Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 6

Пусть А,ВзСз — треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной Вз на луче А,В, и вершиной Сз в той же полуплоскости относительно прямой А,В„где лежит вершина С,. Так как А,Вз = А,В„то вершина Вз совпадает с вершиной В,. Так как ~В~А,Сз = Л.В,А,С, и ~А,В,С = ~А,В,С„ то луч А,С совпадает с лучом А,С„ а луч В,С совпадает с лучом В,С,. Стсюда следует, что вершина С совпадает с вершиной С,.

Итак, треугольник А,В,С, совпадает с треугольником А,ВзСм а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана. Рис. 47 30 т класс 23. Равнобедренный треугольник Треугольник называется равнобедренным„если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника. На рисунке 48 изображен равнобедренный треугольник АВС.

У него боковые стороны АС и ВС, а основание АВ. А Теорема (свойство углов равнобедренного треугольника) Рис. 48 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство. Пусть АВС вЂ” равнобедренный треугольник с основанием АВ (рис. 48). Докажем, что у него йА = йВ. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Действительно, СА = СВ, СВ = СА, йС = ~С.

Из равенства треугольников следует, что ~А = ~ В. Теорема доказана. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. Задача (12). Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны. Решение. Пусть АВС вЂ” данный треугольник с равными сторонами: АВ = ВС = СА (рис. 49). Так как АВ = ВС, то этот треугольник равнобедренный с основанием АС. По теореме 3.3 и'.С = в'А. Так как ВС = СА, то треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ.

По теореме 3.3 г'А = ~В. Таким образом, ~С=ЛА=~В, Рис. 49 т.е. все углы треугольника равны. Признаки ривенетви з треугольников 24. Обратная теорема Теорема (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, то он равно- бедренный. Рис. 50 а) В в) Рис. 51 32 с класс Доказательство. Пусть АВС вЂ” треугольник, в котором к' А = к'В (рис. 50). Докажем, что он равнобедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку равенства треугольников. Действительно, АВ = ВА, л' В = лА, ЛА = л' В.

Из равенства треугольников следует, что АС = ВС. Значит, по определению треугольник АВС равнобедренный. Теорема доказана. Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, т.е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные.

А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными. Задача (16). Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 12. Решение. В задаче 12 условие состоит в том, что треугольник равносторонний, а заключение — в том, что все углы треугольника равны. Поэтому обратная теорема должна формулироваться так: если у треугольника все углы равны, то он равносторонний. Докажем эту теорему.

Пусть АВС вЂ” треугольник с равными углами: л'А = ~В = л'С. Так как ~А = ~В, то по теореме 3.4 АС = СВ. Так как ~В = к'С, то по теореме 3.4 АС = АВ. Таким образом, АВ = АС = СВ, т.е. все стороны треугольника равны. Значит, по определению треугольник АВС равносторонний. о) А б) В Рис. 52 Свойство медианы равнобедренного треугольника Теорема (свойство медианы равнобедрен- ного треугольника) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Доказательство. Пусть АВС вЂ” данный равнобедренный треугольник с основанием АВ и СΠ— медиана, проведенная к основанию (рис.

53). Треугольники САО и СВР равны по первому признаку равенства треугольников. (У ннх стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы САР и СВР равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны АР и ВР равны, потому что Р— середина отрезка АВ.) Из равенства треугольников следует равенство углов: л'.АСР = л'ВСР, л'.АОС = л'ВРС. Так как углы АСР и ВСР равны, то СР— биссектриса.

Так как углы АОС и ВОС смежные и равны, то они Рис. 53 Признаки равенства треугольников 2 Гюыетры, 7-9 «л. 25. Высота, биссектриса и медиана треугольника Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника. На рисунке 51 вы видите три треугольника, у которых проведены высоты из вершин В, В, и В . На рисунке 51, а основание высоты лежит на стороне треугольника, на рисунке 51, б — на продолжении стороны треугольника, на рисунке 51, в — совпадает с точкой С .

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 52, а). Медианой треугольника, проведенной нз данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, б). прямые, поэтому СР— высота треугольника.

Теорема доказана. Задача (28). Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника„проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой. Решение. Пусть АВС вЂ” равнобедренный треугольник с основанием АВ и СР— его биссектриса (рис. 54). Треугольники АСР и ВСР равны по первому признаку. У них сторона СР общая, стороны АС и ВС равны как боковые стороны равнобедренного треугольника, а углы при вершине С равны, потому что СР— биссектриса. Из равенства треугольников следует равенство их сторон АР и ВР.

