Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 3

1. Введение в анализ б) Поскольку хз — Зх с 0 для О < х < 3, то А = (х: 0 < к < 3). Неравенство тз — 4т+3 ) 0 справедливо для — оо < х < 1 и 3 < я < +~ю. Обозначим Р = (я: — со ( я С 1), Е = (з: 3 ( х < +со), тогда В = Р О Е. Используя свойства операций над множествами, находим: АОВ=АО(РОЕ) =АОРОЕ=(х: (0< к< 3) Ч Ч(-оо <к<1) Ч(3<к<+со)) =(х: — ооСт<+со); А ГЗ В = А П (Р О Е) = (А Гз Р) О (А П Е) = (х: (О < х ( !)Ч х б а) = (х: 0 < к ( 1); А!В = А)(Р О Е) = (т: х б А л (х И Р Ч х У Е)) = = (х: (х б А Л х б Р) ч (х б А Л х б Е)) = (Аг~Р) О (А!Е) = (т: 1 < х < 3); В'!А = (Р О Е) !Л = (г, (х б Р Ч х б Е) Л х ф А) = = (х: (х б Р л х ф А) ч (х б Е Л х ф А)) = (Р1Л) О (Е1А) = = (х: ( — со С х < 0) Ч (3 < х < +со)); А Ех В = А е.' (Р О Е) =- (ЛЦР О Е)) О ((Р О Е)1А) = = (я: (1 < х < 3) Ч' ( — оо < х < О) Ч (3 < т < +со)) = = (т: (-оо < х < 0) Ч (1 ( х < +со)).

в) Запишем явное выражение для множества А = (я: — 2 ( к — 1 < 2) = (я: — 1 < к < 3). Затем, решая неравенство ]х — 1[ + ]х — 2] < 3, находим явное выражение для множества В = (х: О < х с 3). Тогда Л О В = (х: (-1 < х < 3) Ч (О < х < 3)) = (т: — 1 «т < 3); А Г! В = (*: (-! « * З) Л (О С * < 3)) = (*: О < х < 3) ! А~ В = (х: (-1 ( х < 3) Л х ф]0, 3[) = (х: — 1 < х ( 0); В!А = (х: (О < х С 3) Л х ф] — 1, 3[) = П; А ЕХ В = (А) В) О (ЕЕ'ГА) = Л!,В = (х: — 1 < х ( 0).

» Рнс. 8 Рнс. т Рнс. 9 'Е. Имеем А = ((я,у): [х) + [у[ < 3) (рис. 7), В ((з, у); Чгяз + уз < З) (рис. 8), Р = ((х, у): гвах(]х[, ]у)) < 6) (рис. 9). Показать, что А С В С Р. М Пусть (к, у) б А, тогда [х[+ [у[ < Б.

Отсюда чтг77 ~ Ч * +7'и! + " и ! 1 + ь ! т. е. (х, у) б В, что, в свою очередь, влечет выполнение неравенства игах()я), ]у0 < Ч/ха+ уз < 3, а следовательно, и включение (х, у) б Р. Таким образом, АСВСР.» Рис. 10 8. Пусть А = (к: 2 < х < 4), В = (у: ! < у ( 3). Изобразить на плоскости хОу множество точек А х В, М Поскольку Л х В = ((х, у): (2 ( х < 4) л (1 < у ( 3)), то А х В есть совокупность точек прямоугольника, ограниченного прямыми к = 2, к = 4, у = 1, у = 3 (рис. 10). » 11. Элементы теории множеств 9.

Показать, что семейство В, замкнутое относительно объединения и разности, является кольцом. м Пусть А и  — произвольные множества семейства В. Поскольку А О В = А'1(А~В), а А С В, А1В С В, то А о В С Л. Следовательно, семейство В замкнуто относительно объединения, пересечения и разности, т.

е. является кольцом. 1» 10. Показать, что семейство В = (о, а), состоящее из непустого множества а и пустого множества П, образует кольцо. Является ли это кольцо алгеброй? ц Семейство В содержит своими элементами объединение а и и = и и разности о1И = а, э71п = И. Поэтому В замкнуто относительно объединения и разности, т, е., согласно предыдущему примеру, является кольцом. А так как элемент о Е А содержит все остальные множества семейства Л, то а — единица семейства. а Л вЂ” алгебра. М 1 1. Пусть множество г = (о, ф, 7) состоит из трех элементов, а Р(7) — семейство всех подмножеств множества 7.

