Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 2

Точка С разделяет точки А и В. Поэтому точки А и В не могут принадлежать одной полупрямой, а значит, полу- прямые СА и СВ дополнительные. Рис. 12 ис. 7. Угол Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, сторон угла. На рисунке 14 вы видите угол с вершиной О и сторонами а, Ь. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла.

Слово «угол» иногда заменяют знаком ~. Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами: ~О, ~(аЬ), ~АОВ. В третьем способе буква угла, обозначающая вершину, ставится посередине. Рис. 14 Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. На рисунке 15 вы видите развернутый угол с вершиной О и сторонами ОА и ОВ.

Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. На рисунке 16 луч с проходит между сторонами угла (аЬ), так как он исходит из вершины угла (аЬ) и пересекает отрезок АВ с концами на его сторонах. В случае развернутого угла мы считаем, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.

Углы измеряются в градусах при помощи транспортира. На рисунке 17 угол (аЬ) равен 120'. Полупрямая с проходит между сторонами угла (аЬ). Угол (ас) равен 90', а угол (Ьс) равен 30'. Угол (аЬ) равен сумме углов (ас) и (Ьс). Основными свойствами измеРениЯ Углов Рис. 1Е мы будем называть следующие свойства: У. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180'. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Зто значит, что если луч с проходит между сторонами угла (аЬ), то угол (аЬ) равен сумме углов (ас) и (Ьс).

Задача (25). Может ли луч с проходить между сторонами угла (ад), если х'(ас) = = 30', х4сЬ) = 80', х'(аЬ) = 50'7 Решение. Если луч с проходит между сторонами угла (аЬ), то по свойству измерения углов должно быть: х4ас) + х'(Ьс) = х'(аЬ). Но 30' + 80' ~ 50'. Значит, луч с не может проходить между сторонами угла (аЬ). Рис. 17 Основные свойства вростеисаих геометра. весник фигур Рис. 18 Рис, 19 8. Откладывание отрезков и углов На рисунке 18 показано, как с помощью линейки на полупрямой а с начальной точкой А можно отложить отрезок данной длины (3 см).

Посмотрите на рисунок 19. Полупрямая а, продолженная за начальную точку А, разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой (60'). Основными свойствами откладывания отрезков и углов мы будем называть следующие свойства: '(71. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

ТП. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180', и толысо один. Задача (30). На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими7 Объясните ответ. Решение (рис. 20). Так как точки В и С лежат на одной полупрямой с начальной точкой А, то они не разделяются точкой А, т.

е. точка А не лежит между точками В и С. Может ли точка В лежать между точками А и С7 Если бы она лежала между точками А и Рис. 20 (() 7 сласс С, то было бы АВ + ВС = АС. Но это невозможно, так как по условию отрезок АС меньше отрезка АВ. Значит, точка В не лежит между точками А и С.

Из трех точек А, В, С одна лежит между двумя другими. Поэтому точка С лежит между точками А и В. Рис. 21 в, с, А, Рис. 22 Осмовмте своиства мростеиших ге«метро. веских 4игур 9. Треугольник Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами. На рисунке 21 вы видите треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС, АС.

Треугольник обозначается указанием его вершин. Вместо слова «треугольник» иногда употребляют знак Ь. Например, треугольник на рисунке 21 обозначается так: ЬАВС. Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С. Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах. Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. На рисунке 22 вы видите два равных треугольника АВС и А1В,СР У них АВ = А1В„АС = А,С„ВС = В,С„ с'А = ~А„Л.В = х' В,, ~ С = с' Сг На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя черточками, а равные углы — одной, двумя или тремя дужками. Для обозначения равенства треугольников используется обычный знак равенства: =. Запись ЛАВС = ЬА,В,С, читается так: «Треугольник АВС равен треугольнику А,В,С,».

При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника. Равенство ЬАВС = ЬА,В,С, озна- Рис. 23 чает, что г'.А = ~Ам с'В = ~Ви .... А равенство ЬАВС = ЬВ1А1С, означает уже совсем другое: ~А = =~во~В=~А,,.... Задача (38).

Треугольники АВС и РЯН равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90'. Чему равны сторона РЦ и угол Вс Объясните ответ. Решение. Так как треугольники АВС и РЯВ равны, то у них АВ = РЯ, л'С = л'В. Значит, РЯ = 10 м, г'В = 90'. Рис. 24 УП1. Каков бы ни был треугольник, существует рав- ный ему треугольник в заданном расположении от- носительно данной полупрямой. 7 класс 1 О. Существование треугольника, равного данному Пусть мы имеем треугольник АВС и луч а (рис.

23, а). Переместим треугольник АВС так, чтобы его вершина А совместилась с началом луча а, вершина В попала на луч а, а вершина С оказалась в заданной полуплоскости относительно луча а и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим А„ В„С, (рис.

23, б). Треугольник А,В,С, равен треугольнику АВС. Существование треугольника А,В,С„равного треугольнику АВС и расположенного указанным образом относительно заданного луча а, мы относим к числу основных свойств простейших фигур. Это свойство мы будем формулировать так: 11. Параллельные прямые Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. На рисунке 24 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую Ь, параллельную данной прямой а.

Для обозначения параллельности прямых используется знак ~~. Запись а ) Ь читается: «Прямая а параллельна прямой Ь». Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем: 1Х. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. Задача (41). Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую Объясните ответ. Решение.

Пусть а и Ь вЂ” параллельные прямые, и пусть прямая с пересекает прямую а в точке А (рис. 2б). Если бы прямая с не пересекала прямую Ь, то через точку А проходили бы две прямые, не пересекающие прямую Ь: прямая а и прямая с. Но по свойству параллельных прямых зто невозможно. Значит, прямая с, пересекая прямую а, должна пересекать и параллельную ей прямую Ь. 12.

Теоремы и доказательства Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Приведем пример. Теорема Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон. Доказательство. Пусть прямая а не проходит ни через одну из вершин треугольника АВС и пересекает его Основные своиства пргн'тсииги» ггоигтри чсснии фигур сторону АВ (рис. 26). Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости.

Точки А и В лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок АВ пересекает прямую а. Точка С лежит в одной из этих полуплоскостей. Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой А, то отрезок АС не пересекает прямую а, а отрезок ВС пересекает эту прямую (рис. 26, а). Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то отрезок АС пересекает прямую а, а отрезок ВС не пересекает ее (рис. 26, б).