Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 2

»ем Определение б. Симмегприческвй раэиосиэью двух множеств А и В называется миождсгиао, определяемое объединением разностей А1В и В1А (рис. б). Симметрическую разность обозначают символом А ~ь В. Определение 6. Два элемента а и Ь называются упорядоченной парой, если указано, какой иэ эгэгих элементов первый, какой вигорвй, гьри ээивм ((а, Ь) = (с, И)) с (а = с л Ь = И).

Упорядоченную пару элементов а и Ь обозначакэт символом (а, Ь). Аналогично определяется упорядоченная система из и элементов аэ, аэ, ..., а„, которую обозначают символом (аы аэ, ..., а„). Элементы аэ, аэ, ..., а„называются координатами упорядоченной сисиггмы (аы аэ,, а„). Определение 7. Совокуиносигь всевозможных упорядоченных иар (а, Ь), где а Е А, Ь Е В, называется ироиэведвиивм множеств А и В и обозначается символом А х В.

Аналогично, символом Аг х Аэ к ... х А„обозначают произведение множеств Аэ С .э, у = 1, гг, т. е. совокупность вс»возможных упорядочеинык систем (аы аэ, ..., а„), где а, Е Аэ, у = 1, и. т 1. Элементы теории множеств 1.3. Булева алгебра. Пусть А, В и Р— произвольные подмножества множества Я. Тогда непосредственно из определений объединения, пересечения и дополнения вытекают следующие предложения: 1) А О В С Я, А й В С / (замкнутость операций объединения и пересечения); 2) А 0 В = В О А, А «ь В = В «ь А (коммутативность операций объединения и пересечения); 3) А о(Во Р) = (Ао В) О Р, А и (В ьз Р) = (А и В) и Р (ассоциативность операций объединения и пересечения); 4) А О (В О Р) = (А О В) «1(А 0 Р) (дистрибутивность операции объединения относительно операции пересечения); А й (В 0 Р) = (А й В) 0 (А ГьР) (дистрибутивность операции пересечения относительно операции объединения); 5) А О А = А П А = А; 6) (А О В = В) е» (А «ь В = А); 7) Аои=А, А«ьУ=А, Ащп=а, А0,2=,2; 8) А о СА =,У, А «ь СА ю яь.

Если для элементов множества а = (А, В, С, ... ) определены объединение 0 и пересечение П. для которых выполнтотся отношения 1) — 8), то тройка (а, О, «1) называется булевой алгеброй. Таким образом, если а — семейство всех частей множества Я, то (а, О, П)— булеза алгебра. 1.4. Принцип двойственности. Для произвольных подмножеств А и В множества 2 справедливы равенства С(А О В) = СА О СВ, С(А й В) = СА О СВ.

Свойства, записанные равенствами (1), называются принципом двойсьнвенности. Их можно прочитать следующим образом; дополнение к объединению множеств равно пересечению их дополнений, а дополнение к пересечению множеспьв равно объединению их дополнений. Без труда принцип двойственности переносится иа произвольное число подмножеств Я»; при этом записывают «'0А»=п«А» «ПА» =ОСА». (2) » » » » В этом случае символ дополнения С можно менять местами со знаком 0 или О, при этом знаки эти переходят один в другой. А=АьОАзО ...

ОА где символ О взначаеьн объединение непересекающихся мномеспьв. 1. Доказать справедливость отношений 1) — 8) пункта 1.3. 4 1) По определению 3, п. 1.2, А О В = (х Е,У ь х б А Ы х б В), следовательно, из включения х б А О В следует х б У, т. е. А О В С У. Аналогично, по определению 4, и. 1.2, А о В = (х б,У ь х б А А х б В), поэтому из включения х б А «ь В следует включение А О В С Я. 1.8. Алгебра множеств. Пусть .7 — некоторое множество, а Р(;г ) — система всех подмножеств множества,г .

