1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (Свешников - Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций), страница 6

5.4, Две одинаковые монеты радиуса г расположены внутри круга радиуса Я, в который наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что зта точка упадет на одну из монет, если монеты не перекрываются. 5.5. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти 1фигурой называется валет, дама или король)? 5.6. В ящике имеются 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся шесть монет.

Какова вероятность, что в сумме они составят не более одного рубля? 5Л. Известны вероятности событий А и АВ. Найти вероятность события АВ. 5.8. Доказать, что из условия . Р1В~А) =Р(В~А), =~ следует независимость событий А и В. 5.9. Событие В включает в себя событие А. Доказать, что Р<Л) Г Р(В). 5.10. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только ' цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных1 п 8 красных, а во второй соответственно 1О, 8 и б. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова веро""" 1 ность, что оба шара одного цвета? 5.11. На плоскости проведены две параллельные полосы, ширина которых 10 мм, а расстояние между ними 155 мм- Вдоль прямой, перпендикулярной этим полосам, на расстоя- ниях 120 мм друг от друга расположены центры окружностей радиуса 10 мм.

Определить вероятность того, что хотя бы одна окружность пересечет любую из полос, если центры окружностей располагаются на прямой независимо от положения полос. 5.12. Вдоль дороги на одинаковом расстоянии друг от друга посеяны в одну линию семена л растений. При пересечении дороги пешеходом в неустановленном месте может быть повреждена посадка одного растения с вероятностью р 1) Определить вероятность того, что т-й пешеход, пересекающий дорогу в неустановленном месте, повредит посадку, если пешеходы пересекают дорогу последовательно и независимо друг от друга.

5.13. Определить вероятность того, что наудачу выбранное целое положительное число не делится: а) ни на два, ни на три; б) на два или на три. б.14. Вероятность получения билета, у которого равны суммы первых и последних трех цифр номера, равна 0,05525. Какова вероятность иметь такой билет среди двух взятых наудачу, если оба билета: а) имеют последовательные номера; б) получены независимо один от другого? 6.15. Доказать, что при Р(А)=а и Р(В)=Ь будет рыл~в)>'+", 6.16. Известно, что Р ~У [ 10) = 0,9, Р ( (У~ ~ 1) =0.95.

Доказать, что при любой зависимости между Хи У для Х= Х+ У имеют место следующие неравенства: Р (~ ( Н) ~ С,В5, Р (Я (9) (ОЖ 6.17. Игра между А и В ведется на следующих условиях: в результате первого хода, который всегда делает А, он может выиграть с вероятностью 0,3; если первым ходом А не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с вероятностью 0,5; если в результате этого хода В не выигрывает, то А делает второй ход, который может привести к его выигрышу с вероятностью 0,4. Определить вероятности выигрыша для А и для В.

5.18, Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна р. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки. 5.19. Игрок А поочередно играет по две партии с игроками В и С. Вероятности выитрыша первой партии для В .и С равны 0,1 и 0,2 соответственно; вероятность выиграть во второй партии для В равна 0,3, для С равна 0,4.

Определить вероятность того, что: а) первый выиграет В; б) первым выиграет С. 520. Из урны, содержащей и шаров с номерами от 1 до л последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Определить вероятность того„что шар с номером 2 будет извлечен при втором извлечении. 5.21. Игрок А поочередно играет с игроками В и С, имея вероятность выигрыша в каждой партии 0,25, и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, сьпранных с каждым игроком. Определить вероятности выигрьппа В и С.

5.22. Вероятность выхода из строя прибора после того, как он применялся к раз, равна Оф. Найти вероятность выхода из строя прибора при его последующих и применениях, если при предшествующих я применениях прибор из строя не вышел. 5.23. Двое поочередно бросают монету.

Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из ит роков. 5.24. Трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков. 5.25. Вероятность получить очко, не теряя подачи, при игре двух равносильных волейбольных команд равна половине. Определить вероятность получения одного очка для подающей команды. 5.26.

В урне имеются и белых и и черных шаров. Два игрока последовательно достают по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, пока кто- нибудь из них не достанет белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинающий игру. 5.27. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,2, а для второго равна 0,3. Найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй.

5.28. Доказать справедливость равенства Р (!! А ) 1 — Р (Х А ) 5.29. Упростить общую формулу для вероятности сумм» событий применительно к случаю, когда совпадают вероят-я. ности произведений.лри равных количествах событий. 5.30. Доказать, что )'л~л л-1 л Р ~ П 42~ = Х Р (А2) — Х;).'1 Р (А, 1 А,)-» л-2 л-1 л ° ° ° +( — 1)л Р Х А„ 5З1. Доказать, что для любых событий АР (А=0,1,...,я) справедливо равенство л "' ~.42 П 42 ~ = Р (АР) — Х Р (АР+ А2) + л-1 л + Х Х Р(А2+ А2+ А2) — + ( 1)л Р (');' 1,л=о 5.32. В урне имеется и одинаковых шаров с номерами от 1 до и.

