Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 3

В обоих случаях прямая а пересекает только один из отрезков АС или ВС. Вот и все доказательство. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы.

В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Условие теоремы 1.1 состоит в том, что прямая не проходит ни через одну вершину треугольника и пересекает одну из его сторон. Заключение теоремы состоит в том, что эта прямая пересекает только одну из двух других сторон треугольника. 13. Аксиомы Утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений».

При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя. При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее.

В геометрии наряду с такими словами, как «акснома» и «теорема», используется также а) б) Рис. 26 класс слово «определение». Дать определение чему-либо— значит объяснить, что это такое. Например, говорят: «Дайте определение треугольника». На это отвечают: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки». Другой пример: «Дайте определение параллельных прямых». Отвечаем: «Прямые называются параллельными, если они не пересекаются». Вы уже знаете определения равенства отрезков, равенства углов и равенства треугольников.

Контрольные вопросы 1. Приведите примеры геометрических фигур. 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости. 3. Как обозначаются точки и прямые? 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых, 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках. 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой. 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков. 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками? 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полу- плоскости? 10.

Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости. 11. Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными? 12. Как обозначаются полупрямые? 13. Какая фигура называется углом? 14. Как обозначается угол? 15. Какой угол называется развернутым? 16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла». 17.

В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение. 18. Сформулируйте основные свойства измерения углов. 19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов. 20. Что такое треугольник? 21. Что такое угол треугольника при данной вершине? 22.

Какие отрезки называются равными? 23. Какие углы называются равными? Основные свойства нростейших геометра «вских фигур 24. Какие треугольники называются равными7 25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответ- ствующие стороны и углыу 26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равно- го данному. 27.

Какие прямые называются параллельнымиу Какой знак ис- пользуется для обозначения параллельности прямых2 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых. 29. Приведите пример теоремы. Задачи Пункт 2 1) Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А, лежащую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой.

2) Проведите две пересекающиеся прямые а и Ь. Отметьте точку С пересечения прямых; точку А на прямой а, не лежащую на прямой Ь; точку .О, не лежащую ни на одной из прямых а и Ь. Отметьте на листе бумаги две точки. Проведите через них от руки прямую. С ;О помощью линейки проверьте правильность построения.

Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ. Для проверки правильности линейки применяют такой способ. Через две точки с помощью линейки проводят линию (рис. 27). Затем линейку переворачивают и через те же точки снова проводят линию. Если линии не совпадают, то линейка неправильная. На каком свойстве прямых основан этот способ проверки правильности линейкиу Рис.

27 Пункт 3 Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы точка А лежала между точками В и С. Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку С отрезка А.В. ' Многие задачи настоящего учебника взяты нз школьных учебников и задачников прошлых лет, в особенности из зГеометрии» А.Н. Киселева и «Сборника задач по геометринз Н. А. Рыбкина. Пункт 4 Точка М лежит на прямой СР между точками С и Р. Найдите длину отрезка СР, если: 1) СМ = 2,5 см, МР = 3,5 см; 2) СМ = 3,1 дм, МР = 4,6 дм; 3) СМ = 12,3 м, МР = 5,8 м.

Отметьте на прямой две точки. Отметьте на глаз середину отрезка, соединяющего эти точки. Проверьте правильность построения измерениями с помощью линейки. Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С7 Может ли точка С лежать между точками А и В7 Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими7 Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если АС = 5 см, ВС = 7 см7 Объясните ответ. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделить точки А и С, если АС = 7 м, ВС = 7,6 м2 Объясните ответ.

Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ. Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС7 Объясните ответ. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2,7 м, АС = 3,2 м.

Сколько решений имеет задача7 На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длину отрезков АС и ВС, если: 1) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС; 2) отрезок АС в 2 раза длиннее отрезка ВС; 3) точка С вЂ” середина отрезка АВ; 4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3. Пункт 5 Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А, не лежащую на этой прямой.

Отметьте теперь две точки В и С так, чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок ВС не пересекал ее. Даны прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС7 Объясните ответ. Даны прямая и четыре точки А, В, С и Р, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок АР, если: 1) отрезки АВ, ВС и СР пересекают прямую; 2) отрезки АС и ВС пересекают прямую, а отрезок ВР не пересекает; 3) отрезки АВ и СР пересекают прямую, а отрезок ВС не пересекает; Основные свойства нростейших геометра веских фигур 4) отрезки АВ и СВ не пересекают прямую, а отрезок ВС пе- ресекает; 5) отрезки АВ, ВС, СВ не пересекают прямую; 6) отрезки АС, ВС и В.0 пересекают прямую? Объясните ответ.

19. Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной по- луплоскости относительно этой прямой, а две точки — в дру- гой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересекает прямую? Объясните ответ. Пункт 6 20.

Даны прямая а и точки А, Х, У, Я на этой прямой (рис. 11) Известно, что точки Х и У лежат по одну сторону от точки А, точки Х и Я тоже лежат по одну сторону от точки А. Как рас- положены точки У и Я относительно точки А: по одну сторо- ну или по разные стороны? Объясните ответ. 21. Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ 22. На отрезке АВ взята точка С.

Среди полупрямых АВ, АС, СА, СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ. Пункт 7 Проведите из одной точки три произвольных луча. Определите на глаз углы, образуемые этими лучами. Проверьте ваши ответы, измеряя углы транспортиром. Повторите упражнение. Луч а проходит между сторонами угла (сс(). Найдите угол (ссл), если: 1) ~(ас) = 35', ~(ас() = 75", 2) ~(ас) = 57', ~(ао)= 62', 3) Л.(ас) = 94', ~(ас() = 85'.

Может ли луч с проходить между сторонами угла (аЬ), если: 1) ~(ас) = 30', л'(сЬ) = 80', с'(аЬ) = 50', 2) л'(ас) = 100', а (сЬ) = 90'; 3) угол (ас) больше угла (аЬ)? Между сторонами угла (аЬ), равного 60', проходит луч с. Найдите углы (ас) и (Ьс), если: 1) угол (ас) на 30' больше угла (Ьс); 2) угол (ас) в 2 раза больше угла (Ьс); 3) луч с делит угол (аЬ) пополам; 4) градусные меры углов (ас) и (Ьс) относятся как 2:3. 24. 25. 26.