Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 5

е. Х(х) Е А л Х(х) К В. Но тогда х Е Х г(А) д х Е Х '(В), а следовательно, х Е (Х '(Л)1Х '(В)). Таким образом, Х '(Л~в) С (Х '(А]~Х '(В)). Если х Е (Х '(А)1Х '(В)), то х Е Х '(А) д х К Х '(В). Отсюда Х(х) Е А д Х(х) Е В, т. е. Х(х) Е (А1В). Но тогда х Е Х ~(А1В), что доказывает справедливость включения (Х (А)~Х (В)) С Х (А~В), обратного доказанному выше. Из зтнх включений следует равенство 6). в) Если х Е Х '(А О В), то Х(х) Е (А и В). Отсюда Х(х) Е А Ч Х(х) Е В, а тогда х Е Х '(А)Ч х Е Х '(В), т. е. т, Е (Х '(А) 0 Х '(В)). Таким образом, Х '(А о В) с (Х '(А) и Х '(В)). Если же предположить, что х Е (Х '(А) О Х '(В)), то х Е Х '(А) и х Е Х '(В) и Х(х) Е А и Х(х) Е В или Х(х) Е (А О В), откуда х Е Х '(А 0 В).

Следовательно, (Х '(А) и Х-'(В)) С Х-'(А и В), что выесте с обратным включением равносильно в), р 17. Пусть Х: Е Р, Р— семейство подмножеств множества Е, Ц вЂ” семейство подмножеств множества Р. Обозначим Х(Р)=(Х(А)ЕЯ:АЕР), Х '(9)=(Х '(В)ЕР:ВЕЯ), 12. Функция. Отображение Доказать, что: а) если Г'„à — кольцо, то Х '(Ь2) — также кольцо; б) если Р— кольцо тр Х(Р) не обязательно является кольцом. ц а) Поскольку Ц' кольцо, то из Вг б Я, Вг б гг следует (Вг гг Вг) б Я, (Вг'1Вг) с'га Тогда, согласно предыдущему примеру„ Х (В1) С Х (Вг) ш Х (В1 С Вг) б Х (Я); Х (Вг)1Х (Вг) = Х (Вг гВг) б Х Я), т.

е. Х '(12) — кольцо. б) Пусть Е = (а, Ь, с, 3), Р = (а', Ь', Н'), Х(а) = а', Х(Ь) = Х(с) = Ь', Х(4) = а', Семейство Рлл((а,б,с,Ы), (а,Ь), (с,й), к) является кольцом, однако Х((а, 6)) 1Х((с, Ы)) ш (а', Ь') 1(6', З') ж (а') й Х(Р) = ((а', М, Ы'), (а', Ь'), (Ь', с'), гэ), т. е. Х(Р) не является кольцом. 1 18. Какая из указанных функций Х: [О, Ц [О, 3]: а) х~ Змп —; б) хм16 —,*; в) хнЗ; г) х ~ 12(х — -); д) х ~ 3 — — [х — -); е) х1 2]х+ 2] — 3 инъективна, сюръективна или биективна? Построить графики этих функций. а а) Так как для произвольного у б [О, 3) уравнение у = Зэш — имеет единственное решение х = -агссйа ", принадлежащее сегменту [О, Ц, то функция х л Змв — * является л ' 3' г биективной (рис.

11). б) Пусть у б [О, Ц. Тогда уравнение ггх у=гк— 4 имеет единственное решение х = — агс1б у, принадлежащее сегменту [О, Ц, если у бг(0, Ц. Если же у б]1, 3], то уравнение (1) не имеет решений, принадлежащих [О, Ц. Следовательно, уравнение (1) для любого у б [О, 3] имеет не более одного решения х б [О, Ц, а поэтому функция х л гд — инъективна (рис. 12).

