Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (Все учебники), страница 2

Свойства коэффициента корреляции двух случайных величин (выборочно). 10. Неравенство Чебышева. 1! . Предельная теорема Бернулли для относительной частоты события. Умения, необходимые в решении задач Студент должен уметь: 1. Выражать одни события через другие на основе алгебры событий. 2. Вычислюь вероятности событий на основе классического определения. 3. Вычислять вероятности собьп ий по заданным вероятностям ва основе алгебры вероятностей. 4. Вычислять вероятности событий на основе закона распределения. 5. По плопюсти вероятности находить функшпо распределения и наоборот для одномерного и двумерного законов. 6. Находить математическое ожидание и дисперсию одномерной случайной величины по ее закону распределения.

ЧДСТЪ 2 КОНП'ОЛБНБУВ ЗАДАНИЯ Образец 1 контрольного задания 1. Партия автомашин содержит 10 автомашин марки лз и 10 автомашин марки )т". Из этой партии случайным образом шбираются 4 автомашины для испытаний. Найти вероятность того, что длл испытаний будут отобраны автомашины обеих марок поровну.

2. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме Пуси событие А~ означает безотказную работу за время Т элемента с номером 1 (1=1,2,3,... ), а собьпие В— 4 безотказную работу цепи.

Требуется: 2.1. Написать формулу, выражающую собьпне В через все события А; . 6 2.2. Найти вероятность события В. 2.3. Вычислить Р(В) при р = А~2. 3. Ремонтно-назалочиая бригада завода обслуживает станки трех типов 1-го, 2-го, З-го, которые находятся иа заводе в соотношении 1:2:3. Вероятности обращения к бригале за время 7 для станков каждого типа соответственно равны 0.5, 0.3, 0.2. 3.1. Найти среднюю (полную) вероятность того, что за время Т для произвольно выбранного станка потребуется ремонтно-наладочная работа бригады 3.2. Поступил вызов в ремонтно-наладочную бригаду (событие А ). Какого .', типа станок вероятнее всего потребовал вызова бригады? 4.

За период в 131 гол с 1865 по 1995 г. в Санкт-Петербурге !0-го январи среднесуточная температура от минус 1О' до минус 5 (событие А) наблюда-:- лась 35 раз, а в пределах от минус 6' до минус 5' (событие В) — 10 раз. Исходя' '. из этих статистических данных примем Р(А) = 35/! 31 = 0.27, Р(В) = 1О/1 31 = 0.076. 4.1. Найти вероипюсп того, что в следующие 5 лет событие А будет на-::, блюдаться не менее трех раз. 4.2. С помощью приближенной формулы Пуассона найти вероятность того, что хотя бы в одном голу из предстоящих 50-ти последовательных лет событие В произойдет. 5. По статистическим данным хотя бы олин пожар, требующий выезда пожарной команды, может возникнуть в трех обслуживаемых районах города с "'; номерами 1, 2, 3 в течение времени Т соответственно с вероятностями р! — — ОЛ, .

' рз — — 0.2, рз = 0.3. Пусть Х вЂ” количеспю районов из числа трех обслуживае мых, в которых за время Т случился хотя бы один пожар. Предполагается, что пожары возникают независимо. Требуется: 5.1. Сосгавзпь ряд (таблицу) распределения случайной величины Х. 5.2. Найти глг.

5.3. Вычислить Р(Х > тг). 6. Дана плотность вероятности Т(«) случайной величины Х: О, х<0; г'*' !се* ч'. *~о. Найти: 6!. С. 62. Е(х). бчь тх. 64. ЕЗг 65, пх 66. Р(Х>шх) 67 Ме- 6.аК Построить графики Т(х) и Р(х) . 7. Каким должно быть среднее квадратическое отклонение и, чтобы толч шина Х металлического листа, выпускаемого заводом, отличалась от номинала, т= 2мм не более чем на 5% номинала с вероятностью, не меньшей 0.99.

Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально. 8. Х, У вЂ” индикаторы собьпий А, В, означавших положительные ответы соответственно иа вопросы а, () социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина (Х, К) имеет следующую таблицу распределения. Положительному отвезу присвоен ранг 1, отрицательному — О. р1~ — — 0.3, ры =01, рз1 —— 02, рзз —— 04.

Найти коэффициент корреляции рхг. 9. Двумерная случайная величина (Х, 1') распределена равномерно в области )3.  — четверть круга: х -~-у 51, х> О, у>0. 2 2 9.1. Составить плотность вероятности элт(х,у). 9.2. Найти Тх(х), Яу). Вычислить: 9.3. тк,тг. 94. пх*пг-95- рхг. 9.6. Выяснигь, зависимы нлн нет Х, 1'. Образец 2 контрольного заданно 1, В каждом из двоичных разрядов датчика случайных чисел с равной вероятностьюю могут оказаться «Ов или «1в.

Найти вероятность того, что в случайно зарегистрированном числе, нмеклцем 8 двоичных разрядов, в половине разрядов будут нули. 2.Вероятносэь отказа каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в 4 цепь по приведенной схеме. Пусть событие А, означает отказ элемен га с номером 5 (1= 1, 2, 3, ... ), а событие  — отказ цепи за вре- 2 мя Т (прекращение тока в цепи). Требуется: 6 2.1. Написать формулу, выражающую собы- 3 тие В через все события А,. 7 2.2. Найти вероятность события В.