Определение 1. Непуспте семейство Л С Р(Я), замкнутое относительно операций объединения, ььересечения и разносит множеств, называепься кольцом множеспьв. Определение 2. Множество Е называепься единицей семейства множеств Е, если Е б Е и ЫА б Е справедливо равенство А О Е = А. Определение 3. Кольцо множеспт, содержащее в качестве своего элеменьаа единицу, называешся алгеброй множеств.

Определение 4. Семейтавв множеств Я С Р(г) называетсн полукольцом, если оно содержипь пустое множешнва и если ЫА б В и ЫАь С А сущеспьвуюьн такие множества Аз, Аэ,...,А бЯ,чтв Гл. 1. Введение в анализ 2) Поскольку высказывание х Е А и т Е В равносильно высказыванию х Е В Ч х Е А, то А О В = (х Е Я: х Е А Ч х Е В) = (х Е У: х Е В Ч х Е А) = В О А. Второе равенство доказывается аналогично. 3) В силу свойств логического символа Ч, имеем А О(ВО Р) = (х Е т: х Е А Ч х Е (В О Р)) = (х Е У: х Е А Ч (х Е В Ч х Е Р)) = = (х Е Я: (х Е А Ч х Е В) Ч х Е Р) = (х Е У; х Е (А О В)Ч х Е Р) = (А О В) О Р.

Второе равенство из 3) доказываетсл аналогично. 4) Имеем А О (В Гг Р) = (х Е 7; х Е А Ч х Е (В П Р)) = =(хЕЯ;хЕАЧ(хЕ ВЛхЕР)) =(хЕЯ;(хЕАЧ хЕВ) Л(хЕ АЧх Е Р)) = = (х Е,у: (х Е А О В) Л (х Е А О Р)) = (А О В) ГЗ (А О Р). Второе равенство доказывается аналогично. 3) Пусть х Е А и А, тогда х Е А Л х Е А, т. е. х Е А и, тем самым, справедливо включение А О А С А. Обратное включение А С А о А непосредственно следует из определения объединения. Из двух последних включений вытекает равенство А О А = А.

Равенство А П А ж А доказывается аналогично. б) Предположим, что справедливо равенство А гт В = А. Тогда (А Г1 В = А) =:Ь (А С А и В) => (А С В). Пользуясь полученным включением, находим А О В = (х Е У; х Е А Ч х Е В) С (х Е Я: х Е В Ч х Е В) = В. А поскольку А о В ~ В, то А о В = В. Таким образом, (Аг1 В=А)~(АОВ=В). (1) Пусть теперь А о В = В.

Тогда справедливы импликации (А о В = В) =т (А и В С В) =г (А С В). Пользуясь включением А С В, находим А гт В = (х Е Я: х Е А Л х Е В) З (х Е У: х Е А Л х Е А) = А. А поскольку справедливо и обратное включение А г1 В С А, то А Г1 В = А, следовательно, (А и В = В) хт (А Гт В = А). (2) Иэ (Ц и (2) следует (А г1 В ж А) еэ (А О В = В). Т) Если х Е А о в, то х Е А Ч х Е а. Поскольку множество и не содержит ни одного элемента, то иэ х Е А О тг следует х Е А, т.

е. А О а С А, что совместно с включением А О тз Э А равносильно равенству А О и = А. Далее,иэ о С А Г1 и С и непосредственно следует равенство А О а = З. Поскольку А С Я, то А П У = (х Е Я: х Е А Л х Е Я) й (х Е 7:х Е А Л х Е А) = А, что совместно с включением А Г1,т С А влечет равенство А О .7 = А.

Наконец,непосредственно из включений .У С А О Я С .У следует равенство А О,У = У. ~ 8) Согласно свойству 1), А 0 СА С .У. (3) Пусть х Е .У, тогда если х Е А, то х Е А и СА; если же х Е А, то х Е СА и снова х Е А О СА. Таким образом, из х Е .7 следует х Е А О СА, т. е. Я С А О СА. (4) Из (3) и (4) следует равенство А о СА =.У. (5) Для доказательства равенства А Г1 СА = и покажем, что множество А Г1 СА не содержит ии одного элемента. Действительно, согласно равенству (5), любой элемент множества,У принадлежит А или СА.

