Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 9

Частным комплексных чисел 21 и гг называется комплексное число г такое, что гг 21. Отсюда находим Х1Х2 + 0102 Х2У! — Х102 хг+уг ' хг+уг ж Комплексное число (О, 1) обозначается символом 1 = (О, 1). Тогда (О, 1) (О, 1) = ( — 1, 0), т. е. 1 = -1.

Произвольное комплексное число х можно записать в виде 2 г=(х, у) =(х, 0)+(О, у) ж(х, 0)+(О, 1)(у, 0) =я+!у. Эта запись называется алгебраической формои комплексного числа. Комплексное число г = (х, — у) = х — гу называется сопряженным по отношению к комплексному числу г = (х, у) = х+ 1У 4.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Всякое комплексное число 2 = (х, у) можно изобразить как точку на плоскости с координатами х и у.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскосгпью, при этом ось Ох называется дейсглвительной, а Оу — мнимой. Расстояние г точки г от нулевой точки, т. е. число г = „/хг+ уг = А!22, называем модулем комплексного числа г и обозначаем символом ф. Число агсгб Х, если х>0, агс!3 —" + л, если х < О, у > О, В= агсгйх — !г, если х<0, у>0, — вйв у, если х = 0 называем аргументом комплексного числа я и обозначаем символом В = агц г. При заданном г углы, отличающиеся на 2пт, и б Ж, соответствуют одному н тому же числу. В этом случае записываем А!3 г = а!3 2+ 2ит, и б Е, и агй г называем главным значением аргумента.

Числа г и В называют полярными координатами комплексного числа г. В этом случае г = (х, у) = (1 сов В, г яв В) = г(сов В + 1 яп В) называется тригономеп1рической формой комплексного числа. Если 21 = (21 сов В1, г1 з1в В1), 22 ж (22 созВ2, т2 в!в 02), то 21гг = (г1гг сов(В1+ Вг), гггг в!и(В1+ Вг)), 21 уг! — = ~ — сов(В1 — Вг), — яп(В1 — Вг)) гг гг Для возведения в степень комплексного числа г = (гсов В, г зт В) применяем так называемую формулу Муавра г" = (г" соз пВ, г" яв пВ). Корень и — й степени комплексного числа г находим по формуле В+2Ьг „.

В+2йх'! к/г яв ), йжО,п — 1. и и 49. Доказать, что! а) 21+ 22 = 21 +221 б) 2122 = г! 32; в) (г)) = у, и б 1О. ч Пусть 21 = (Х1, у1), гг = (хг, уг). 14. Комплексные числа 12 б) (3/2 — 11/2); в) ( — ) д) (2+ 21); е) ( — 1/3 — 1) . а) (1 + 13/з)*'; < а) Представим компяексное число в тригонометрической форме Л ., (ГХ 1 + 13/3 ББ 2 ~соз — + 16(п - ), 3 3/' а) По опредеяению сопряженного числа » ( »*, в»юй(=(* », —,— Б(=(,, -в(»(*, -~(=»»Б.

(х1 В1)(хэ» у2) — 31 ' 22. в) Запишем комплексное число «в тригонометрической форме « = (г соз В, г вп В), тщдв В ж (гсоз(-В), г61п(-В)). Пользуясь формулой Муавра, имеем (2)" = (г" соэ( — оВ), г" згп(-»»В)) = (г" соз лВ, -г" 6(п оВ) = (г" соя пВ, г" ин пВ) = («э). ~ 50. Выпоянить указанные операции: ,Б 6 а) (2 — 1)(2+1) — (3 — 21)+ 7( б) (1+1); в) — + -) /3/3 1~ ~,2 2) ч С комплексными числами, записанными в апгебраической форме, операции сяожения, вычитания и умножения можно производить так же, как и с действительными биномами. При этом пользуемся тем, что 1 = — 1, 1 = 1 1 = -1, 1 ='1 1 = — 1 = 1 и т.

