Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 8

»+1' Л так как ч 1 1Ь 1 .1! + 2!иаО» и+Д ,6„.~1 = агсг8 — + агст8 = агст8 „ , = агстд — , !ь+1 2(»+1)2 1 " . ! »+2 +1 2!аа1)» и равенство (1) справедливо при и = 1, то, согласно индукции, оно справедливо при всея и. М 3 ь . Применяя метод математической индукции, доказать, что для 'любвго натуралтбиото. числа и справедливы следующие равенства; а)1 +2 +...+»2= ) ); б)1 +2 +...+»з=(1+2+...+и) 6 й а) При и = 1 равенство справедливо. Предполагая справедливость равенства ири и; покажем справедливость его и при и + 1. Действительно, и(!ь+ 1)(2»+ 1),2 (»+ 1)(»+ 2)(2»+ 3) 1 +2 + ...

+и +(ьь+1) 6 + (и + 1) 6 что и требовалось доказать. б) При и = 1 справедливость равенства очевидна. Из предполозкения справедливости его при и следует 1 +2 + ... +и' +(и+1)*=(1+2+,. +и) +(и+1) = (1+ 2 + ... + и) + 2 (и + 1) + (»+ 1)З! 2 Учитывая равенство 1+ 2+ ., + н =, получаем Ь1! 2 1 +2 + ... +и +(н+1) =(1+2+ ...

+и+(и+1)), т. е. утверждение справедливо и при и + 1. > 38, Доказать формулу бинома Ньютона и (а+6)" =ЕС а" 6 1 (а+Ь)= ь С! а б = — 'а+ — '6=а+6. ч 1! О!1! ПО! Остается показать,что из предположения справедливости утверждения для и следует, что .ь! (а+6)"+' = ~~ь Си+!а"+ Ь ! '„..О! ь ! где с„= (число сочетаний из и элементов по т), ь! = 1 2 ... ь, причемполагвиьт' тД» — т)! О! = 1. < При и ж 1 имеем Гл. 1. Введение в анализ 28 В самом деле, (а16)и+! = (а 16)(а+Ь)и = (а+6) ~ Си аи 6'" ж ~~ Си аи+ 6 + ~~! Си аи 6 »+1 и +",ь Си 'аи+' "'Ь =а»Э'+ ~ (Си +С„')а"+' 6™+6" ' С »Э' ш6 -Е' 'и а »О Используя соотношения -1 и! И. (и+ 1)! ,О +1 с„-+с„-- ' + Сиам Си.„= Си+, -1, т! (и — ги)! (ги — 1)1(и+ 1 — т)г гв! (и+ 1 — т)! окончательно имеем +1 ( +Ь)и+' =а»+'+ Ь С аи+' Ь +Ь"+! =С С и+' Ь справедливое при любых х, одного знака. ш 40.

Доказать, что если х > — 1, то справедливо неравенство (1+я)и ) )1+ их, и > 1, причем знак равенства имеет место лишь при х = О. Ш Требуемое неравенство непосредственно следует из предыдущего примера, если поло- жить там х! = хг = ... = хи = х. Если х = О, то Чи ) 1 имеем знак равенства. Покажем, что при и > 1 и х > — 1 получим строгое неравенство (1 + х)и > 1+ вх. Прн в = 2 это очевидно: (1+ х) = 1+ 2х+ х ) 1+2х.

Далее, если (1+ х)" ) 1+ их, то (1+х)и ' = (1+х)и(1+х) > (1+ их)(1+х) = 1+ их+ х+ их ) 1+(и+ 1)х. Ш 41. Доказать, что если хь > О % = 1, и и х!хг .. хи»х 1, то Х1+ Х2+ ... +Х )х И, при этом (х! + х2 + . + х = и) Ф'(х, = 1 гьг = Т, 11)), ш Для доказательства применим метод математической индукции. При и = 1 неравенство (1) справедливо и при этом имеет место только знак равенства. Если и = 2 и х!хг = 1, то обязательно один сомножитель, например х! ) 1, а хг ( 1.

Тогда из очевидного тождества Х! + Х2 = Х1Х2 + 1 + (Х! — 1)(1 — Х2) (2) и условия хгхг = 1 следуют неравенство хг+ хг ) 2 и условие (хь+ хг = 2) сг (х! = хг = 1). Предположим теперь, что для произвольных 1. положительных чисел хг, хг, ..., хь, прои наведение которых равно единице, справедливо неравенство ~ х, > й, причем 1 < х,шь СЗ(х,ж1 гУ!ж1,6). ги! 39. Доказать неравенство Бернулли (1+ х!)(1 + х2) ...

