а. Она разбивает плоскость на две полуплоскости.

Одной из них принадлежит точка Х. В той же полуплоскости лежат точки У и 2, потому что отрезки ХУ и ХЯ не пересекают прямую Ь. Так как точки У и Я лежат в одной полу- плоскости, то отрезок УЯ не пересекает прямую Ь, а значит, не содержит точку А. То есть точки У и Я лежат по одну сторону от точки А. Полупрямой, или лучом, называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки, Эта точка называется начальной точкой полу- Рис. 11 Основные свойства простейших геоггетричесниа фигур прямой.

Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными. Полупрямые, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Можно обозначать полупрямую двумя точками: начальной и еще какой-нибудь точкой, принадлежащей полу- прямой. При этом начальная точка ставится на первом месте. Например, полупрямую, которая выделена коричневой линией на рисунке 12, можно обозначить АВ. Задача (22). На отрезке АВ взята точна С. Среди полупрямых АВ, АС, СА и СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ.

Решение (рис. 13). Данные полупрямые имеют начальной точкой либо точку А, либо точку С. Рассмотрим сначала полупрямые с начальной точкой А (полупрямые АВ и АС). Точка С лежит между точками А и В, так как по условию задачи она принадлежит отрезку АВ. Значит, точка А не лежит между точками В и С, т.е. точки В и С лежат по одну сторону от точки А. Поэтому полу- прямые АВ и АС совпадающие. Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С (полупрямые СА и СВ).