1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (Свешников - Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций), страница 8

Определить вероятность того, что среди 1000 лампочек нет ни одной неисправной, если из взятых наудачу 100 лампочек все оказались исправными. Предполагается, что число неисправных лампочек из 1000 равновозможно от 0 до 5. 7.6. Игрок 13 играет с неизвестным противником на следующих условиях: ничейный исход исключен; первый ход делает противник; в случае его проигрыша делает ход В, .выигрыш которого означает выигрыш игры, а при проигрыше игра повторяется второй раз на тех же условиях. Из двух равновозможных противников В имеет вероятность выиграть первым ходом 0,4, а вторым — 0,3; С имеет вероятность выиграть первым ходом 0,8, а вторым ходом О,б. Для Р вероятность выиграть первым ходом равна 0,3 и не зависит от противника, а для второго хода равна 0,5 при игре с В и 0,7 при игре с С.

Игру выиграл В. Какова вероятность: а) что противником был В; б) что противником был С? ° 7.7. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 — с вероятностью 0,7; 4 — с вероятностью О,б и 2 — с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок? 7.8. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 4/5, 3/4„2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок. 7.9.

Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; О,б. 7.10. Попадание случайной точки в любое место области Я равновозможно, а область 5 состоит из четырех частей, составляющих соответственно 50, 30, 12 и 8;4 всей области. При испытании имело место событие А, которое происходит только при попадании случайной точки в каждую из этих частей с вероятностями соответственно 0,01, 0,05, 0,2 и 0,5. В какую из частей области 5 вероятнее всего произошло попадание? 7 11.

В урне имеется л шаров, причем цвет каждого из них с равной вероятностью может быть белым или черным. Извлекаются последовательно /с шаров, причем каждый раз после извлечения шар возвращается в урну. Какова вероятность того, что в урне содержатся только белые шары, если черные шары не извлекались? 7.12. Из двух близнецов первый — мальчик. Какова вероятность, что другой тоже мальчик, если среди близнецов вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек соответственно равны а и Ь, а для разнополых близнецов вероятность родиться первым для обоих полов одинакова? 7.13.

Принимая, что вероятность рождения однополых близнецов вдвое больше, чем разнополых, вероятности рождения близнецов разного пола в любой последовательности одинаковыми, а вероятность рождения мальчика равной 0,51. девочки — 0,49, определить вероятность рождения второго мальчика, если первым родился мальчик.

7.14. Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05, Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень? 7.15. Произведено три независимых испытания, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,2. Вероятность появления другого события В зависит от числа появления события А: при однократном появлении события А эта вероятность равна 0,1, при двукратном появлении равна 0,3, при трехкратном появлении равна 0,7; если событие А не имело места ни разу, то событие З невозможно.

Определить наивероятнейшее число появлений события А, если событие В имело место. 7.16. В техникуме в студентов, из которых п1 ® = 1, 2, 3) человек учатся /с-й год. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго. Какова вероятность того, что этот студент учится третий год7 7.17. Третья часть одной из трех партий деталей является второсортной, остальные детали первого сорта. Деталь, взятая из одной партии, оказалась первосортной. Определить вероятность того, что деталь была взята из партии, имеющей второсортные детали.

Найти ту же вероятность при условии, что взятая из той же партии вторая деталь оказалась первосортной, если первая деталь после проверки возвращена в партию. 7.18. Получена партия из восьми изделий одного образца. По данным проверки половины партии, три изделия оказались технически исправными, а одно бракованным. Какова вероятность, что при проверке трех последующих изделий одно из них окажется исправным, а два бракованными, если любое количество бракованных изделий в данной партии равновозможно7 8 8.

Вычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях Основные формулы Вероятность Р„лл появления события а раз при и независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления собьггия равна р, определяется формулой биномиального распределения Р„, „= С~лр"д" где д=1-р Вероятность появления события не менее я раз при и опытах вычисляется по формуле и гв-1 йщ — — ~~'., Р„,л или Я„,„,=1 — ~ Р,лл. Ф т л=о Вероятность Появления события хотя бы один раз при и опытах будет й,, и =1 — д". Количество п опытов, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью не меньше Р можно было утверждать, что данное событие произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле ~ (и(1 — Р1 ~ (и(1 — р) ' где р — вероятность появления этого события в каждом опыте. Наивероятнейшее значение ((числа т появлений события А равно целой части числа (л+ 1)р, а при целом (л+ 1)р наибольшее значение вероятности достигается при двух числах п1=(л+1)Р -1 и 1!г = (л+ 1)Р.

Если опыты независимы, но вероятности появления события различны, то вероятность Р„появления события вл раз при и опытах равна коэффициенту при и в разложении производящей функции в и О(я)=Д(рзя+яв)= ~ Рв;„и". з=! =а где 91 =1-Рн Рв - вероятность появления события в Ьм опыте. Коэффициенты Р„могут быть определены дифференцированием функции 0(и): что дает, например РвЯ= Ч!97". Чв Решение типовых примеров Пример 8.1. Что вероятное выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми? Решение. Так как противники равносильные, то вероятности выитрьппа и проигрыша каждой партии одинаковы и равны Р = 9=1/2, а) Вероятность выиграть три партии из четырех 1 1 Рв;з=Св у.-= ~ Вероятность выиграть пять партий из восьми Раб= Сз 1 7 — 2в = 32 з 2 Так как 1/4 > 7/32 то вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех 1 1. $ вв в; 3 = Ря з+ Рв; в = — + — =— 4 16 .. 16 а вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми /вз;3=/ в;3+Рз;з +Рз; !+Раз= 7 ~87 ~1 63 32 12 = — +!' — '+6+ 1'! — =— / 2в 266 Так как 93/256 > 5/16, то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми. Аналогично решаются задачи 8.1 — 8.31. Пример 8.2. Имеется шесть потребителей электрического тока, для первого из которых при определенных условиях вероятность того, что произойдет авария, приводящая к отключению потребителя, равна 0,6, для второго — 0,2, а для четырех остальных — по 0,3. Определить вероятность того, что генератор тока будет отключен полностью: а) если все потребители соединены последовательно; б) если потребители соединены так, как показано на схеме (рис. 7).

Ре!пение, а) Вероятность неотключения всех шести потребителей равна произведению вероятностей неотключения каждого потребителя, Рпс. 7. д = д,д,д, = о.отт. Искомая вероятность равна вероятности отключения хотя бы одного потребителя, т. е. р = 1 — с1 = 0.923 б) В этом случае генератор будет отключен полностью, если в каждой паре последовательно соединенных потребителей отключен хотя бы один потребитель: р=Г1 — д,д,)(! — и.') =О,!П. Аналогично решаются задачи 8.32 — 8.35. Пример 8.3.

Партия изделий содержит один процент брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,957 Решение. Искомое число я находится по формуле )и(! — Р) )п (! — р) В данном случае Р = 0,95, а р = 0,01. Поэтому п ) — ' — 296. )по,оз )пО,99 Аналогично решаются задачи 8.36 — 8.40. Пример 8.4. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейп!ее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.

Решение. В данном случае п = 10, р= 0,4, )п+ 1)р= 4,4. Наивероятнейшее число )), заявок равно целой части числа (и + 1)р т.е. )! = 4 Вероятность четырех заявок из десяти Рпп а = С1п ' О 4 ° О. 6 = О. 261 Аналогично решаются задачи 8.41 — 8.42. Задачи 8.1. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомаптины не содержит: а) цифры пять; б) двух пятерок. Известно, что все номера четырехзначные, неповторяющиеся и равновозможные.

8.2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трех, но и не более восьми. 8.3. Из таблицы случайных чисел наудачу выписаны 200 двузначных случайных чисел (от 00 до 99).