Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 13

Отсюда следует, что точки С и С, совпадают. Таким образом, четырехугольник АВСР совпадает с параллелограммом АВС,Р, а значит, является параллелограммом. Рис. 122 Рис. 123 70 З класс Р А Рис. 126 Рис. 124 Рис. 126 54. Прямоугольник Прямоугольник — зто параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 124). Теорема Диагонали прямоугольника равны. Доказательство. Пусть АВСР— данный прямоугольник (рис. 126). Утверждение теоремы следует из равенства прямоугольных треугольников ВАР и СРА. У них углы ВАР и СРА прямые, катет АР общий, а катеты АВ и СР равны как противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны.

А гипотенузы есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана. Задача (24). Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником, Решение. Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, являются внутренними односторонними (рис, 126), позтому их сумма равна 180'. Так как по условию задачи эти углы равны, то каждый из них прямой. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник. 55.

Ромб Ромб — зто параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 127). Теорема Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. 7! Четкгрехугоггкггкки Доказательство. Пусть АВСР— данный ромб (см. рис. 127), Π— точка пересечения его диагоналей. По свойству параллелограмма АО = ОС.

Значит, в треугольнике АВС отрезок ВО является медианой. Так как АВСР— ромб, то АВ = ВС и треугольник АВС равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ ВР является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС. Теорема доказана.

Задача (33). Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом. Решение. Пусть АВСР— параллелограмм с перпендикулярными диагоналями и Π— точка пересечения диагоналей (рис. 128). Треугольники АОВ и АОР равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы при вершине О по условию прямые, сторона АО общая, а ОВ = ОР по свойству диагоналей параллелограмма. Из равенства треугольников следует равенство сторон АВ = АР.

А по свойству противолежащих сторон параллелограмма АР = ВС, АВ = СР. Итак, все стороны параллелограмма равны, а значит, он является ромбом. Рис. 127 В Рис. 128 56. Квадрат Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис.

129). Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба: Рис. 129 1. У квадрата все углы прямые. 2. Диагонали квадрата равны. 3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом н являются биссектрисами его углов. Задача (40). Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он является квадратом. Рис. 130 72 а касас Решение. Так как прямоугольник есть параллелограмм, а параллелограмм с перпендикулярными диагоналями есть ромб (задача 33), то у рассматриваемого прямоугольника все стороны равны (рис.

130). По определению такой прямоугольник есть квадрат. 57. Теорема Фалеса Теорема (Фалеса) Доказательство. Пусть А„Ам Аэ — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и Аэ лежит между А, и Аэ (рис. 131). Пусть В„Вм Вэ— соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если АгАс = = АсАэ, то В,Вэ = ВгВэ. Проведем через точку Вэ прямую ЕР, параллельную прямой А,Аэ. По свойству параллелограмма А,Аз = РВм АэАэ = ВзЕ.

И так как А,Аэ = = АсАэ, то РВз = В,Е. Треугольники ВэВгр и ВэВэЕ равны по второму признаку. У них Вэр = ВэЕ по доказанному. Углы при' вершине Вэ равны как вертикальные, а углы ВэРВ1 и ВэЕВэ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АрВ, и АэВэ и секущей ЕР. Из равенства треугольников следует равенство сторон: В,Вэ = В,В,. Теорема доказана.

Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же: Ас Аз Рис. 131 Фалес Милетский— древнегреческий ученый (Ч1 в. дс и. э.). параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой. 73 Четырехугольники Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрез- ки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Рис.

132 58. Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема Средняя линия треугольника, соединяющая середи- ны двух данных сторон, параллельна третьей сторо- не и равна ее половине. Доказательство. Пусть РŠ— средняя линия треугольника АВС (рис. 133). Проведем через точку Р прямую, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е.

содержит среднюю линию РЕ. Значит, средняя линия РЕ параллельна стороне АВ. Проведем теперь среднюю линию РГ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕРà — параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕР = АР, а так как АР = РВ по теореме Фалеса, то ЕР = — АВ. 1 2 Теорема доказана. Задача (55). Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение. Пусть АВС.Р— данный четырехугольник и Е, Р, О, Н вЂ” середины его сторон (рис. 134). От- А Р В Рвс. 133 Иногда теорема Фалеса будет применяться и в такой форме. Задача (48). Разделите данный отрезок АВ на и равных частей. Решение. Проведем из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ (рис. 132). Отложим на полупрямой а равные отрезки: АА1, А1А2, А2Аз, А„,А„. Соединим точки А„и В. Проведем через точки А,, А, ..., А„, прямые, параллельные прямой А„В. Они пересекают отрезок АВ в точках В„В, ..., В„„которые делят отрезок АВ на и равных отрезков (по теореме Фалеса). резок ЕР— средняя линия треугольника АВС.

Поэтому ЕР ~~ АС. Отрезок ОН вЂ” средняя линия треугольника АОС. Поэтому СН ~~ АС. Итак, ЕР ~~ СН, т. е. противолежащие стороны ЕУ и 0Н четырехугольника ЕУСН параллельны, Точно так же доказывается параллельность другой пары противолежащих сторон. Значит, четырехугольник ЕРСН вЂ” параллелограмм, 59. Трапеция Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. На рисунке 135 вы видите трапецию АВСВ с основаниями АВ и СП и боковыми сторонами ВС н АЮ. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Теорема Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство. Пусть АВСР— данная трапеция (рис. 136). Проведем через вершину В и середину Р боковой стороны СЮ прямую. Она пересекает прямую АЮ в некоторой точке Е. Треугольники РВС и РЕП равны по второму признаку равенства треугольников. У ннх СР = = ВР по построению, углы при вершине Р равны В В А Рис. 136 Рис. 135 5 Чгтггргкргггггкникгг 7 РЯ вЂ” АŠ— (АР+ ВС). Теорема доказана. Задача (60).

Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны. Решение. Пусть АВСР— разнобокая трапеция (рис. 137). Докажем, что углы трапеции при основании СР равны. Проведем через вершину В прямую, параллельную стороне АР. Она пересечет луч РС в некоторой точке Е. Четырехугольник АВЕР— параллелограмм. По свойству параллелограмма ВЕ = АР. По условию АР = ВС (трапеция равнобокая), значит, треугольник ВСЕ равнобедренный с основанием ЕС. Углы треугольника и трапеции при вершине С совпадают, а углы при вершинах Е и .Р равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей.

Поэтому ~АРС = ~ВСР. Утверждение доказано. Рис. 137 60. Теорема о пропорциональных отрезках Теорема Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. Доказательство. Пусть стороны угла А пересекаются параллельными прямыми в точках В, С и В„С, соответственно (рис. 138). Теоремой утверждается, что АС, АВ, АС АВ 76 о' клисс как вертикальные, а углы РСВ и РРЕ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АР и секущей СР. Из равенства треугольников следует равенство сторон: РВ = РЕ, ВС = ЕР.

Значит, средняя линия РЯ трапеции является средней линией треугольника АВЕ. По свойству средней линии треугольника РЯ ~~ АЕ и отрезок Докажем сначала равенство (*) в случае, когда существует такой отрезок длины б, который укладывается целое число раз и на отрезке АС, и на отрезке АС,. Пусть АС = иб, АСг = тб и и > т. Разобьем отрезок АС на и равных частей (длины б).