Ркс. 11 Ряс. 12 Рис. 13 Ркс. 14 Рис. 16 Рнс. 16 в) Если у б [О, 3], то уравнение у ш 3* имеет не более одного решения х б [О, Ц, Именно, при у б [1, 3] решением является х = Ьокзу, а при у б [О, 1[ — решений кет. Следовательно, х л 3* — инъекция (рис. 13). г) Пз уравнения у = 12 [х — -), у б [О, 3), находим хг = - — -Я хг = - + ЬЯ, причем, если 0 ( у ( 3, то оба кррии.ирнкадлвждт ]Ог 1], если у = О, то корки совпадают х, = хг = -' и принадлежат [О, Цг Следоввтельйо; 'э у б [О, 3] уравк ) 'иа [О, Ц имеет хотя бы одно ре1ление., Поэтому рассматриваемая функция с.

14). д) Пусть у б [О, 3]. Уравнение.у =3 ' 'Ь-(а ..-) имеет решение у ( 3, принадлежащее [О, 2], и,]гешенне хг = — + -~/9 — 3у, 0 ~( 11 1 1 яе]кащее [-, 1] . таким образом, т' у б [О, й] су)йеатвуег один или два прообр г' Ьгддцл сюръективна (рис. 15). Гл. 1. Введение в анализ а) х = а созг, у = аяп Г, 0 < 1 < л; б) х = а со» Г, у = а яп 1, э.

< Г < 2т (а > 0). я а) Поскольку функция 11 асозг, 1 Е [О, л], является биекцией [О, гг] [-а, а], то У х Е [-а, а] иэ равенства х = а сов 1 находим единственное значение 1 = агссоз —, принадлежащее сегменту [О, л]. Подставив зто значение во второе равенство, получим х1 у х1 хз у = а зга (агссоз — ) = а 1 — созз 15агссоэ — ) = аг/ 1 — —, а а 1г' аз' т. е. у = 5/аз — хз х е [ — а, а]. б) Обозначим т+ г = Г. Тогда, если г Е [О, л], то 1 Е [т, 2л], прн этом первое равенство приводится к виду х = — асов г.

Функция гг — асор» является биекцией [О, л] [ — а, а], поэтому ч х е [ — а, а] находим т = агссоз ( — -) = л — агссоз» и 1 = 2т — агссоз — *. Подставив найденное значение Г во второе ») » а" равенство, получим у = — 1/аз — ез, х Е [-а, а]. > 13л 5л1 оаэа. написать явное выражение для функции Уг [ —, — ] [4т, 5т], заданной неявно, [2' 2] посредством равенства 13т 51г1 япх — сову=0, хЕ [ —, — ], уб[4т,бл].

[2' 2]' я Для любого фиксированного х Е ['— , — ] имеем япх = 4, д Е [ — 1, 1]. Поэтому (1) равносильно уравнению со» у = 4, которое на сегменте [4т, 5т] имеет единственное решение. Этим доказано существование функции у 1 [ —, — ] [45., 5т]. Для записи аналогичного выражения функции у нреобра:гуем равенство (1) к виду ив х — яв — — у) = О.

1 2 Отсюда х †-+у х+- — у гаги ' ' =О. 2 2 Приравняв к нулю каждый множитель, находим два значения у: л у=х — — +2ил, 2 т У = — х+ — + 2пгг, 2 (2) пЕХ, и Е У. (3) В случае (2) иэ условия х б [ — ', — »] следует у Е [(2п + 1)гг, (2в+ 2)т] н не принадлежит [4т, 5т]» и б Х, т. е. у = х — — + 2пл не является значением функции Г ни при каком и Е Ж. е) Пусть у Е [О, 3]. Тогда уравнение у = 2]г+ 2] — 3 при у Е [1, 3] имеет единственное ре- 1 шение х = д —; если у Е [О, 1[, то зто уравнение не имеет решений, принадлежащих сегменту [О, 1]. Следовательно, х 1 2]х + 2] — 3 — инъекции (рис. 16). 1» 3гг 51г 19 Дана функция 1(х) = гдх, — < х < —, найти обратную ей. м покажем, что данная функция является биекцией у 1] з», 5 [ к.

с этой целью з' г обозначим х = 2т+ г, — — < г < —. Тогда 1 у Е К уравнение у = 15х принимает вид у = 1дг, г Е ]--, -[. Отсюда г = агс1ду и, пользуясь тем, что х = 2т+ г, находим 15» 5 Г х = 2т+ агсгб у; причем если у Е К, то х Е ] —, — (, т. е. биективность функции установлена. 15» 5 Г А посколыгу каждому у Е К соответствует единственное значение х Е ) —, — (, то обратную )3'1(' -1, 15 5"гг функцию )г гк-» ] —, — ( определяет соответствие уг 21г+ агсгбх, х е ) '— , — [. у аоО.