д. 4 3..2 а) Имеем (2 — 1) (2 + 1) — (3 — 21) + 7 = (2 — 1) (2 + 1) + 4 + 21 м = (2+1)((2 — 1)(2+1) + 2) = (2+1)(4+ 1+ 2) Ба 14+ 74. б) Согласно формуле бинома Ньютона, (1+1) = 1+41+ 4»2+41 +1 = 1+41 — б — 41+ 1 =' -4. l »/3 1 21 64'»3 136 ББ /3 46 6 /3 1 в) 1 — +-*1 = — +1 — — — — 1 — + — +1 — — — =-1. ~ь 2 2 / 64 64 64 64 64 64 64 51. Найти частное комплексных чисел: 1 2 2 . »»з а) .

б) , в) 2 2 1 + 1 '2 М Формулу для нахождения частного комплексных чисел «1 и «2 запишем в виде «1 «1 «2 «1 «2 «2 «2 . «г Пользуясь этой формулой, находим 1 -1 . 1 1 — 1 1 — 1 1 1 )1)2 ' 1+1 (1+1)2 2 2 2' 2 — 12 ~г 52. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) -3; б) -1; в) 1+1; г) -1+13/3. м Имеем: . Б а) ! — 3( = 3, В = (г, — 3 = 3(соз(г+ 16(в 3); б) ( — 1( = 1, В = — —, -1 = соз,--) +16(п,— -) ' в) (1+1( = 3/2, В = Б, 1+1 = 3/2 (соз-" +16»в Б); г) ) — 1+»ъ/3) = 2, В = —,, -1+13/3 = 2 (соз — ", +»эщ '— ,").» 53. Нычисяитгс Гл, 1.

Введение в анализ 34 затем, применив формулу Муавра, получим 1 / 5т,, бх5 1 /1/3 — 1 з/3+ 1 1 = — (СОБ — + 1взн — ) = — — + <в 61</6 1 12 12) 61.4 ~, 1/3 з/3 <) хз <1 д) (2+ 21)<' = (ь/8) ' (сов — +звгп — ) = (з/8)~' (сов — + зяп — 11 = 8 (2+ 21). 4 4 ( 4 4 ) . г г / — 5х, .

— 5х! г Г Г 35х1 .. Г Збт1 е) ( — 3 — 1) = 2 (сов — +зв1п — ) = 2 (сов (- — ) +зяп ( — — )) = = 2 ( — +зяп-) = 2 — +1- = 2 (<ГЗ+1). я „Гт .. т1 „/ ГЗ '16 6) ~ г з 54. Найти все значения корней: а) з/1( б) — 1 — 11/3. ~ а) Запишем комплексное число 1 в тригонометрической форме 1 =совО +<Б1ПО затем до формуле (1), п. 4.2, находим 25х .. 2Ьг 5<1 = сов — +зял —, й = О, 1, 2, 3. 4 4 Следовательно, л/! = сов 0' + 1яп 0' = 1 при й = О, ь/! = сов я+зяп т = — 1 при й = 2, б) Записав комплексное число — !в ъзг = сов — + з яп — = 1 при й = 1, < 5.

з. з 1/1 = сов — + 1яп — = — 1 при й = 3. 2 2 зл/3 в тригонометрической форме -1 — 1;/3 = 2 (сов (- — ) + звзп (- — ) ), находим 3 =, '+гйт, — ', +гйт'з — 1 — 11/3 = 1/2 сов +зяа, й = О, 1, 2. 3 3 Отсээда <с(-~~=и( (-а(<'< (-Ю 5:(- <г=м(.-(7(«-(7((. (с -ье-и(-(%< Н.ж(. 1=0, 5=1, й = 2. (1+зь/3) = 2 (сов — +зяп — ) = 2 за за 30<г 30т я 3 3 ) б) Аналогично предыдущему находим ,/2 —;,Гг = г („.

( ') + з в(, ( 4) ) ' (з/2 — 1</2) = 2 (сов ( — — ) +зяп ( — — )) = — 2 в) Представляя числитель и знаменатель дроби в тригонометрической форме, вычисляем частное з/2(сов( — — ) +зяп(--)) (< затем, использовав формулу Муавра, находим ( — ) = (сов ( — — ) +зяп ( — — )) = (сов ( — — ) +зяп ( — — )) = 1. 1/2 (сов-, +1'яп-,) 1 ~ 7т, 7х1 Г) — „< „— (СО — +<ЯП вЂ” 1; 1/3 — 13 21/3 !<сов 1< — б) + 1в1а ( з)) '/6 ( 12 12) ' с 11 1+1 1 1 / 77л .. 77;г! — (СО — +ззщ — ) = з/3 — 13) 611/6 ~ 12 12 ) 16. Векторные и метрические пространства 55. Решить уравнение за + 1 = О.

