Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 9

86). Опустим из точки А, перпендикуляр А,В, на прямую Ь. Отложим из точки В, на прямой Ь отрезок В,В, равный отрезку АА, так, чтобы точки А, и В были по разные стороны прямой АВ,.Тогда треугольники АВ,А, и В,АВ равны по первому признаку. У них сторона АВ1 общая, АА1 = ВВ, по построению, а углы В,АА, и АВ,В равны как внутренние накрест лежащие при параллельных а и д с секущей АВ,. Из равенства треугольников следует, что АВ есть перпендикуляр к прямой Ь и АВ = А,В,, что и требовалось доказать.

Как видим, расстояния от всех точек прямой до параллельной прямой равны. Поэтому говорят, что параллельные прямые равноотстоящие. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой. опыта. Утверждения оставшихся без доказательств свойств стали аксиомами. Таким образом, аксиомы имеют опытное происхождение. Геометрия в ранний период своего развития достигла особенно высокого уровня в Египте. В 1 тыс.

до н. э. геометрические сведения от египтян перешли к грекам. За период с УП по П1 в. до н. э. греческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными новыми теоремами, но сделали также серьезные шаги к строгому ее обоснованию. Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожена Евклидом (330— 27б гг.

до н.э.) в его знаменитом труде «Начала». Изложение геометрии в «Началах» Евклида построено на системе аксиом. Эта система аксиом отличается от системы аксиом, принятой в данном учебнике. Но в ней также есть аксиома параллельных. Аксиома параллельных в отличие от других аксиом не подкрепляется наглядными соображениями. Может быть, поэтому со времен Евклида математики многих стран пытались доказать ее как теорему. Но это никому не удавалось. Наконец, в Х1Х в. было доказано, что это невозможно сделать. Первым, кто обоснованно высказал это утверждение, был великий русский математик Николай Иванович Лобачевский. Н.

И. Лобачевский— русский математик (1792 — 18бб) Контрольные вопросы Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллель- ны. Объясните, какие углы называются внутренними односторон- ними. Какие углы называются внутренними накрест лежащи- ми? Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой па- ры тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каж- дой пары равна 180'.

Докажите признак параллельности прямых. Объясните, какие углы называются соответственными. Дока- жите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежа- щую на этой прямой? 50 7 класс 7. Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180'. 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, парад лельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180'. 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые. 11. Что такое внешний угол треугольннка7 12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. 13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого вну- треннего угла, не смежного с ним.

14. Какой треугольник называется прямоугольным7 15. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника7 16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипо- тенузой7 Какие стороны называются катетами7 17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один. 19. Что называется расстоянием от точки до прямой7 20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми. Задачи Пункт 29 Докажите,что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая тре- тья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых. Дано: а !! Ь у с!! сь. Докажите, что а !! е1. Прямые АВ и СР параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую АР, то точка пересечения принадлежит отрезку АР (см. рис.

70). 3. 4. Пункт 30 5. Дан треугольник АВС. На стороне АВ от мечена точка В,, а на стороне АС вЂ” точка С, (рис. 87). Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы прн прямых АВ, АС и секущей В,С,. Рвс. 87 5 1 Сумма углов треугольника Назовите внутренние накрест лежащие и внутренние односто- ронние углы на рисунке 72.

Отрезки АХ) и ВС пересекаются. Для прямых АС и ВХ> и секу- щей ВС назовите пару внутренних накрест лежащих углов. Для тех же прямых и секущей АВ назовите пару внутренних односторонних углов. Объясните ответ. Пункт 31 8. Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. До кажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ. 9. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих уг- лов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых. Отрезки АВ и С.0 пересекаются в точке Е и делятся этой точ 10 кой пополам. Докажите, что прямые АС и ВХ) параллельны.

11. Треугольники АВС и ВАХ) равны. Точки С и Х) лежат по раз ные стороны от прямой АВ. Докажите, что прямые АС и ВХ) параллельны. Пункт 32 Угол АВС равен 80', а угол ВСХ) равен 120'. Могут ли прямые АВ и СХ) быть парэллельными7 Обоснуйте ответ. Прямые АС и ВХ) параллельны, причем точки А и Р лежат по разные стороны от секущей ВС (рис. 77). Докажите, что: 1) уг- лы ВВС и АСВ внутренние накрест лежащие относительно се- кущей ВС; 2) луч ВС проходит между сторонами угла АВХ); 3) углы САВ и Х)ВА внутренние односторонние относительно секущей АВ. 1) Разность двух внутренних односторонних углов при двух па- раллельных прямых и секущей равна 30'.

Найдите эти углы. 2) Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна 150'. Чему равны эти углы7 Один из углов, которые получаются при пересечении двух па- раллельных прямых секущей, равен 72'. Найдите остальные семь углов. Один из углов, которые получаются при пересечении двух па- раллельных прямых секущей, равен 30'. Может ли один из ос- тальных семи углов равняться 70'7 Объясните ответ. Докажите, что две прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны. 12.

13. 14. 15. 16. 52 г класс Пункт 33 18. Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны: 1) 50' и 30", 2) 40' и 75', 3) 65' и 80', 4) 25' и 120'. Найдите углы треугольника, если они пропорциональны чис- лам: 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 4; 3) 3, 4, 5; 4) 4, 5, 6; 5) 5, 6, 7. Может ли в треугольнике быть: 1) два тупых угла; 2) тупой и прямой углы; 3) два прямых угла? Может ли быть тупым угол при основании равнобедренного треугольника? Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного тре- угольника, если угол при основании равен: 1) 40'; 2) 55', 3) 72'.

Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, ес- ли угол между боковыми сторонами равен: 1) 80', 2) 120', 3) 30'. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100'. Най- дите остальные углы. Один из углов равнобедренного треугольника равен 70'. Най- дите остальные углы.

Сколько решений имеет задача? Докажите, что если один из углов равнобедренного треуголь- ника равен 60', то этот треугольник равносторонний. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведе- на биссектриса СР. Найдите углы треугольника АВС, если угол АРС равен: 1) 60', 2) 75', 3) а. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36', проведена биссектриса АР.