2.3. Вычислить Р(В) при р = 1/2. 3. Заготовки для серийного производства гюступаот из 1-го и 2-го литейных цехов в соотношении 3:2 и могут быть как стандартными, так н нестанлартнымзь'Для 1-го цеха нестандартные заготовки составюцгп 5 %, а дяя второго цеха — 10 % от всей продукции.

При изготовлении детали из стандартной заготовки вероятность брака равна 0.02, а из нестандартной — 0.25. 3.1. Какова вероятность изготовления бракованной детали из случайно выбранной заготовки? 3.2. Из какой случайно выбранной заготовки, стацлартной или нестандартной, более вероятно изготовление бракованной детали? 4. Испытываются независимо и приборов. Вероятность выхода из строя':: любого прибора равна р. По условию партия приборов принимается, если вый- ';; дет нз строя не более одного прибора. Найти вероятность приема партии. 4.1.

Вычислить зту вероятность при л = 50 и р= 002 с помощью точной ' формулы Бернулли. 4.2. Вычислить ту же вероятность с помощью приближенной формулы Пу- !' ассоиа. 4.3. Указать абсолютную Л и относительную Ь погрепшости приближенно-;:: го вычисления.

5. Число Х заявок на ремонт станков в цеху за время Г =1час распределено.;.' по закону Пуассона с параметром а = 2. Найти вероятность того, что за первый ':"':. час работы заявок будет меньше двух, а за второй час — не меньше двух. 6. Дана плотность вероятности )'(х) случайной величины Х: Сх при х и[0,1], Дх)= С при хи[1,2], 0 при х и[0,2].

Найти: 6.1. С. 62. гт(х). 63, т». 64. Ю». 65. пг. 66 Р(~Х-т»~1<о»] 67. х» 4 — нижнюю квартшзь. 68. Построить графики у(х) и г(х). 7. По количеству Х содержащейся примеси продукт разделяется на две . группы. Продукт первой группы содержит примесь в количестве, меныпем 1 %. В противном случае продукт относят ко второй группе. Х вЂ” случайная величина, распределенная нормально с параметрами и=15% и п=0.5%. Найти, сколько процентов в общем объеме протбгкции составляют продукты первой и' второй групп.

8. Детали на производстве сортируются на 4 группы по величине опсчоне- ний от номиналов двух существеннык параметров. Огклоне-,:. О 1 ния ранжируются. Ранги Х,У отклонений могут принимать;- Т лишь значения О и 1. Распределение двумерной случайной ве- О Р Р личины (Х, У) задано таблицей. Здесь р~г = 0.94, р~з = 001;; рм р рз> —— 0.02, рзз — -0.03. Найти коэффициент корреляции рхт,. называемый ранговым.

9. Дана плотность вероятности (ьт(х,у) двумерной случайной величины. ': 1С(х + у ) при 0 < х 5 1, 0 ъ у ь 1; (Х, У): 1»т(х,у) = [О в остальных случаях. Найти: 91 С-92 г»(х), гг(у).9ъц т»,вгг.94 и» пг 95 р»г 9.6. Выяснить, зависимы или нет Х, У. Вариант 1 1. На )0 карточках написаны все натуральные числа от 1 до 10. Нз зтих 10 карточек случайно выбираются две (без возвращения). Найти вероятность того, что на каждой из ннх окюкутся чис- 2 3 б 7 ла, меньшие 7. 1 2. Дана схема включения зле- 4 5 8 9 ментов.

Условие задачи см. в образце ), и. 2. 3. Детали изготавливаются на двух станках. На нервом станке — 40%, на втором — б0 %. Среди деталей, изготовленных на первом станке, брак составляет 2 %, на втором — ! .5 %. Случайным образом взята одна деталь для контроля. Найти вероятности событий: 3.1. Деталь бракованная. 3.2. Деталь изгошвлена на первом станке, если она при проверке оказалась без брака.

4.Вероятность появления опечатки на стрюцще книги, содержащей 100 страшш, равна 0.03. Найти вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток: 4.1. По точной биномиальной формуле. 4.2. По приближенной формуле Пуассона. 4.3.Вычислить абсолкцную Л и относительную Ь погрешности приближенного вычисления.

5. Три одинаковых прибора совместно, но независимо„испытываются до тех пор, пока хотя бы один из ннх ие дасг отказ. Вероятность отказа одного прибора цри одном испьпании равна 0.1, Найти: 5.1. Закон распределения случайной величины Х, равной числу испытаний. 5.2. Р(Х<3). 5.3. т». С/(1+х ), х ц)О,з)3~; 6. 2(х)= Условие задачи см. в образце 1, п. б. О, х Ф~О, БАГЗ~. 7. Автоматическая линия изготавливает игольчатые ролики с диаметром, отличным от номинального на величину Х, подчиниощуюся нормальному закону с шх = -0 005 ми. Ролик считается стацлартным, если -0.01мм< Х <Омм, в противном случае — бракованным.

Каким должно быль ох, чтобы брак не превышал 1%? 8 рп- — 08 в)г —— 005 ргг — — 01 ргг =005. Условие задачи ем. в образце 1,п. 8. 9. 1) — треугольник с вершинами О(О, 0), А(1, 0), В(0, 1). Условие задачи см, в образце 1, п. 9. 11 Вариант 2 1. От каждой из двух групп людей путем жеребьевки выбираются по одному ".;,' представителю. В первой группе 5 мужчин и 4 женшины, во второй группе 3 '-':! 1 3 4 мужчины н 7 женщин. Найти вероятность того, что прелставители будуг разного пола. 2 5 2.