а) Записать все алгебры, которые можно построить из элементов множества Р(Я), и указать их единицы. б) Описать все кольца, которые можно построить из элементов множества Р(7). в) Описать все полукольца, которые можно построить из элементов множества Р(Я и которые не являются кольцами.

< а) Простейшими алгебрами являютсж семейство (а), состоящее из одного пустого множества; три алгебры ((о), ш,), ((В),ш), ((7), а), состоящие из двух элементов с единицами, соответственно равными (а), (й), (7) (см. пре- дыдущий пример); шесть алгебр ((о, В), (о), Щ, ээ), ((а, 7), (о), (7), И), (Р 7) Р)* (7), Ю Нп,б), и), ((о,7), и) ((В 7) ш) единицами которых соответственно являются множества (о, ф), (и, 7), (В, 7], (о, Щ, (о, 7), (В, 7). Легко видеть, что любое из этих семейств замкнуто относительно объединения и разности; четыре алгебры (У, (и, В), (7), Ю (У, (п,7) У), и), (У (В 7) (о) и) (Х Ю единицей которых является множество,7.

Наконец, объединение всех перечисленных алгебр (,У, (о, В), (, 7), (А 7), (о) (В) (7), ш) также является алгеброй с единицей,У. б) Все приведенные в пункте а) алгебры, естественно, являются кольцами. Других колец нет. в) Всякое кольцо является полукольцом. Действительно, из условия, что А и А~ С А принадлежат кольцу В, следует, что А = А~ ОАэ, где Аэ — — А1А~ С В. Кроме того, в нашем случае можно построить примеры полуколец, которые не являются кольцами. Например, семейства ((и), (б), и), ((и), (7), а), ((В), (7), а), ((о, В), (7), ш), ((и, 7), Ю, Ю ((Ф,7), (и), ш).

В самом деле, в каждом из шести семейств пересечение любых двух элементов семей- ства принадлежит этому семейству. Далее, каждый непустой элемент семейства имеет в качестве своего подмножества только само множество, поэтому, например, для семейства ((/У, 7), (и), И), имеем (В,7)ж(ф,7)ыи=(ф,7), (о) =(п)ыи=(п), т. е. второе условие определения полукольца выполняется. Полукольцом является любое семейство, содержащее (о), (В), (7), а, но не совпадающее с Р(,т): ((и, В), (о), (Л), (7), а), ((а, 7), (а), (В), (7), а) и т.

д. 12 Гл. 1. Введение в анализ Покажем, например, что семейство В = ((о, Я, (и), (~У), (т), гз) — полукольцо. Действительно, пересечение любых двух элементов семейства Я снова является элементом Я. Далее, для всякого элемента В справедливо разложение: (о, д) = (о) О (д), (о) = (о), (д] = (д], (т) ж (т) на непересекающиеся множества. Таким образом, семейство Я вЂ” полукольцо. М 12. Пусть три числа а, 6 и с удовлетворяют неравенствам а с с с 6.

Показать, что семейство Я = ([а, Ь), [а, с], [с, Ь], [а, с[, [с, с], ]с, Ь), и), состоящее из сегментов и полусегментов, образованных точками а, 6 и с, является полуколь- цом, ио не кольцом. м Пересечение любых двух элементов семейства В есть элемент этого же семейства, т, е, Я замкнуто относительно операции пересечения. Далее, любой элемент семейства В допускает разложение на непересекающиеся части, принадлежащие Я. Например, [а, Ь] = [а, с]О]с, 6] = [а, с[О[с, с]О]с, 6] = [а, с[О[с, 6], [а, с) = [а, с[О[с, с] и т.

д. Семейство Я не является кольцом, так как оно не замкнуто относительно объединения. На- пример,[а, с[О)с, 6] не принадлежит Я. м заЗ. Доказать, что (А й В) х (Р й Е) =(А х Р) й (В х Е) М Пусть (х, у) б (А й В) х (Р й Е), тогда х б А й В и у б Р й Е, что равносильно тому,что хбАЛхб В и убРлуб Е. А поскольку хбАлуб Р,то(х,у)бАх Р.