Написать явные выражения функций, заданных параметрически: В 2. Функция. Отобран!ение В случае (3) из условия х б [ —, — ] следует у б [(2в — 2)х, (2о — 1)л] С [4Х. Зх] при п = 3. При этом значении и из (3) находим явное выражение функции У 13«г 13х бх1 у= — х+ —, хб[ —,— ].» 2 ' [2' 2] 3«нражнення для самостоятельной работы 19. Пусть отображение У: Н [-1, 1] задано равенством Х(х) аа сов х. Найти: а) Х(0); б) У(-„); в) У(с); г) Х(у); д) Х([ — р —,"!)! е) У(] — 2, 2 [); «к) У ([О, в]); з) У([О, 2х]); и) У '(О)' к) У ' (-,); л) У ' ( —,') ' и) Х ' ( —,) н) У ([ 1,0])' о) У ([О 2 1)' и) У ([ — 2 «2 ]).

20. Для отображения У: [О, -] Н, заданного равенствами а) Х(х) = гбх; б) Х(г) = свбх, найти: У([0 в]) У([0 с]) Х([в з]) У '(]О 1]) У ' ([(«сз 2ХЗ])) Х 'ЯД 2 АЗ)). 21. Доказать, что если У: Е Г, А С Е, В С Е, то: а) Х(А О В) С (Х(А) ОХ(В)); б) (Х(А)!Х(В)) С Х(А!В). 22. Пусть У: Е Г, А С Г, В С Г.

Доказать, что если А С В, то У с(А) С У с(В). 23. Доказать, что если У: Е Г и А С Е, В С Г, то: в) У(А) О В = У(А О У '(В)); д) (У(А) с В) са (А с Х '(В)). а) А С У '(У(А)); б) У(Х (В)) = В; г) (Х(А) О В = а) вэ (А О Х '(В) = яг); 24. Какая из Функций Х: [ — 1, 1] [О, 1]! б) х! -х +1; д)' з +! а) х«сов —; 2 Г) Х 2 +! в) х «-']х]; е)х«2 ! инъективна, сюръективна или биективна? Построить графики. 23. Найти биективное сужение функций; а) У(х)=х, хбН; б) У(х)=вснх, хбй! г) У(х) = всп †', х > О; д) У(х) = 10*, х б Н; в) У(х) = сов х, х е И; е) У(х) = ха+ в+1, х б Н. 20.

Найти функции, обратные данным: 2Т. Найти явное выражение для функций, заданных параметрически: О С 1 + б) зас эас С вЂ” !+с« — с+, 20. Найти явное выражение для функции Х: [л, 2х] [з— , 22-] «заданной неявно совх+всвуааО, хб[х,2х], уб [ —, — ]. 29. Найти явное выражение для функции У; [х, 2л] [а, за], заданной неявно «2' 2 !' сов х+ всп у га О, х б [л, 2«г], у б [2, 2 ] . а) У(х)«аз!ах, хб[ — — ",— Я; в) У(х) ж сов х, х б [2 г, Зт]; д) У(х) =1дх, х к]+2, 2 [ 1" б) У(х)аавспх, хб [-, — ]; г) У(х) = сов х, х б [-?х, -бсг]; е) Х(х) = свбх, х б] — сг, 0[.

20 Гл. 1. Введение в анализ ~ 3. Действительные числа 3.1. Бинарные отношения и бинарные операции. Определение 1. Бинарным оюззношеиием в миожесоьве Е называется всякое подмно- жество В из произведения Е х Е. Определение 2. Бинарное огвиошсиис Р иазывиется о~ниошснием эквивалеигииости в множестве Е, если подмиожеспгво Р: а) рефлексивно: (а, а) б Р Ыа б Е; б) симмеп1рично: ((а, Ь) б 'Р) ~ ((Ь, а) б Р); в) троизитивно: Ца, 6) с Р Л (Ь, с) с 'Л) => ((а, с) с Р).