Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 11

из (2) и (3) непосредственно следует (1). м (3) что и завершает проверку аксиом метрики. М 61. Показать, что для произвольного векторного нормированного пространства'Е =. (х, у, х,...) справедливо неравенство Гл. 1. Введение в анализ 62. Доказать, что векторное пространство И (см. пример 59) становится евклидовым пространством, если для произвольных двух эаементов А = (а;,) и В = (Ь; ) положить иг (А, В) = ~~! ~а,гЬ,!.

и! ги! М .Для доказательства достаточно проверить, что (А, В), опредеяяемое равенством (1), удовлетворяет четырем аксиомам скааярного произведения (см. и. 5.3). Выполнение трех первых аксиом непосредственно следует изопредеяения числа (А, В): и и и и 1)(А,В)=~'~;а,Ь! =~'~ Ьоа; =(В,А); !и!!и! *и!!=! 2) дяя произвольных матриц А = (а;!), В = (Ь,!) и С = (с,!) имеем и! и и и (А+ В, С) = ~~ ) (а,„+ ЬО)со = ~~ ~~! а„с,г+ ~ ~ Ьос,! — — (А, С) +(В, С); !=! ги! и! ги! г! ! 3) пусть ЧА О И и ЧАЕК, тогда и (АА, В) = ~~! Д~! Ла,гЬ, = А !! ~~' а! Ь„= Л(А, В); и! ги! и! ! 4) дяя любой матрицы А 6 И находим откуда следует, что (А, А) ) О и (А, А) ж О тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны нулю, т. е.

когда А = О, где Π— нулевой зяемент векторного пространства И. Следовательно, выполняются все аксиомы скалярного произведения, т. е. равенство (1) задает скалярное произведение в векторном пространстве И, поэтому И вЂ” евклидова пространство. М '83. Показатги что нормированное векторное пространство Е = (х, у, э, ... ) становится метрическим, если для любых элементов х и у из Е положить р(х, у) = 11х — 311. Ч Покажем, что выполняются аксиомы метрики (см. п. 5.4). Действительно, из свойств нормы вытекает, что: . 1) Р(х У) = 11х У11 ) О, причем р(х, у) = О тогда и только тогда, когда х — у = д, т.

е х= у; 2) р(х, у) = 11х — У11 = 11( — 1)(у — хЦ = 1 — 11 11у — х11 = 11у — х11 = р(у, х); 3) Р(х, У) = 11х — У11 = 11х — г+ х — У11 < 11х — г11+ 11э — у11 = р(х, л) + р(з, у) Ч х, у, з б Е, Следовательно, все аксиомы метрики выпоаняются, поэтому Š— метрическое пространство. м Упражнения для самостоятельной работы 52. Доказать, что множество С( г', д, Ь, ... ) всевозможных отображений множества Е в векторное пространство Е над полем К само является векторным пространством над тем же повем Ж.

53. Показать,что множество комплексных чисел С образует векторное пространство над нолем действительных чисел К. 54. Показать,что векторное пространство К~ становится нормированным, если для любого элемента х ж (хг, хг, ..., хм) норму 11х11 введем одним из следующих равенств: а) 11х11 =1хг)+1хг1+ ... +1х 1 (октаздрическая норма); б) 11х11 = !пах 1х,1 (кубическая норма).

гь!ц!и 6 5. Векторные и метрические пространства 55. Какие из равенств .~Н »1 «11г Яг а) ((х((= ~ 6 )ха); б) ((х)) ж ~/ ~ «гхг, «> О, 1 = 1, ги; и 1 1 в) )(х)) = (хг)+ )хг1+ ... + )х 1); г) Ох(( = глах «1)х,(, «; > О; д) )(хО = шах (хг( задают норму в векторном пространстве И"'г 56. Показать, что в векторном пространстве йй, злементами которого являкнкилнатунцы А = (ан) размера ш х п, норму !(А!! можно ввести одним из следующих равенств: "' ' . г! 1;". и и и а) ))А)) = ~' ~ ' аг; б) ))А)) = гаах ~ )а, ); в) ОА)) ж глах ~ )а11); г) )(А)) — пыкг)?111(. и! ги! 1»,»м ' 1»1»»" 57. Пусть ОВ? то же, что и в предыдущем примере.

