Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 7

Ясно. Если бы точка Р лежала на прямой А,Вп то точки С» и С» были бы в разных полу- плоскостях относительно прямой А,В,. «Но через точку .Р прямой С1С» можно провести только одну перпендикулярную ей прямую». Ясно. Вы знаете такую теорему. «Мы пришли к противоречию».

Ясно. «Теорема доказана». 5. 6. 8. 9. 10. 12. Задачи Пункт 20 Отрезки АВ и СР пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок ВР, если от- резок АС = 10 м? Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ (рис. 57). Докажите, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В. Рис. 57 7 ПРизнаки равенства з азрергалвникав Контрольные вопросы Докажите первый признак равенства треугольников. Какие ак- сиомы используются при доказательстве теоремы 3.1? Сформулируйте и докажите второй признак равенства тре- угольников.

Какой треугольник называется равнобедренным? Какие сторо- ны равнобедренного треугольника называются боковыми сторо- нами? Какая сторона называется основанием? Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при осно- вании равны. Какой треугольник называется равносторонним? Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он рав- нобедренный.

Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная? Что такое высота треугольника? Что такое биссектриса треугольника? Что такое медиана треугольника? Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, про- веденная к основанию, является биссектрисой и высотой. Докажите третий признак равенства треугольников. Рис. 60 Рис. 59 Рис. 58 3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка Р, а на стороне А,В, треугольника А,В,С, взята точка Р,.

Известно, что треугольники АРС и А,Р,С равны и отрезки РВ и Р В равны. Докажите равенство треугольников АВС и А1В~См 4. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точка- ми А и В, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 68), выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А, и к точке В и из которой видны обе эти точки. Провешивают" расстояния АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют СР = АС и ЕС = СВ. Тогда отрезок ЕР равен искомому расстоянию.

Объясните почему. Пункт 22 Отрезки АВ и СР пересекаются в точке О (рис. 69). Докажите равенство треугольников АСО и РВО, если известно, что угол АСО равен углу РВО и ВО = СО. Отрезки АС и ВР пересекаются в точке О (рис. 60). Докажите равенство треугольников ВАО и РСО, если известно, что угол ВАО равен углу РСО и АО = СО. 7. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на ко- торые медиана разбивает угол треугольника. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ (рис. 61) и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок ВЕ.

Выбирают на местности точку Р, из которой видна точка А и можно пройти к точкам В и Е. Провешивают прямые В1Щ и ЕРР и отмеряют ЕР = РЕ и РЯ = ВР. Затем идут по прямой Щ, глядя на точку А, пока не найдут точку Н, которая лежит на прямой АР. Тогда Н9 равно искомому расстоянию. Докажите.

' Отмечают направление шестами-вехами. 38 с класс с, Рис. 63 Рис. 61 Рис. 62 Пункт 23 Периметр (сумма длин сторон) равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Найдите длину боковой стороны. Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 и, а боко- вая сторона равна 2 м. Найдите основание. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м.

Найди- те его стороны, если основание: 1) меньше боковой стороны на 3 и; 2) больше боковой стороны на 3 м. Докажите, что у равностороннего треугольника все углы рав- ны. От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основани- ем АВ отложены равные отрезки: СА1 на стороне СА и СВ1 на стороне СВ. Докажите равенство треугольников: 1) САВ, и СВА1; 2) АВВ, и ВАА,. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точ- ки А, и В,. Известно, что АВ, = ВА,.

Докажите, что тре- угольники АВ1С и ВА1С равны. Треугольники АСС, и ВСС, равны. Их вершины А и В лежат по разные стороны от прямой СС,. Докажите, что треугольни- ки АВС и АВС, равнобедренные (рис. 62). 10. 12. 13. Пункт 24 Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 12.

На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки С, и С . Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если тре- угольники АВС1 и ВАС равны (рис. 63). 1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треуголь- ника являются также вершинами равнобедренного треуголь- ника. 18. 9 Пригнана равенства з треугоаьнинов 2) Докажите, что середины сторон равностороннего треуголь- ника являются также вершинами равностороннего треуголь- ника.

Пункт 26 19. 1) Начертите треугольник с острыми углами. С помощью чер тежного угольника и линейки проведите в нем высоты. Повто- рите упражнение для треугольника, у которого один угол ту- пой. 2) Начертите треугольник. С помощью транспортира и линей- ки проведите в нем биссектрисы. 3) Начертите треугольник. С помощью линейки с делениями проведите в нем медианы.

Пункт 26 20. Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) биссектри сы, проведенные из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны. 21. Докажите, что у равных треугольников АВС и А,В,С,: 1) ме- дианы, проведенные из вершин А и А,, равны; 2) биссектри- сы, проведенные из вершин А и А„равны. и СР имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник СРЕ тоже равнобедренный с основанием СР (рис. 64).

23. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу. 24. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведе- на медиана ВМ. На ней взята точка Р. Докажите равенство треугольников: 1) АВР и СВР; 2) АМР и СМР. 25. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него: 1) медиана ВР является высотой; 2) высота ВР является биссектрисой; 3) биссектриса ВР является медианой. 26.

Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведенные к основанию, ле- жат на одной прямой. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВР. Найдите ее длину, если периметр тре- угольника АВС равен 50 м, а треугольни- ка АВР— 40 м. Докажите, что биссектриса равнобедрен- ного треугольника, проведенная из вер- С шины, противолежащей основанию, яв- ляется медианой и высотой. Рис. 64 27. 28. 0 В 22. Точки А, В, С, Р лежат на одной прямой, причем отрезки АВ 29 31 32 35 36 37 39 А Рис. 66 1 Рис.

65 Рис. 67 В Пункт 27 У треугольников АВС и А,В,С, АВ = А В, АС =А С, ~С = ~С = 90'. Докажите, что ЬАВС = ЬА,В,С,. Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой. Треугольники АВС и АВС, равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников АСС, и ВСС,.

Точки А, В, С, Р лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники АВЕ, н АВЕ, равны, то треугольники СРЕ, и СРЕ, тоже равны (рис. 65). Два отрезка АВ и СР пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АСР и ВРС. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к Рис. 66 одной из них. Отрезки АВ и СР пересекаются.

Докажите, что если отрезки АС, СВ, ВР и А0 равны, то луч АВ является биссектрисой угла САР и луч СР— биссектрисой угла АСВ (рис. 66). Докажите, что в задаче Зб прямые АВ и СР перпендикулярны. Треугольники АВС и ВАР равны, причем точки С и Р лежат по разные стороны от прямой АВ (рис. 67). Докажите, что: 1) треугольники СВР и .0АС равны; 2) прямая СР делит отрезок АВ пополам. Равные отрезки АВ и СР пересекаются в точке О так, что АО = ОР. Докажите равенство треугольников АВС и РСВ. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (рис. 68).

Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, образованными с ней медианой. Признаки равенства 4 треугаквниквв Л ! Сумма углов треугольника Доказательство. Пусть прямые а и Ь параллельны прямой с. Допустим, что прямые а и Ь не параллельны (рис. 69). Тогда они пересекаются в некоторой точке С.

Значит, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана. Задача (4). Прямые АВ и СВ параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую АЮ, то точка пересечения принадлежит отрезку АВ (рис. 70). Решение. Пусть Х вЂ” точка пересечения отрезка ВС с прямой А1л. Проведем через нее прямую х, параллельную прямой АВ.

Она будет параллельна и прямой СР. Прямая х разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки В и С лежат в разных полу- плоскостях, так как отрезок ВС пересекает прямую х (в точке Х). Точка А лежит в той же полуплоскости, что и В, а точка  — в той же полуплоскости, что и С.

Поэтому отрезок А(л пересекает прямую х. А точкой пересечения является точка Х отрезка ВС. Рис. 69 30. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей Пусть АВ и С — две прямые и АС— третья прямая, пересекающая прямые АВ и СР (рис. 71). Прямая АС по отношению к прямым АВ и СВ называется секущей. Пары углов, которые образуются при пересечении прямых АВ и СВ секущей АС, имеют специальные названия.

Если точки В и В лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС, то Рис. 70 7 класс 29. Параллельность прямых Теорема ПШ Две прямые, параллельные третьей, параллельны. углы ВАС и .ОСА называются внутренними односторонними (рис. 71, а). Если точки В и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, то углы ВАС и )гСА называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б). Секущая АС образует с прямыми АВ и СВ две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например е'.1 и е'2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: е'3 и е'.4 (рис. 72). Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.

Пара внутренних накрест лежащих углов, например е'1 и е'.2, и пара внутренних односторонних углов, например л'2 и ~3, имеют один угол общий — л'2, а два других угла смежные: л'1 и у'3. Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180'. И обратно: если сумма внутренних односторонних углов равна 180', то внутренние накрест лежащие углы равны.

а) б) Рис. 7г 31. Признак параллельности прямых Теорема (признак параллельности прямых) Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180', то прямые параллельны. Доказательство. Пусть прямые а и Ь образуют с секущей АВ равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые а и Ь не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке С (рис. 73, б). Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка С. Построим треугольник ВАС„равный треугольнику АВС, с вершиной С, в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при прямых а, Ь и секущей АВ равны. Так как соответствующие углы треугольников АВС и ВАС, с верши- Рис.