1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (Свешников - Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций), страница 7

6З. В двух урнах находится соответственно т~ и т2 белых и п~ и п~ черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух шаров наудачу берется один. Какова вероятность, что этот шар белый? 6.4. Имеется и урн, в каждой из которых по т белых и по Л черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую.

Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну и т. д. Определить вероятность извлечения после такого перекладывания белого шара из последней урны. 6.5. В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу. 6.6.

Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других — все доброкачественные? 6.7. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями р~ р2 ирз, где р~ =рз= 0,25,р~= 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2 и 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов. 6.8.

Игрок А играет поочередно с двумя партнерами, вероятности выигрыша для которых в первой партии равны соответственно 0,5 и О,б и увеличиваются после каждой сьпранной партии на 0,1. Первые две партии выли рал А. Определить вероятность проигрыша А в третьей партии, если неизвестно, с каким партнером была сыграна первая партий, а ничьи исключены. 6.9.

Характеристика материала, взятого для изготовления продукции, с вероятностями 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,16 и 0,09 может находиться в шести различных интервалах. В зависимости от свойств материала вероятности получения перво сортной продукции равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4; О 3 и 0,2. Определить вероятность получения первосортной продукции. 6.10.

Пластина из изолятора длиной 100 мм прикрывает две проводящие полосы, идущие перпендикулярно ее длине и имеющие от края пластины границы на расстояниях 20 и 40 мм и соответственно 65 и 90 мм. С центром в точке, положение которой равновозможно в любом месте пластины, просверлено отверстие диаметром 10 мм. Определить вероятность получения электрического контакта с любой из полос, если проводящий контакт приложен сверху к произвольной точке, расположенной на том же расстоянии от основания пластины, что и центр отверстия. 6.11. Вероятность поступления /с вызовов на телефонную станцию за промежуток времени г равна Р,(1г).

Считая числа вызовов за любые два соседние промежутка времени независимыми, определить вероятность Рлф поступления з вызовов за промежуток времени длительностью 2, . 6.12. Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5.

6.13. В сосуд, содержащий и шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном составе шаров по цвету равновозможны7 6.14. В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых.

Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые. 6.15. В правом кармане имеются три монеты по 20 коп. и четыре монеты по 3 коп., а в левом — шесть по 20 коп. и три по 3 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 20 коп., если монета берется наудачу. 6.16. Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются.

Экзаменующийся может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета. 6.17. В каких случаях, имеет место равенство 1® =1(А!В)+ Р(А~ ву 6.18. В одной из двух урн, в каждой из которых 10 шаров, один шар отмечен. Играющий имеет право последовательно извлечь 20 шаров из любой урны, каждый раз возвращая извлеченный шар обратно.

Как следует вести игру, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара была наиболыпей, если вероятность того. что отмеченный шар находится в первой урне, равна 2/3? Чему равна зта вероятность? 6.19. Для поисков пропавшего самолета выделено десять вертолетов, каждый из которых может быть использован для поисков в одном из двух возможных районов, где самолет может находиться с вероятностями 0,8 и 0,2. Как следует распределить вертолеты по районам поисков, чтобы вероятность обнаружения самолета была наибольшей, если каждый вертолет обнаруживает находящийся в районе поиска самолет с вероятностью 0,2, а поиски осуществляются каждым вертолетом независимо от других? Найти вероятность обнаружения самолета при оптимальной процедуре поисков.

й 7. Вычисление вероятностей гипотез после испытания (формула Байеса) Основные формула Вероятность Р ~Н~ ~ А) гипотезы Нь после того, как имело место событие; А, определяется формулой где и Р (А) = Х Р Щ Р г ц~ Н ) а гипотезы Н; (1=1, 2,,, и) составляют полную группу несовместных событий. Решение типовых примеров Пример 7.1. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире».

Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5: 3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если; а) принят сигнал «точка>>; б) принят сигнал «тире». Решение.

Пусть событие А — принят сигнал «точка», а событие  — принят сигнал «тире». Можно сделать две гипотезы: Н> — передан сигнал «точка». Нд — передан сигнал «тире». По условию Р Щ): Р (Щ =5:3. Кроме того, Р ('.Н() + Р (Щ=1 .Поэтому Р (Н1) =5/8 Р(Н2) = 3/8 Известно, что 1' р (А~ Н,) — 3, Р (А~ Нф=-й., р(В1 Н,) =, Р(В~ Н,) =7г. 2 Вероятности событий А и В находим по формуле полной вероятности: Р(А)= 3 3+ 8 ' 3 2 3 3 3 2 3 2 1 Р(В) = З ' 3+ 3 3 = 2 Аналогично решаются задачи 7.1 — 7.16. Пример 7.2. Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недоброкачественная. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после проверки возвращена в партию.

Решение. Гипотезы: Н1 — взята партия с недоброкачественными деталями, Н>- взята партия доброкачественных деталей. Событие А — первая деталь доброкачественная. По условию задачи Р (Н1) = Р (Нэ) =1/2 Р(А) Н~) = 3/4 Р(А~ Нэ) = 1. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность события А будет Р („1 (З + 1~ 1 После первого испытания вероятность того. Что партия содержит недоброкачественные детали, равна 1 3 Вероятность, того, что партия содержит только добро- качественные детали, Р (Н~! А) = ~ ° Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании деталь оказалась недоброкачественной.

Вероятность данного события также находится по формуле полной вероятности. Если р~ и ра — вероятности гипотез Нь и Н2 после испытания, то согласно предыдущим вычислениям, 3 4 т /' т Крометого,Р/В(Щ=1/4,Рф(Н~) =О. Поэтому искомая вероятность Р /В) = (3/7) ~(1/4) = 3/28. Аналогично решаются задачи 7.17, 7.18. Задачи 7.1. Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти находятся по два черных и по два белых шара, а в одной — пять белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар.

Какова вероятность, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров? 72. Имеется й~ урн, в каждой из которых т~ белых и п~ черных шаров, и к2 урн, содержащих по т2 белых и по л2 черных шаров. Извлеченный из наудачу выбранной урны один шар оказался белым. Какова вероятность, что данный шар извлечен из первой группы урн7 7Ъ. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную — с вероятностью 0,05.

Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту. 7.4. Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно? 7.5.