Аналогично, из х б В Л у б Е следует (х, у) б В х Е. Таким образом, (х, у) б (А х Р) й (ВхЕ) и (Л й В) х (Р й Е) С (А х Р) й (В х Е). (2) Предположим теперь, что (х, у) б ((А х Р) й (В х Е)). Тогда (х, у) б (А х Р) л (х, у) б (ВхЕ) и следовательно, хбАлукР и хкВлуеЕ. ОтсюдахкАйВ и убРйЕ, т. е. (х, у) б ((А й В) х (Р й Е)) и справедливо включение (А х Р) й (В х Е) С(А й В) х (Р й Е). (з) ив вклточеиий (2) и (3) следует (1). 1» 'Упражнения для самостоятельной работы 1.

Доказать равенства; а) СОА„= [ ]СА,.; б) С[]Л,. = (]СА„ (см. равенстна (2) п. 1А), где и принадлежит произвольному множеству. 2. Пусть А С В и Р произвольные множества. Доказать справедливость включений: а) АйРСВйР; б) АОРС ВОР. 3. Доказать, что если А С В л А С Р, то А С В й Р. 4. Доказать, что если А С Р л В С Р, то А О В С Р. б. Доказать справедливость равенств: а) А гз В ж (А О В)1(А й В); б) А О В = (Л тг В) Ь (А й В); в) АттВ ж А тг (А й В). б.

Доказать, что для симметрической разности справедливо включение А ~г В С ((А А Р) О (В г."г Р)). т. Доказать справедливость включений: а) (Аг О Аг)'т(В~ О Вг) С (Ат ~Вт ) О (Аг~тВг) ~ б) (СЛ, ОСА.) 2,(сВ, ОсВ,) с С((сл,,бгсВ,) й(СА,,2 сВ,)), где Ат, Аг, Вт, Вг — подмножества множества т.

б.' Доказать что: а) (Ат О Аг) гг (В1 О Вг) С (Ат г."г Вт) О (Аг г2 Вг); 'б) (Ат й Аг) Ь (В~ й Вг) С (А~ гХ Вт ) й (Аг Ь Вг); " '. в] (атттАг)'Ы,Вт'тВг) С (Ат Ь Вт)тт(Аг а Вг), где Аг, Аг, ВО Вг — подмножества множества т, 9. Опредеютть множества А О В, А й В, А1В, В1А, А т1 В, если: 6 2. Функция. Отображение а) А=(х:-4<х<1), В=(х:0<х<4); б) А = (х: хэ — х — 2 > О), В = (х: бх — хэ ) 0); в) А=(х:в)вхх=О) В=(х:сов~*=О) 10. Определить множества А О В, А гэ В, А'1В, В'1А, А Ь В, если; а) А = ((х, у): ' + у' < 1), В = ((х, у):(х( + Ы ( 1)) б) А = ((х, у) ) )пак((х(, )у0 ( 1), В = ((х, у) ) )х) + (у( ( 1); ) Эх )), ) ) )*)+ ) ) 2), Все )), ~) ) ~ф* — 2) + ( — 2) 6); г) А = ((х, у): 1/ха+ уз ( 2), В = ((х, у): шак()х+1!, !у+10 ~ (2). 11.

Определить множество А х В, если: а) А=(х: — 2<х(1), В=(у: — 3<у<1); б) А т (х: 0 ( х ( 1), В = Р х Е, где Р т (у: 0 ( у ( 2), Е = (х: 0 ~ (к ~< 3); в) А = (х: — оо < х < +со), В = (у ) эса ку = О) ) г) А=(х:в)в)гх=О), В=(у: — со<у<+оо). 12. Пусть множество е состоит из четырех элементов о, )?, т и 6, а Р(Я) — семейство всех подмножеств множества ), включал и пустое множество. а) Построить примеры алгебр, единицами которых являются соответственно миолсества) (о), (о, )?), (о, )?, ?), (о,??, Ъ 6).

б) Построить пример кольца, которое содержит в качестве своик элементов множества (о )у ъ 6), (о) (О), (т), (6). Будет лн это кольцо алгеброй? в) Построить пример полукольца (но не кольца), содержащего множество (о, б,у,б)1 13. Показать, что множество всех сегментов, полусегментов и интервалов на числовой прямой является полукольцом, но не кольцом. 14. Показать, что семейство всех прямоугольников вида П=((х,у):а<х(6, с<у()(), где а, 6, с и )? — действительные числа, причем а < 6, с < )1, является полукольцом, но ие кольцом.