Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 14

При этом точка С, будет одной из точек деления. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой ВС. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок АВ на равные отрезки некоторой Р 133 длины б,. Имеем: АВ = ибг, АВг = тбп С, С Мы видим, что АСг еи АВ и — — и АС и АВ л Значит, АС~ АВ АС АВ что и требовалось доказать. Докажем теорему в общем случае (не для запоминания).

Допустим, что ~ —, например, АС, АВ, АС АВ Ас~ АВ~ что Ас А — > —. Отложим на луче АС отрезок АС АС = — АВ„(рис. 139). При этом АСг < АС,. Ра- вобьем отрезок АС на большое число и равных частей и проведем через точки деления прямые, параллельные ВС.

При достаточно большом и на отрезке С,С будут точки деления. Обозначим одну из них Рвс. 139 через У, а соответствующую точку на отрезке АВ, черех Х. По доказанному АУ АХ АС АВ" Заменим в этом равенстве величину АУ меньшей величиной АС, а величину АХ большей величиной АВ,. Получим: Асг АВг — < —. АС АВ . 77 Четырехугольники Отсюда АС,< — АС АВ,.

АС Но АСз= — '.4В1 Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. 61. Построение четвертого пропорционального отрезка Задача 6.1. Даны отрезки а, Ь и с. Построить отЬс резок х= —. а Решение. Строим любой неразвернутый угол с вершиной О (рис. 140). Откладываем на одной стороне угла отрезки ОА = а и ОВ = Ь, а на другой стороне отрезок ОС = с. Соединяем точки А и С прямой и проводим параллельную ей прямую ВВ через точку В. Отрезок ОВ = х. Действительно, по теореме о пропорциональных отрезках ОА ОС ов ов .

Рис. 140 Отсюда ов ос ь с ОВ= ОА а Таким образом, отрезок ОЮ есть искомый отрезок х. Замечание. Построенный отрезок х называется четвертым пропорциональным. Это название связано с тем, что он является четвертым членом пропорции а: Ь = с: х. Контрольные вопросы Какая фигура называется четырехугольником? Какие вершины четырехугольника называются соседними, ка- кие — противолежащими? Что такое диагонали четырехугольника? Какие стороны четырехугольника называются соседними? Ка- кие называются противолежащими? Как обозначается четырехугольник? 1.

2. 6. Что такое параллелограмм? 7. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом. 8. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 9. Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны. 10. Что такое прямоугольник? 11.

Докажите, что диагонали прямоугольника равны. 12. Что такое ромб? 13. Докажите, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом; диагонали ромба являются биссектрисами его углов. 14. Что такое квадрат? Перечислите свойства квадрата. 15. Докажите теорему Фалеса. 16. Докажите, что средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны. 17.

Какой четырехугольник называется трапецией? 18. Какая трапеция называется равнобокой? 19. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. 20. Докажите теорему о пропорциональных отрезках. Задачи Пункт 50 1. На рисунках 114 †1 представлены три фигуры, каждая из которых состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Какая из этих фигур является четырехугольником? 2.

Постройте какой-нибудь четырехугольник РЯЯБ. Укажите его противолежащие стороны и вершины. 3. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их. 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам.

Найдите периметр получившегося параллелограмма. Пункт 52 Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух других вершин? Объясните ответ. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.

79 четь~р<тугохьники 7. В параллелограмме АВСР через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и АР отрезки ВЕ = 2 м и АГ = 2,8 м. Найдите стороны ВС и А1). Пункт 53 8. У параллелограмма АВСР АВ = 10 см, ВС = 15 см. Чему рав ны стороны АР и СР7 Объясните ответ. 9. У параллелограмма АВСР ~А = 30'. Чему равны углы В, С, Р7 Объясните ответ. 10. Периметр параллелограмма АВСР равен 10 см. Найдите дли ну диагонали ВР, зная, что периметр треугольника АВР равен 8 см.

11. Один из углов параллелограмма равен 40'. Найдите остальные углы. 12. Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них боль ше другого на 50'. 13. Может ли один угол параллелограмма быть равным 40', а дру гой — 50'? 14. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25' и 35'. Найдите углы параллелограмма. 15. Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна: 1) 80'; 2) 100", 3) 160'. 16. Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна: 1) 70'; 2) 110", 3) 140'.

17. В параллелограмме АВСР точка Š— середина стороны ВС, а Š— середина стороны АР. Докажите, что четырехугольник ВЕРŠ— параллелограмм. Докажите, что если у четырехугольника две стороны парал- лельны и равны, то он является параллелограммом. 18 19. В параллелограмме АВСР проведена биссектриса угла А, кото его равен 2,8 м.

Найдите стороны. В параллелограмме АВСР перпендикуляр, опущенный из вер- шины В на сторону АР, делит ее пополам. Найдите диагональ ВР и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника АВР равен 3 м. 21 22. Постройте параллелограмм 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) по диагоналям и углу между ними.

23 рая пересекает сторону ВС в точке Е. Чему равны отрезки ВЕ и ЕС, если АВ = 9 см, АР = 15 см7 20. Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а периметр Пункт 54 24. Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником. 25. Докажите, что если в параллелограмме хотя бы один угол пря- мой, то он является прямоугольником. 26. Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

27. Бетонная плита с прямолинейными краями должна иметь фор- му прямоугольника. Как при помощи бечевки проверить правильность формы плиты7 28. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см. 29. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны.

Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника. 30. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпенди кулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите их длины. 31. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол (рис.

141). Найдите периметр прямоугольника. 32. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах (рис. 142). Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 сму Пункт 55 ЗЗ. Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпенди- кулярны, то он является ромбом. 34.

Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом. 35. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4:5. Найдите углы ромба. 36. Докажите, что четырехугольник, у кото- Рвс 141 рого все стороны равны, является ромбом. 37. В ромбе одна из диагоналей равна сторо- не. Найдите углы ромба.

38. Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; 2) по диагонали и противолежащему углу. 39. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям. Рис. 142 8 1 Четигрг«ргггггннини Пункт 56 40. Докажите, что если диагонали прямо- угольника пересекаются под прямым углом, то он является квадратом.

41. В равнобедренный прямоугольный тре- А, угольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата. 42. Дан квадрат АВС1). На каждой из его А Э, Р сторон отложены равные отрезки: АА = ВВ, = СС, = 2Ю,. Докажите, что четырехугольник А,В„С1В, есть квадрат (рис. 143). Рис.