Указать, канне из равенств и и т-1 и а) ОА(( = ~, ~, «,гаг, «о > О; б) ((А(! = ?,' ~, аг; !и!ги! !и! 1»1 и В) )!!А!!! != ~и ~ , '«11(а,!), «„> О; Г) ОАО ж !Лак «11)«11), «,1 > О; 1»»и! д) ))А!) = так «,1)агг!! «,1 < 0; е) )(А)) = !пах «0)аб), «О > О, га > 2 1»1»и г»!» и задают норму в пространстве 01!. 58. Исходя из определения метрики, доказать,что в пространстве Й™ расстояние'мевц(у произвольными точками х = (х,, хг, ..., хи!) и у ж (у„уг, ..., уи,) можно определить о)Пипл из равенств: а) р(х, у) ж ~ (х, — у,)г !и 1 б) р (х у) = Е Ь вЂ” у4 !и! т г) р(х, у) = ~ «;(хг — у;)г, «; > 6', ги! 9,(! > О; е) Р(х, У) = щах («!(х1- У1)), «, > 01 .

1»1»иг '1'1 'Т аксиом метрики показать, что в пространстве, Щгдлгь размера иг х и, расстояние между произв«ханыгой,тнчуи в) р(х, у] = юах )х, — у1(; 1<!» д) р(х, у) = ~ «1)х, — у ), «; !=1 59. Непосредственной проверкой ментами которого являются матрицы ками (матрицами) Аж(а,г) и В = (6„) и могкио ввести одним из равенств: а) р(А, В) = ~ ~ (а;1 — 6,1)г; 1»11=1 б) р(А, В) = щах ~, )аг — 611)! 1»1»иг т в) р(А, В) = глах ~, '~а11 — 611) 1»!< г) р(х, у) = г-уг~-+ (-азха)-! е) р(х, У) = гаах((-1гхг), )-гзуг в) р(х, у) = щах !1х, — у,); !<!<г Д) Р(11 У)= г + г) р(А, В) = мах )а!1 — 60). 1»1»- 1»!'» 60.

Пусть Š— метрическое пространство с метрикой р: Е х Е и мт. 1» Гг Показать, что если, кроме того, Е и векторное пространство, то оно являетгл нормированным пространством с нормой ((ху = р(х, В), где х — произвольный, а  — нулевой элементы пространства Е. 61. Изобразить множество точек, которое является замкнутым (открытым) жаром В'618!» трическом пространстве Н, если метрика р определена одним из следующих равенств: ' '"" 1 а) р(х, У) = (х! — у!)г+(хг — уг)г; б) р(х, У) = )хг — у!)+)хг-уг(;, ь л.

1. Введение в анализ ~ 6. Предел последовательности б.1. Понятие последовательности. Определение. Посведовашсльиоспьью элемеиошв множества Е называется отображение И Е:ььь х, ьв. е. 4Ьункиия, кошорая каждому иапьуральиому числу и к И спьавит в соответствие элемент х б Е. Для записи последовательности употребляем обозначения (х„), илн хь, хз, ..., х„, ..., или хоту(п), пбИ.

Эаементы хь, хз, ..., х„, ... называются членами последовапьельиосши, а х — общим членом последовапьсльиоспш. Множество Е может быть различным, например: И, Ьс™, С[а, Ь], 971 н т. д. Если Е = К, то последовательность называется числовой, если Е = мю, — векторной, если Е = С[а, Ц, — 4Ьуикпиональиой, если Е = Оу(, — матричной и т. д, В каждом из этих случаев множество всевозможных последовательностей образует векторное нормированное, а следовательно, и метрическое пространство.

