Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 10

В произвольном векторном пространстве выполняются следующие свойстваь 1) Лйтб; 2) 0 х=й; 3) (-1)х=-х. $.2. Нормированные векторные пространства. Нонятие абсолютного значения распространяется на векторные пространства над нормированным полем К. Определение. Нормой в векпьорном просп»рано»нее Е наэыеаетгя оьлображение Е В~:х~ ЦхЦ, В~=(обВ»0(а<+ос), удовлетворяющее следующим аксиомам: 1) (ЦхЦ=0) ~(хжй); .) ЦЛ*Цж)Л) И ...Е; 3) Цх+ УЦ < ЦхЦ + ЦУЦ»ь» х, у б Е (неравенство треугольника). $.3. Евклидова пространство.

Опредеьлепие 1, Пусть Š— векторное прогпьранство над полем Н. Опьображение Е х Е -» Н . "ьо(х, у) = (х, у), кол»орое каждым двум элеменгоам х и у из Е ставит в сооньеетствие действипьельное число, обозначаемое символом (х, у), назыеаепься скалярным произведением, если»ь» х, у, з б Е и»ьг Л б И выполняюглся следующие аксиомы: 1) (х, у) = (у, х); 2) (х + у, з) = ( ) + (у» з)ь 3) (Лх, у) = Л(х, у); 4) (х, х) > 0 гь ((х, х) = О) сз (х = У). Определение 2. Век»верное нросглрангпто, в котором определено скалярное произведение,, назьшаеьяся ееклидоеым просо»ракс»азам. $.4.

Метрическое пространство. Определение. Множество Е = (х, у, з, ...~ называется метрическим пространсевом, если определено отображение Е х Е В» (х, у)» р(х, у), кон»орое для любых х и у со»авил» в сооиьветствие нсоьлрицотельное дейспьвительное число р, удовлетворяющее следующим аксиомам 1) (р(х, у) = О) ~ (х = у); 2) Р(х У) = р(у, х)» х, у б Е (аксиома симметрии); 3) Р(х» у) ч Р(х, х) + Р(з у) т х, у, з б Е (нгровенсглво пьреугольника). Элементы метрического пространства называются точками, а число р(х, у) называется рассптянием между точками х н у нли ме»лрикой пространства Е.

Всякая часть Е метрического пространства Е, в которой определено отображение Г х Е Щ+юддллющеесл сУжецнем отобРаженил е х е мо: (х, У)»-» Р(х, У), называетсЯ меж(зйчяскцм подпросоьранством, а определенная в нем метрика — индуцироеанной мел»рикой. Метрическое надпространство само является метрическим пространством. $,$.

Окрестности. Определение 1. О»лкрытым (замкнуьлым) шаром с ценглром в точке хо и радиусом т в метрическом проспьрантлве Е называется множество (х б Е ь р(х, хо) < г) ((х б Е: р(х, хо) < г)). Открытый (замкнутый) шар обозначается Я(хо, г) (В(хо, г)). Аналогично определяется открытый (замкнутый) шар в векторном нормированном пространстве.

Определение 2. Открыпьым (замкнуто»я) шаром с центром в точке хо и радиусом т в векторном нормированном пространстве Е называется множеспьво .(к б Е: Цк — ко(( < т) ((к б Е: Цк — коЦ <К г)). $ б. Векторные и метрические пространства Определение 3. 011ькрЫЬЬЬЬЬО тар с центром о точке хо и радиусом 6 наэмааое2ея 6- .*'оо окрестностью точки хо. на действительной прямой и открытый (соответственно замкнутый) шар радиусьь б,ест»1, интервал ]хо — 6, хо + 6[ (соответственно сегмент [ха — 6, хо+ 6]). , ° .

»р1:1 56. Пусть И'" — множество всевозможных упорядоченных систем т дейсгднтелььАьуау чисел (хь, «2, ..., х ). пусть в множестве и~ определены; внутренняя бинарная оперяьцЩ И Х И И, КОтОрая дЛя ЛЮбЫХ дВук ЭЛЕМЕНтаа Х = (Хь, ..., Х ) И у = (уь, - ьуь») множества И ставит в соответствие элемент Х+ у = (Хь+ Уь, ..., Х + у и), называемый суммой х' и у; внешняя бинарнал операция И х И - И, которал для пиь4оге х Е И~ и любого Л Е И ставит в соответствие элемент Лх = (Лхь, ..., Лх ), называемый ирои»оедением А на х. Показать, что И~ — векторное пространство над полем И.