Шары извлекаются по одному без возвращения. Определить вероятность того, что хотя бы при одном извлечении номер шара совпадет с номером опыта. 5ЗЗ. В помещении, насчитывающем и пронумерованных мест, п лицам выдали в номерных билетов. Какова вероятность, что ровно т лиц окажутся сидящими на местах, соответствующих номерам билетов, если все места занимаются наудачу? 5З4.

В электропоезд, состоящий из л вагонов, входят к (кlп) пассажиров, которые выбирают вагоны наудачу. Определить вероятность того, что в каждый вагон войдет хотя бы один пассажир. 5З5. Двое играют до победы, причем для этого необходимо первому выиграть »2 партий, а второму л партий. Вероятность выигрыша каждой партии первым игроком равна р, а вторым д = 1 — р Определить вероятность выигрьппа всей игры первым игроком.

5.3б. Два игрока условились, что выигрыш получит тот, кто выиграет определенное число партий. Игра была прервана, когда первому игроку осталось до выигрыша »2, а второму в партий. Как разделить ставку, если вероятность выитрыша партии для каждого из игроков равна половине? (Задача де Мере). 5.37. Задача о четырех лгунах. Из четырех человек а, б, в, г один (а) получил информацию, которую в виде сигнала «да» или «нет» сообщает второму (б), второй — третьему (в), третий — четвертому (г), а последний объявляет результат полученной информации таким же образом, как и все другие.

Известно, что каждый из них говорит правду только в одном случае из трех. Какова вероятность, что первый из этих лгунов сказал правду, если четвертый сказал правду? 5ЗЗ. На горизонтальной плоскости проведены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии (.. На плоскость наудачу брошен выпуклый контур, периметр которого равен в. Найти вероятность того, что контур пересечет одну из параллельных прямых, если диаметр круга, описанного около выпуклого контура, меньше Л.

й б. Формула полной вероятности Основные формулы Вероятность Р (А) появления события А. которое может произойти только совместно с одним из событий Н„Нь..., Н„. образующих полную группу несовместных событий (гипотез), определяется формулой полной вероятности Р(А)= ~ Р(Од) Р(А~Н„). А=1 ~~'.~ Р (Н~) = 1.

Решение типовых примеров Пример б.1. Среди и лиц разыгрываются и / п выигрышей путем случайного извлечения из ящика и билетов. Одинаковы ли шансы выигрыша для любого из играющих7 Когда выгоднее тащить билет? Решение. Обозначим через АО событие, состоящее в извлечении выигрышного билета после й извлечений билетов из ящика. По результатам предыдущих опытов можно сделать к+1 гипотез. Пусть гипотеза Ны означает, что из Й извлеченных билетов выигрышных было к. Вероятности зтих гипотез с„;с„"-' Р(н„)= "' „"- (,=о, 1, ..., а) с„" причем Р(ОО,)=0, если г> т. Так как осталось л — Й билетов, из которых лΠ— з выигрышных, то при т/я Р (АО 1 им) =:, По формуле полной вероятности находим где С'„=О при О > т. Данное равенство можно записать также в виде О ~, С' СО-' Р(А )= — ~ л й4 =О -1 Имеем О О Х = 2~" Сз СО- - -1 1 ХСх11И 6 И О1иО 1ОО я=О к=О = — — „(а" и" ")= — — =С„1и" ы яи" м Фи т.е.

справедливо равенство Х с',с„":„'=с.',. а=О Искомая вероятность Р(АО) = и!и при любом Е. Таким образом, у всех играющих шансы одинаковы и очередность извлечения не имеет значения. Аналогично решаются задачи 6.1 — 6.17. Пример 6.2. Отмеченный шар с вероятностями р и 1 — р может находиться в первой или во второй урне. Вероятность извлечь отмеченный шар из урны, в которой зтот шар находится, равна Р('.Р ~* 1). Как следует распорядиться правом л раз извлекать шары из любой урны, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара была наибольшей, если шар после извлечения возвращается в урну? Решение. Пусть событие А — извлечение отмеченного шара. Гипотезы: Н1 — шар находится в первой урне. Н2 — во второй.

По условию Р(Н1)=р, Р(НО)=1 — р. Допустим. что из первой урны извлечено лО, а из второй п — ж шаров. Условные вероятности извлечения отмеченного шара будут Р(А)Н1) = 1 — Ц1 - Р) По формуле полной вероятности искомая вероятность Р Я=И1-(1 - Р) )+ (1 -р)11- (1 - Р)" "). Нужно определить и так, чтобы была наибольшей вероятность Р(А). Дифференцируя Р(А) по и (для нахождения приближенного значения т, считаем т непрерывным), получаем ар <А) р(1 — Р) 1и(1 — Р)+(1-Р)(1 — Р) 1" П вЂ” 1) =О ЪВ -й Полагая «~~ приходим к равенству (1 1 — Р !ив 1 — я ' Поэтому должно быть Я з1и 11 — Р) Данная формула используется при решении задач 6.18, 6.19. Задачи 6.1.

Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партия" одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии. 6.2. Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.