8.2. Сходящиеся последовательности н их свойства. Сначала рассмотрим числовые последовательности. Определение. Последовапьельиость (х ) двйсшвипьельиых чисел называепься сходящейся, если сущеептуепь дейспьвипьельиое число а и для произвольного е > О еущеетвуепь натуральное число пь такое, чпьо для всех и > пь справедливо нсравеиспьво 1х„— а! < е. При этом число а называют пределом последовашельиоспьи (х ), что символически записывают 1нп х„ = а или х„ а при и — оо. С помощью логических символов определение запишется следующим образом: числовая последовапьельиоепьь (х„) называепься сходящейся, если 3 а б К Л 'з' е > О д пь б И: ььь > т т 1х — а( < е. Если последовательность не является сходящейся, то ее называют расходящейся. Теорема.

Если ььоследоваиьельпоспьи (х„) и (у„) дейсшвипьельиых чисел сходяьлся и Ыпь хь т а, 1пп у» — — Ь, пьо 1ьпь(х +у )=а+Ь, 1ьпь х„у =аЬ, ьь 1пп — "= — (у уейуььбИ, Ьфй). Ь б.З. Признаки существования предела, 1. Если У (хв(звьУьь>ььв и !пп У = 1нп з =а,то д11ш х =а. 2. Монотонная н ограниченная последовательность имеет предел.

3. Числовая последовательность (х„) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда Уе > О д ьн б И: У и > ьп Л у 1ь б И ~ (х в„— х„( < ь (критерий Коши). б.4. Число е. ьь Последовательность и ь-ь [1 + -„), и к И, имеет конечный предел, называемый числом е: 1ьп йш 11+ — ) = е = 2,718 281 828 459 045 ь юЬ ьь 1 б. Предел последовательности 6.5.

Предел в несобственном смысле. Определение 1. »»-окресгггиоспгью "пгочки +оо" ("точки — оо") наэываетев множе ство точек И, удовлетяворяющих иеравеисигву Ь < х < +оо (-оо < х < — с»); (э — окрести осигью "точки оо" называется множество птчек Й, не принадлежащих сеп меппгу [ — Ь, »»]. Определение 2. Числовая последова»пельноспгь (х ) имеепг предел +со ( — оо), или серемипгся к +со ( — оо), если тс»>ОЗтбИ;Ьи>т~х >Ь (УЬ>ОЪ~ь бИ;Уп> пг~ьхь < — 21). Числовая последовательиосигь (х„) имеепг предел оо, если ЧЬ > О В т б И: Чн > гл щ~ ]Хя] > ('.».

6.6. Частичные пределы. Верхннй н нижний пределы. Определение 1. Если частичная последовательность (х„„) сходипгся, то ее предел иаэываегпся часпьичным пределом последовапгельпости (х ). Определение 2. Число а б )к паэываепгся предельной агапкой числовой послвдоваэпела иосгяи (х„), если любая ее окрестность содержипг Бесконечное число членов последоваэпепьи о с пг и. Частичный предел последовательности является одновременно н ее предельной точкой. Определение 3. Наибольиьий (паимеиьший) часпьичиый предел числовой последоетпелапости (х„) паэываспгся ее верхним (пижпим) пределом и обозначается символом 1г»г» хя ( 1»гв хо)' и оо Теорема. Любая числовая иоследоваптльпость имеепг верхний и нижний предала» (») (») (») Оы агг ...

аг„ А»= ...., )»6И, (") (») (») такая, что д 1щг ар , р = 1,п, е = 1, т, то эта последовательность сходится н справедлнво »' о равенство )гп» а, ... )гт а, (») (") 1нв а( ) » !нв А» = » о, (») Ьп а »-ю 1пи а (») » /2п+11 64. Доказать, что последовательность (х„) = < — ~ сходится к числу 2. щ Имеем ]х„— 2] = ~ ~"~' — 2~ ж г . для любого е > О Л и» б И такое, что — < е (Сф 1 пример 28).