Значит, СР— медиана треугольника АВС. А по свойству медианы равнобедренного треугольника она является и высотой. А Р Рис. 54 27. Третий признак равенства треугольников Теорема (признак равенства треугольников по трем сторонам) Если три стороны одного треугольника равны соот- ветственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 7 класс Доказательство. Пусть АВС и А,В1С1 — два треугольника, у которых АВ =А,В,, АС =А,С„ВС=В,С, (рис. 55). Требуется доказать, что треугольники равны. Допустим, треугольники не равны. Тогда у них ~А ~ ~А„~В к ~В„~С ~ ~С,. Иначе они были бы равны по первому признаку. Пусть А,В,С вЂ” треугольник, равный треугольнику АВС, у которого вершина С лежит в одной полуплоскости с вершиной С, относительно прямой А,В, (см. рис. 55).

Пусть Р— середина отрезка С,Сз. Треугольники А,С,С и В,С С равнобедренные с общим основанием С1Сз. Поэтому их медианы А1Р и В1Р являются высотами. Значит, прямые А1Р и В,Р пер- пендикулярны прямой С,С . Прямые А,Р и В,Р не совпадают, так как точки А„В,, Р не лежат на одной прямой. Но через точку Р прямой С,С можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.

Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Задача (29). У треугольников АВС и А1В1С~ АВ = А,В,, АС = А1С„з.'.С = з'С1 = 90'. Докажите, что ззАВС = гзА1В1С1. Решение. Пусть АВС и А1В~С1 — данные треугольники (рис. 56). Построим треугольник СВР, равный треугольнику СВА, и треугольник С Р,В, равный треугольнику С1А,ВР как показано на рисунке. Треугольники АВР и А,В,.Р, равны по третьему признаку.

У них АВ = А,В, по условию задачи; АР = А,Р„так как АС = А,С,; ВР = В,Р„ так как ВР = АВ, В,Р, = А,В,. Из равенства треугольников АВР и А1В1Р1 следует равенство углов: ~А = ~А„. Так как по условию АВ = А,В„АС = = А,С„а к'.А = з'.А1 по доказанному, то треугольники АВС и А,В,С, равны по первому признаку. А, В1 Рис. 55 В А С Р в, С1 Р, А, Рис. 56 Признаки равенства трерговиников 35 28. Как готовиться ~о учебнику самостоятельно Допустим, по какой-нибудь причине, например по болезни, вы не были на уроке. Тогда материал этого урока вам придется изучить самостоятельно по учебнику.

Текст учебника надо читать не спеша, по предложениям, не переходя к следующему предложению, не поняв смысла предыдущего. Рассмотрим конкретный пример — доказательство третьего признака равенства треугольников. Итак, читаем текст учебника: «Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника... » Чтобы понять смысл этого предложения, надо знать, что такое треугольник, его стороны и равенство сторон. Вы все это знаете, поэтому смысл прочитанного предложения вам ясен. Читаем дальше: «...то такие треугольники равны».

Чтобы понять смысл этого предложения, надо знать, какие треугольники называются равными. Но вы и это знаете. Таким образом, смысл теоремы вам ясен. Читаем доказательство. Доказательство. «Пусть АВС и А,В,С, — два треугольника, у которых АВ = А,В„АС = А,С,, ВС = В,С, (см. рис. бб). Требуется доказать, что треугольники равны». Здесь все ясно. Обозначаются треугольники, которые удовлетворяют условию теоремы и равенство которых надо доказать.

«Допустим, треугольники ие равны». Вы видите, что делается предположение, противоположное утверждению теоремы. Значит, в ходе дальнейшего рассуждения мы должны прийти к противоречию (доказательство от противного). «Тогда у них ~А ~ ~Ам ~В ~ ~Вы ~С ~ ~С,. Иначе они были бы равны по первому признаку». Вспомните первый признак равенства треугольников. Убедитесь в том, что если выполнено хотя бы одно из равенств ~А = ~А, ~В = ~В, ~С- = ~С„то треугольники АВС и А,В„С, равны, а это противоречит сделанному предположению. «Пусть А,В,С вЂ” треугольник, равный треугольнику АВС, у которого вершина С лежит в одной полуплоскости с вершиной С, относительно прямой А В, (см. рис.

бб)». Здесь все ясно. Этой фразой начиналось доказательство и первого и второго признаков. «Пусть Р— середина отрезка С,С». Вы знаете, что такое середина отрезка. «Треугольники А,С,С«и В,С,С« равнобедренные с общим основанием С1С«». Чтобы понять смысл этого утверждения, надо знать, какой треугольник называется равнобедренным и какая его сторона называется основанием. «Поэтому их медианы АгР и В,Р являются высотами». Смысл этого предложения вам ясен. Вы знаете, что такое медиана и высота, и знаете свойство медианы равнобедренного треугольника. «Значит, прямые А,Р и В,Р перпендикулярны прямой С~Си». Ясно. «Прямые А,Р и В,Р не совпадают, так как точки А„„Рне лежат на одной прямой».