1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (Свешников - Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций), страница 5

По займу ежегодно разыгрываются шесть основных тиражей и один дополнительный, происходящий после основного пятого. Из 100 000 серий в каждом основном тираже выигрывают 170 серий, а в каждом дополнительном — 230 серий. Найти вероятность выигрыша на одну облигацию за первые десять лет: а) в каком-либо тираже; б) в дополнительном тираже; в) в основном тираже. 4.25. Имеются четыре бракованных изделия: на одном повреждена окраска, на другом имеется вмятина, на третьем— зазубрины, а на четвертом - одновременно все три указанных дефекта. Пусть А, В, С вЂ” события, заключающиеся в том, что у первого наудачу взятого изделия повреждена окраска (Л). имеется вмятина (В) или имеются зазубрины (С).

Являются ли данные события независимыми попарно и в совокупности? 4.2б. Пусть Л~ Лз, ..., А„совокупность попарно независимых событий. Всегда ли условная вероятность появления любого события, вычисленная в предположении, что какие-либо другие события из зтой совокупности произошли, равна безусловной вероятности этого события? 4.27. Квадрат горизонтальными линиями разделен на и одинаковых полос. В каждую из них бросается точка, положение которой равновозможно в любом месте полосы. Затем аналогично предыдущему проводят л — 1 вертикальных линий. Определить вероятность того, что в каждой вертикальной полосе будет только по одной точке.

4.28. В обществе из 2п человек одинаковое число мужчин и женщин. Места за столом занимаются наудачу. Определить вероятность того, что два лица одного пола не займут места рядом. 4.29. Общество, состоящее из пяти мужчин и десяти женщин, наудачу разбивается на пять групп по три человека. Найти вероятность того, что в каждой группе будет по одному мужчине. 4ЗО. В урне имеются в+и одинаковых шаров, из которых и белого, а т черного цвета, причем т / л.

Производятся подряд без возвращения и извлечений по два шара. Определить вероятность того, что каждый раз извлекаются пары шаров разного цвета. 4З1. В урне имеются и шаров с номерами от 1 до л. Шары извлекаются наудачу по одному без возвращения. Какова вероятность, что при 1 первых извлечениях номера шаров совпадуг с номерами извлечений-? 4З2.

В урне имеются два шара — белый и черный. Производятся извлечения по одному шару до тех пор, пока не появится черный, причем при извлечении белого шара в урну возвращается этот шар и добавляется еще два белых шара. Определить вероятность того, что при первых пятидесяти опытах черный шар не будет извлечен. 4ЗЗ. В очереди за билетами стоимостью в 5 руб. стоят и+и человек, из которых и лиц имеют деньги пятирублевого достоинства, а и (т1" в+1) — десятирублевого.

Каждый покупает только один билет. В кассе до продажи билетов денег нет. Какова вероятность, что никому из очереди не придется ожидать сдачи? 4З4. Условия и вопрос задачи такие же, как и в 4.33, но билет стоит один рубль, а покупатели имеют деньги рублевого (п человек) и трехрублевого достоинства (и человек), причем 2ш(п+1- 4З5. Баллотируются два кандидата, причем за первого в урну опущено и бюллетеней, а за второго и бюллетеней (л > и).

Какова вероятность того, что в ходе подсчета бюллетеней число подсчитанных голосов, поданных за первого, все время будет болыпе числа голосов, поданных за второго? й 5. Теорема сложения вероятностей Основные формулы Вероятность суммы двух событий определяется по формуле Р(~+Б)=р(~)+Р(Б) -Р(~Б). которая обобщается на сумму любого числа событий э-т р ~ ~~ 1 ~ — ~ р(Ак) — ~ ~.", Р(АкАэ)+ у кээ. Ээ л + т Для несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т.

е. Р ~~~~ А„= ~~.", Р (Ак). Решение типовых примеров Пример 5.1. Определить вероятность того, что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет принята при испьпании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается бракованных изделий не более одного из пятидесяти. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что при испытании не получено ни одного бракованного изделия, а через  — событие, состоящее в том, что получено только одно бракованное изделие. Искомая вероятность р = Р 1А+В).