я Имеем Б = 1/-Т. Для вычисления всех значений ~/-Т применим формулу (1), п. 4.2,' 3 -л+ 2йк .. — к+ 2Ьг Б1= 3у — !=сов 6 + 3ЯП 6 кж6,5. 3 3г . 3г 1/3 3 Б1 = сое — + 3 Б!и — = — + —, 2' 6 6 2 2' 53г ., 53г АЗ 3 соБ — + 3Б!п = — + б 6 2 2 Отсюда Бе = сов ( — — ) + гяп 31--) =— 6) '1 6) 2 3Г .. 3Г Зз = СОБ — + 3ЯП вЂ” = 3, Зз 2 2 7к,, 73г 1/3 Бе = СОБ — + 3ЯП вЂ” = 6 б 2 3 9к ., 9к ББ = СОБ — + 3 Б1П вЂ” = — 3.

2' б б Упражнения для самостоятельной работы 38. ДОКаэатЬ, Чта а) Х1 — Бз = Бг — Бз! 6) ! '-Ь) ю Ы В) Р(З) = Р(Б), Гдв Л 3-3 Р(Б) — ' 3,33/ 33 алгебраический многочлен с действительнымн коэффициентами. 39. Выполнить указанные операции; а) (1+ 31/3); б) ~'; в) — *'" (хз+у ~ О). 40. Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел: а) (~ — 3 3 ); б) ( —,',„+,); в) (~-,— )- 41. Показать, что множество комплексных чисел, в котором введены операции сложения н умножения, образует поле.

42. Найти модули и аргументы сведующих комплексных чисел: а) ( — 4+ 33)з; б) (1+ 3)Б(1 — 31/3) "Б; в) 1+ сов -„+ гяп -„. Найти все значения следующих корней; 43. 1/3. 44. 1/ — Т+ 3. 45. К вЂ” 64. 46. 1/64. Найти корни уравнений: 47. Бз+ (5 — 32)з+ 5(1 — 3) = О.

49. Бз+ (1 — 32)з — 32 = О. 49. (з + 3)" + (х — 3)" = О. 50. Доказать, что модуль комплексного числа является абсолютным значением, т. е. 3х) удовлетворяет условиям; 1) )Б! д О гг ((х) = О еэ Б = О); 2) )хгзз) = )Б1ПБ3) 333Б1, Бз б с; 3) 3311+ Бз) ( ()ег) + 3313) 3/11, зг б С. 51. Доказать, что модуль комплексного числа удовлетворяет неравенству ПБ1! )Бзп < 3Б1 Бз! П 5.

Векторные и метрические пространства (здесь й — нулевой элемент группы). Н. Внетням бинарном операцим еь х Е Е: (Л, х) 1 Лх, удовлетворяющая следующим аксиомам: 6) (Л + 13)х = Лх + 13х; 6) 1 х=х. 5.1. Векторное пространство. Определение 1. Векпгорным просгпрансгиеом над полем К ю (Л, р, щ ... ) называегися множеспгео Е = (х, у, х, ...

), в котором определены: 1. Внуогреннмя бинарном операция Е х Е -3 Е: (х, у) 1 х+ у, оглносигпельно которой множество Е являепгсм абелевой группойг 1) х+(у+ ) =(х+у)+ ' 3) х+( — х) =9; Гл. 1. Введение в анализ , Элементы векторного пространства Е называют векглорами (нлн о»очками), а элементы поля К вЂ” скалярами. Если Клх Н, то Е называется дейс»пвительным векпьорным оространсьпвом, а если К т ьЕ» то Е называется комплексным век»парным просглранством. Определение 2. Всякое подмножество (г векпьорного пространен»во Е, обладающее двумя бинарными операциями пространства Е и являющееся ввкпьорным просгоранством над полем К, называепься векпьорным подпроспьрангпьвом пространспьва Е.