Оьь < Сначала покажем, что множество И является аддитивной абелевой группойь 'Действительно, для произвольных х = (хь, ..., х,), у = (уь, ..., У,„) и х = («1, '..., «,~.) в'силу ассоциативности действительных чисел, имеем Х+(У+ В) = (Хь+ (Уь +»1), ..., Х +(Ую+» )) = =((х +у )+, ...,(х,.+у )+х, ) — (к+'У~+нь Обозначим у = О = (О, ..., 0), тогда тх Е И~ выполняется равенство и+ О.т (ез+Ог.

..., х + О) = (хь, ..., х ) = х. Для любого х б И положим -х = (-хь, ... еят)11 тогда х + (-х) = (хь — хь, ..., х — х ) = (О, ..., 0) = О. Наконец, в силу коммутативнасти сложения действительных чисел К+У (Хь+У1 ', Х +Уьп) = (У1+Х1, .''ь Ум+Хм) = (Уьь ° ° ° Ущ)+(Хь . ° Хь») У+ Следовательно, все четыре аксиомы абелевой группы выполнены. Далее, из определений внешней и внутренней бинарных операций и свойств действителн» ных чисел непосредственно следуют равенства: ,.11'1 и аьь+Ььь ам+ Ьгт ... аь»+61» А+ В ам + 621 аж+ Ьээ ... аз»+62» а»,1+Ь 1 а 2+Ььа ... аю»+Ью« А(к+у) = Л(хь+ уь, °, хп*+ у ) = (Л(х1+у1), ° ° А(х ь+ уп )) = ь ь = (Лхь+ Ауь, ..., Лхю+Лу ) = (Лхь,, АХ„,)+(Луь, ..., Лу,) = = Л(хь, ..., х )+Л(уь, ..., У ') — Л1г+ЛУ) (Л+р)х=(А+р)(хь,"., )=((Л+р)хь,".,(Л+р)х )= = (А«1+Р«1,, АХ +РХ ь) = (ЛХ1, ..., ЛХпь)+(РХ1, "., РХпь) =Л(хь, ..., * )+р(х„..., х„,) Лх+ри; (Лр)х = ((Лр)хь, ..., (Ар)х~) = (Л(рхь), ..., Л(рх~)) = Л(рхь, ..., рх~) = Ль(фас~; 1 х = (1 х1, " ., 1 хп„) = (х1, ..., х и) = х, для произвольных х и у из И™ и любых А и р из И.

Таким образом, аксиомы', опредеь11Ы()ьдиеь векторное пространство, выполнены, а поэтому И является векторным простраиствауг йй(["" полем И. и 57. Пусть 021 — множество всевозможных прямоугольных матриц вида аьь аш ... аь„ а21 а22 ... аз„ (аь ) аЫ1 а 2 ° . ° апп гдеаоЕИ, 1=1,нь,6=1,а. Суммой матриц А'= (ач) и В = (Ьь ) назовем матрицу Гл. 1. Введение в анализ 38 а произведением матрицы А на число Л Е 16 — матрицу Лаы Лагг ... Лаг„ ЛА — Лаю Лагг ... Лаг Ла ! Ла г ... Ла, Показать, что И вЂ” векторное пространство над полем Н.

М Множество И матриц А = (а, ) размера т х и можно отождествить с пространством 64~" векторов х = (агг, ..., аг, ..., а г, ..., а,„„) при помощи взаимно однозначного соответствия (ап) (аы, ..., аг„, ..., амг, ..., а»„,). При этом для любых (а,!) Е И, (6;!) Е И и ЛЕК (а!)+(6!) (агг+6ы,..., а! +6г, ..., а г+6 г, ...,а „»6 „), Л(а „) (Лагг, ..., Ааг, ..., Ла,„г, ..., Ла ) (т.

е. пространство И иэоморфно пространству Н " относительно сложения элементов из И и умножения на скаляры поля И). Таким образом, И вЂ” векторное пространство над полем Н. м 58. Доказать, что пространство Н превращается в нормированное векторное пространство, если для произвольного х = (э!, хг, ..., хм), х Е 66, положим ! !=~г!+*Г...