(1 +х,) х 1 + х1 + х2 + ... + хг где хь, хг,, х» — числа одного и того же знака, ббльшие — 1. М При в = 1, 2 неравенство очевидно. Пусть неравенство справедливо при гь. Покажем справедливость его при и + 1. Имеем (при х, > — 1) (1+х1Н1+х2) ° ° . (1+х )(1+х Е1)> (1+х1+х2+ ° ° +х Н1+х +1) =1+х! +х2+ ... +х +х 61+(х1+хг+ ... +х )х 61)х 1+х1+х2+ ... +х +х +1. Здесь использовано неравенство (Х! + Хг + ...

+ Х )Х»1! ) О, 1 3. Действительные числа Рассмотрим произведение й + 1 положительных чисел х1, Хз,..., Хат! ! ДЛЯ кОтОРыя Х1Х2 ... Хь.11 — 1. Если не все х, равны единице, то найдутся числа как ббльшие, так и меиыиие единицы. Не ограничивая общности, будем считать, что х1 > 1, хз < 1. Тогда, но нредполозкению, для?2 положительных чисел (х!хз), хэ, ..., Ха»1, произведение которыя равно единице, справедли- во неравенство (г1х2)+ха+ .. +лаз! > х (3) причем (Х122 + хз + ... + ха+1 = 12) СЗ (х!х2 = хэ = ... = ха+1 ж 1).

Складывая тождество (2) с неравенством (3), получаем неравенство г1 + х2+ ... + Хьу1 (» + 1 + (х! 1)(1 х2) о /с+ 1 и условие (х1 Ф гг + .. + Ха+1 — — й + 1 + (г1 — 1)(1 — хз)) ез ((хзхг) = хз = ° .. = ха+1 = 1), из которого следует, что (г\ + Х2 + .. + Ха+1 = ?г + 1) СФ (х1 = 1 21 = 1, х + 1), М 42. Пусть х, >О, х,бП,'21=!,и,а 7 =... (среднее гармоническое),.

— + —,, +...+— 1 "=;гзт..'.*.1! «зг . 1, х1 + хз + ... + х 6 = ' (среднее арифметическое). о Доказать, что !» < О„( б» н при этол! (7 = у„= у„) Е! (21 = хз =, = х„), ц Произведение н положительных чисел Х! 22 О О» Ч поэтому, согласно предыдущему примеру, их сумма Х1 Х2 21 — + — +...+ — )о. О Ч* У» х Отсюда у, < б . При этом знак равенства достигается тогда и только тогда, когда -~ = -„д з э ...

= — *" = 1, т. е. когда х! — — хз = ... = х . По только что доказанному + 1 7 т,Е. ЕСЛИ Х1=Х2= ... жХ„. М .—,+ —., + ( О Х1 Х2 Х» о откуда 7„( у» и 7„= О», если —, = —, = ... = — = 1 ! 1 1 1 2 43, Доказать неравенство Коши — Буняковского х,у; — ~~! х, ~ уз (О. где х„у, (! = Т, и) — произвольные действительные числа. В каких случаях в укаэанном. неравенстве имеет место знак равенства? М Из очевидного неравенства Я(х,! + у,) ) О получаем неотрицательный при всех 2 =! значениях 1 квадратный трехчлен 1~ 2, х; +21 ) Х1у;+ ) у, )х О, поэтому ;-1 ! л.

1. Введение в анализ 30 2п+ 1 1 2п+ 1 1 1/2п+ 3 2п+ 1 < 2п+ 2 т/гни+1 2п+ 2 ь/2юь+ 3 1/2!1+ 1 2п+ 2 1 4п24-8п+3 1 2 /2п+3 4пз+8п+4,„/2п+3 1 3 2н — 1 2 4 2п 1 1 1 45. 1+ — + — + ... + — >,/, > г. /2 !/3,/и П Прн и > 2 имеем 1 1 1 1 1+ — + — + ... + — > и — = -/п. и )/2 т/3 ./и фь 46. и "+' > (и+ 1)", п > 3 П При и = 3 неравенство очевидно. Предполагая, что меравенство справедливо при и, докажем справедливость его и при и + 1, т.

е. докажем,что (и + 1)"+ > (п + 2)"~ , если о ь1 ° "" >( +1)" +)+г Умножив обе части последнего неравенства на азт †,имеем + 1 21»+1) +1)ойз (и+ ) !!о+1 1 2( +И „2+2„211 !»+1 Но так как ( — ~~-~г — — — ( ) > (и+ 2)"+', то требуемое 4ьт. выл~~ хй ( ~~ япхй О (хй (!г, У= 1, п. доказано. ь1 и При п = 1 меравенство справедливо.

Докажем, что гбп 2 хй й=1 жив справедливость исходного неравенства. +1 ( ) сйп хй, предполой=! В самом деле, если О ( хй ( х, то 41 /" мп~ хй = ьбп ~~ь хй созх„+!+сов ~~ 'хй з!пх„йь й 1 1=! й=! ( з!п~хй )сов х„.ьь~ + соя~ ха З!П Х„йь ( +1 З!П Х,1.1.1 = ~~' З1П Хй. Ьй о в1п ~~ь хь, + Б!п х .ь! ( ~ 3!п хй + й=! й=1 48.