Собьпия А и В несовместны. поэтому р = Р1А)+Р(В). 50 Из 100 изделий 50 можно выбрать Сэоэ способами. Из 95 с. небракованных изделий 50 можно выбрать и способами. Поэтому Сао Р (А) = —,", С50 Аналогично с,'сф Р1В) = — „„' С",0 Тогда С" ,С, 99 9Т Аналогично решаются задачи 5. 1 — 5.12. Пример 5.2. Электрическая цепь между точками М и Ф составлена по схеме, приведенной на рис. 6. Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятности (табл.1). Таблнца 1 Элемент ~ К, ~ Кэ ~ Д~ ~ Дэ ! этэ Вероятность ~ О,б ~ ОД ( ОА ~ 0,7 ~ 0,9 Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

Решение. Обозначим через АД=1,2) событие, состоящее в выходе из строя элемента К через А — выход Рнс. 6. из строя хотя бы одного элемента К; а через  — выход из строя всех трех элементов Л ф=1, 2, 3). Тогда искомая вероятность Р = Р (А+ В) = Р (А) + Р (В) - Р (А) Р (В). Так как Р(А)=Р(А,)+Р(А,) — Р(А,) Р(А,)=0.8. Р(В)=Р(Лс) Р1Л2) Р(Лз) =0,252,тор = 0,85. Аналогично решаются задачи 5.13 — 5.16. Пример 5.3.

Появление события А равновозможно в любой момент промежутка времени Т. Вероятность того, что событие А заэтотпромежуток времени произойдет, равнаР.Известно, что за время г <. Т данное собьпие не произошло. Определить вероятность Р того, что событие А произойдет в оставшийся промежуток времени.

Решение. Вероятность р появления события за время Травив вероятности 11/р) р появления данного события за время Г й — — р плюс произведение вероятности ~ г ) того что событие не произойдет за время Г, на условную вероятность Р появления события за оставшееся время, если раньше оно не произошло. Таким образом, имеет место равенство р —.йсв.+(1 — г Р) Р. Отсюда находим ( -Ф) г г — — р т Пример 5.4.

В урне имеются и белых, гл черных и 1 красных шаров, которые извлекаются наудачу по одному: а) без возвращения; б) с возвращением после каждого извлечения. Определить в обоих случаях вероятности того, что белый гпар будет извлечен раныпе черного. Решение. Пусты' ) — вероятность того, что белый гпар будет извлечен раньше черного, а Рг — вероятность того, что черный шар будет извлечен раньше белого. Вероятность Рл является суммой вероятностей извлечения белого шара сразу, после извлечения одного красного, двух красных и т. д. Таким образом, можно записать в случае, когда шары не возвращаются, ии-).'т+1+ и-1-т+1 л+т+1 — 1 1 1 — 1 и + и+т+1 л+т+1 — 1 и+т+1 — л а при возвращении шаров и 1» ни + и+т+1 + (и+т+1)~ + (л+т+О' и .+ и+т Для получения вероятностей Рл в предыдущих формулах нужно произвести замену и на т, а в) на ж.

Отсюда следует. что в обоих слУчаих Р! . Рл = и: 1и. Так как, кРоме того, Р1+ Рл = 1, то искомая вероятность при извлечении и Р=— шаров без возвращения также равна ' и+», Аналогично решаются задачи 5.23 — 5.27. Пример 5.5. Некто написал и писем, запечатал их в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал раз- личные адреса.

Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес. Решение. Пусть событие А1 состоит в том, что на А-м конверте написан правильный адрес (А=1„2, ..., л). Р= Р,У~ Ал Искомая вероятность 1»= ~ 1. События А1 совместны; '!й=1 / при любых 1, у, 1 ... имеют место равенства: Р(А») = — = —, 1 '(л — 1) ! л и! Р(А»А1) = Р(А») Р(А1 ~ Ал) = (и »~А А~АД вЂ” ...

Р(ДА )— (л — 3)! и! л=! Используя формулу для вероятности суммы и событий, получаем л! При болыпих и р = 1- е . -1 Аналогично решаются задачи 5.32 — 5.38. Задачи 6.1. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0,012, 0,010. 0,00б и 0,002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий. 5.2. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец.

Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,20, 0,15 и 0,10. Определить вероятность непопадания в мишень. 5З. В квадрат, разделенный на и одинаковых квадратов, брошен шарик. Вероятность попадания шарика в малый квадрат 1-й горизонтальной и у-й вертикальной полос равна р;. Х ли=' Определить вероятность попадания шарика в горизонтальную полосу.