+ а. (1) М Дая доказательства достаточно проверить выполнение аксиом 1) — 3) пункта 5.2. 1) Очевидно, )(х)) ) 0 и (8х)! = 0) гз (х = О). 2) Для любого х Е Н™ и УЛ б Н имеем ))Лх)) = -,! яхаг:»с -з~ ! ь 3) Покажем, что длл любых х = (хг, хг, °, х»!) и у = (у! уг У ) '8х+ У1 < '8хЦ + 8У/!. ~1аписывая неравенство (2) в координатной форме (2) и возводя обе части в квадрат, после упрощения получаем неравенство ~ х;у; < =! ~~ ~хг (3) '8А(( = ~~ г! (а, (.

м Выполнение первой аксиомы нормы очевидно. Далее У Л б Н и !!' А Е И имеем » )(ЛА8 = ) 2 )Ла,г) = ~~! ~~ )ЛЦа,г! = )Л( г»! ~~ )а;г) = (Л!. !)А)), =! г=! =! г=! г=! г=! т. е. вторая аксиома также выполняется. эквивалентное неравенству (2). Неравенство (3) называется иеравенспгвол Кегли — Буняковского; его справедливость уже доказана (см. пример 43).

Следовательно, равенство (1) задает норму в м~. Ь 59. Доказать, что векторное пространство И, элементами которого являются матрицы размера т х и, является векторным нормированным пространством, если для произвольной матрицы А = (а„), ! = 1, пг, ! = 1, и, положить Ц б. Векторные н метрические пространства Остается проверить выполнение неравенства треугольника. Пусть А, В Е л)3 — произвольно заданные матрицы размера щ х л, тогда « «« ЦА+ВЦ=~~~ ~ ~]аб+Ь, !< ~ ) (]а, ]+]Ь, !)= ) ~ ]а, ]+~ ~~> ]6О]=ЦАЦ+ЦВЦ. =1 «=« =1 ««1 =1 >=1 ом З=г Таким образом, все аксиомы нормы выполняются, а позтому равенство (1) задает норму в ОЯ, превращая его в векторное нормированное пространство над полем ]л.

М 60. Пусть С множество всевозможныл ограниченных функций у: [а, 6] -«!й. Показать, что множество С становится векторным нормированным пространстдом иад полем !й, если для произвольной функции у положить ЦЯ = зар ]Х(х)!. «Л!«А! ч Легко убедиться, что С является векторным пространством над полем !л, если равенст!ю (Х+ д)(х) = у(х) + д(х), х Е [а, 6] определяет сложение в С, а (ЛУ)(х) = ЛУ(х) — умножение на скаляр поля И. Остается проверить, что для числа [Я, определенного формулой (1), выполнюотся все аксиомы метрики.

1) поскольку ! г(х)! ) О, то Ц г Ц = зар ]у(х)! ) О; кроме того, Ц уЦ = О тогда и только тогда, когда ]г(х)! = О, т. е, когда г; [и, 6] О, а такое отображение является нулевым злемеитом векторного пространства С, 2) Для произвольной функции у" б С н любого Л Е К имеем ЦЛу'Ц ж злр ]Лу"(х)! = злр ]ЛЦу"(х)! = ]Л! злр Щх)! = ]ЛЦ]у Ц. «л1«,ь! «л1,ь! а!«А! 3) Из неравенства треугольника для абсолютного значения и свойств точной верхней тра ни следует неравенство Щх)+д(х)! < ]у(х)]+ ]д(х)! < зар Щх)]+ злр ]д(х)! = ЦуЦ+ ЦдЦ т У, д Е С, У х Е [а, Ь]. л1 <ь! 61,Ь! Поскольку множество 01(х) + д(х)!), х е [з, 6], ограничено числом Ц г Ц+ ЦдЦ, то точная верх- няя грань «того множества, которая, согласно равенству (1), равна Ц г" +дЦ, также ограничена зтим же числом.

Оледовательно, зар 1((х)+д(х)! ж ][У+дЦ » <]Щ)+ЦдЦ, *е!«А! ! ЦхЦ вЂ” ЦуЦ ! < Цх — уЦ. М (:атласно неравенству треугольника, ЦхЦ = Ц(х — у) + уЦ < Ц* — уЦ + ЦуЦ, ЦхЦ вЂ” ЦуЦ < Цх — уЦ, откуда Меняя местами х и у, имеем ЦуЦ вЂ” ЦхЦ < Цу — хЦ = Ц( — 1)(х — у)Ц = ! — 1! Цх — уЦ = Цх — уЦ или — Цх — уЦ < ЦхЦ вЂ” ЦуЦ.