(2 ).<г'"( .)', >1. Знак равенства имеет место тогда и только тогда когда х;1+ у; = О, 1 = 1 п, т. е. когда существует такое число Л ~ О, что у, = Лх,, 1 = 1, !ь, или когда все х„ь = 1, и, илн все у„ 1 = 1, и, равны нулю. П Доказать неравемства: 44. а) 11!<( — ),п>1; б)(о!) < ( Г!1+11" 2 /(и+1)(2п+1)1 /ь, п>1; 2 ~ 6 1 3 2п — 1 1 в) — . — ... , < 2 4 ' 21ь 1/2п+ 1 и неравенства а) и б) являются следствием неравенства О„( с„из задачи 42 при хй = й и хй = А~ (й = 1,п) соответственно.

Доказательство неравенства в) проведем с помощью метода математической индукции. При п ж 1 меравенство очевидно. Предполагая его справедливым при и, покажем, что оно справедливо и при и + 1. В самом деле, 2 4. Комплексные числа и При и = 2 неравенство очевидно. Исходя из справедливости его для и, покажеьг справедливость его для»1+ 1. В самом деле, (2» + 2)! = (2»)! (2»+ 1)(2п + 2) < 22»(п!) (2и + 1)(2п + 2) < < 2»(п!) (2»+2) = 2 "~ ((и+ 1))) .

Э» 'Упражнения для самостоятельной работ!2 ЗО. Пусть (-х) — множество чисел, противоположных числам х б (х), Доказать> что: а) гп(( — х) = — зор(х); б) ввр(-х) = — 1в1(х). 31. Применяя метод математической индукции, доказать неравенства: » ! ). ! а) и!>пг,п>2; б) (2» — 1)!<нг» ', п>1; в) ~ )г" <1» — ); —, п,раей. о+! 32. а) Доказап, что для любого выпуклого н-угольника справедливо равенство .Р»' т , где Р— число диагоналей. б) Доказать, что для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение и+14» Р» — — 2, где  — число вершин, Р» — число ребер, и — число граней. ЗЗ. Доказать неравенства: а) (хг+ хг + + х») < б) (х!+хг+ ...

+х») — „+ — + ... + — ~ >лиг, х, >0,1=1,»; Х»1»2 »" l в) т с(.,)г< ~ .г+ с тУг 34. Вычислить суммы: а)1 1!+2 2!+...+и н); б)1 +2 +...+»1; в)1 +2 +...+пз. 35. Доказать, что: 1(1+1) ... (й+т — 1) = 1т.п(п+1) ... (п+т), 1=! где т — натуральное число. Пользуясь этой Формулой, вычислить суммы: а) 1.2+2 3+ ... +п(а+1); б) 1 2 3+2.3 4+ ... +п(п+1)(п+2); в) 1 2 3 4+ 2 3 4 5+ ... + я(и+ 1)(н+ 2)(н+ 3). 36.

Доказать, что 1 1 ! 1 ) 1)ь+!). 112 ) (ю 1 +!)1»+2) . 1»+ -!) 1»! где т — натуральное число. Пользуясь этой формулой, вычислить следующие суммы: а) — + — + ... -1- —; б) — 4 — -)- ... -)- ! 1 1 ! ! 12 22 ' 1 +1)' 1.23 22! ' »1 +1)1+2)' ! ! 1 в) ! з.з! + г.з.»1 + + 1 +!)1 22)1 +з) ' 37. Решить уравнения: а) )х + Ц + )х( + )х — 1( = 6; б) х)х + 2) — )х + 1) — (х + 1))х( + 1 = О. ~4. Комплексные числа 4.1. Комплексные числа и действия над ними. Определение.

Комплексным числом х называе!пся упорядоченная пара (х, у) дей' ствительных чисел х и у. Ври этом равенство, сумма и произведение упорядоченнь!х пар» а также отолдестелгние неко!порыл из них с действительными числами опредеяяюпн)д следующим образом: 1) два комплексных числа 21 = (хг, у1) и 22 = (хг, уг) называются равными, если хз ж хг и у1 = уг' 32 Гл. 1. Введение в анализ 2) суммой комплексных чисел 21 и 22 называетсл комплексное число г вида г (х1 + х2 У1 + У2)! 3) произведением комплексных чисел 21 и 22 называется комплексное число 2 = (Хгхг — У1У2, Х1У2+ ХгУ1); в) множество комплексных чисел (х, 0), х б Я, отождествляепгся с множесгпвом действи1иельных чисел К. Разностью комплексных чисел 21 и 22, называется комплексное число г такое, что 22+2 = 21 откуда находим 2 = 21 — 22 — — (х1 — хг, у1 — уг) .