Если х Е А, то х Е СА и, следовательно, х ф А О СА. Если же х Е СА, то х Е А (так как еслибы х Е А, то х ф СА), и снова х ф А О СА. Поскольку множество А О СА не содержит ни одного элемента, то это множество пустое, т. е, А Г1 СА = и. й 11. Элементы теории множеств 2. Доказать принцип двойственности: с(Аов) =сАпсв, С (А П В) = СА О СЫ (1) (2) (см. равенства (1), и. 1.4).

и Докажем равенство (1) (равенство (2) доказывается аналогично). Пусть х б С(А о Ы), тогда, согласно равенству (5) предыдущей задачи, х К А О В, т. е, х К А Л х й В. Отсюда т с СА л г б СВ, а следовательно, я б СА П СВ. Таким образом, С (А О Ы) С СА гз СЫ. (3) Предположим теперь, что х б СА Г1 СВ. Тогда х б СА Л я б СВ, т. е. л И А Л я (3 В, а значит, я й А 0 Ы и х б С(А О Ы). Отсюда С (А О В) С СА гз СВ.

(4) Из включений (3) и (4) следует равенство (1). 1» 3. Доказать равенства Ю и 5) задачи 1, получаем первое из равенств (1): В) = (А о А) с (А о В) = А г1 (А о В), О В) = А. Есви х Е А г1 (А О В), то в б А Л я б А О В ип Ао(Агз В) =Ап(АО В) =А М Пользуясь свойствами 4) А О (А гз Остается доказать, что А й (А следовательно, А 1з(А О Ы) С А. (2) Если же х б А, то т б А О В, а значит, л к А Гз (А О В), т. е. А САГЗ(АОВ). (3) Из включений (2) и (3) следует второе из равенств (1).

> 4. Доказать равенства: а) ('СА = А; б) С,У = Н; в) СН = .7. П а) Если х б ССА, то х ф СА, а поэтому х б А и справедливо включение ССА С А. Наоборот, если г б А, то г й СА, а поэтому х б ССА и справедливо включение А С ССА. Из доказанных включений следует равенство а). б) Множество С.у пустое, так как отрицание х К С У справедливо для любого х б,7. в) Если х к,7, то э ф н, а поэтому л к Сн и, следовательно,,7 С Са.

Поскольку всегда Си С .7, то из последних двух включений следует равенство в). > 5. Доказать справедливость включения (А(В) С (А(Р) и (Р~Ы). < Пусть х б (А'1Ы), тогда х б А л л ф В. Если при этом хфР, то я б (А1Р) н, следовательно, г б (А1Р) 0 (Р1Ы). Если же л б Р, то поскольку я ф В, находим,, чтд, х б (Р1В), а поэтому х б (А1Р) о (Р1В). Таким образом, как при х ф Р, так и'прй х к Р из условия т к (А1Ы) следует х б (А1Р) о (Р1В), что равносильно доказываемому включеникь й 6. Определить множества А О В, А Гз Ы, А1Ы, В1А, А Л В, если: а) А = (г; 0 < г < 2), В = (т: 1 < я < 3); б) А=(х:хз — Зг <О), В=(л:л — 4х+3) О); в) А = (х: ]я — 1] < 2), Ы = (х: [л — 1]+]х — 2] < 3).

и Пользуясь определениями объединения, пересечения, разности и снмметрнческой3эаз. ности множеств, находим: а) А О В = (г: (О < л < 2) Ч (1 < я < 3)) = (х: 0 < х < 3); А Г1 В = (х; (О < х < 2) Л (1 < х < 3)) = (я: 1 < х < 2); А1В = (л: (О < х < 2) Л г ф [1, 3]) = (л: 0 < х < 1); Ы(А = (г: (1 < х < 3) Л х ф ]О, 2[) = (»: 2 < х < 3); А Л В = (я: (А1В) О (Ы1А)) = (л: (О < х < 1) М (2 ( (х ( (3) ). -,с 10 Гл.